高中數(shù)學(xué) 直線與橢圓的位置關(guān)系的研究方法解析 北師大版

1、直線與橢圓的位置關(guān)系的研究方法 (1)判斷直線l與橢圓C的位置關(guān)系，可將直線l的方程代入曲線C的方程，消去y(也可以消去x)得到一個(gè)關(guān)于變量x的一元方程ax2bxc=0，然后利用“”法. (2)有關(guān)弦長(zhǎng)問題，應(yīng)用弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理，設(shè)而不求;有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問題，要重視圓錐曲線的定義的運(yùn)用，以簡(jiǎn)化運(yùn)算. (3)有關(guān)弦的中點(diǎn)問題，除了利用韋達(dá)定理外，要注意靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”，設(shè)而不求，簡(jiǎn)化運(yùn)算. (4)有關(guān)垂直關(guān)系問題，應(yīng)注意運(yùn)用斜率關(guān)系(或向量方法)及韋達(dá)定理，設(shè)而不求，整體處理. (5)有關(guān)橢圓關(guān)于直線l的對(duì)稱問題中，若A，A是對(duì)稱點(diǎn)，則應(yīng)抓住AA的中點(diǎn)在l上及kAA·kl=1這兩個(gè)關(guān)

2、鍵條件解決問題. (6)有關(guān)直線與橢圓的位置關(guān)系中的存在性問題，一般采用“假設(shè)反證法”或“假設(shè)驗(yàn)證法”來解決.1.橢圓 的左焦點(diǎn)作傾斜角為 的弦AB，則AB的長(zhǎng)是_.2.若橢圓 與直線x+y-1=0交于A、B兩點(diǎn)，過原點(diǎn)與線段AB中點(diǎn)的直線的斜率為 /2， 則n/m的值等于_.3.已知橢圓 ，l1、l2為過點(diǎn)(0，m)且相互垂直的兩條直線，問實(shí)數(shù)m在什么范圍時(shí)，直線l1、l2都與橢圓有公共點(diǎn).4.橢圓ax2+by2=1與直線x+y-1=0相交于A、B，C是AB的中點(diǎn)，若|AB|=，OC的斜率為，求橢圓的方程例1.橢圓 與直線x+y-1=0相交于兩點(diǎn)P、Q，且OPOQ(O為原點(diǎn))。(1)求證：等

3、于定值；(2)若橢圓離心率e時(shí)，求橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍。例2.（2010高考題）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在平行于OA的直線，使得直線與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線OA與的距離等于4？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由?！久}意圖】本小題主要考查直線、橢圓等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想?！窘馕觥浚?）依題意，可設(shè)橢圓C的方程為，且可知左焦點(diǎn)為例3.已知橢圓方程為 ，射線y=2x(x0)與橢圓的交點(diǎn)為M,過M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與橢圓交于A、

4、B兩點(diǎn)（異于M）. （）求證: 直線AB的斜率kAB=2; （）求AMB面積的最大值. 解析（）斜率 k存在，不妨設(shè)k 0，求出M（1，2）.直線MA方程為y2=k(x1)，直線 MB方程 y2=k(x1)分別與橢圓方程聯(lián)立，可解出 kAB=2（）設(shè)直線AB方程為y=2xm，與x2=2聯(lián)立，消去y得8x24mx(m28)=0.由>0得4m4，且m0，點(diǎn)M到 AB的距離為d=設(shè)MAB的面積為S.當(dāng)m=±2 時(shí)，得Smax=2.點(diǎn)評(píng) 本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程、直線與方程的位置關(guān)系等解析幾何的基礎(chǔ)知識(shí)和基本思想方法，考察推理及運(yùn)算能力.例3.（2010高考題）已知m1，直線，橢圓，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn). （）當(dāng)直線過右焦點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；（）設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，的重心分別為.若原點(diǎn)在以線段為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析：本題主要考察橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考察解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。 （）解：因?yàn)橹本€經(jīng)過，所以,得，又因?yàn)?，所以，故直線的方程為。