曲線積分曲面積分歸納

1、* *第十三章曲線積分與曲面積分定積分和重積分是討論定義在直線段、平面圖形或者空間區(qū)域上函數(shù)的積分問題但在實(shí)際問題中， 這些還不夠用， 例如當(dāng)我們研究受力質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)所作的功以及通過某曲面流體的流量等問題時(shí)，還要用到積分區(qū)域是平面上或空間中的一條曲線，或者空間中的一張曲面的積分，這就是這一章要講的曲線積分和曲面積分.第一節(jié)對(duì)弧長的曲線積分一、對(duì)弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)在設(shè)計(jì)曲線構(gòu)件時(shí)，常常要計(jì)算他們的質(zhì)量，如果構(gòu)件的線密度為常量，那么這構(gòu)件的質(zhì)量就等于它的線密度與長度的乘積. 由于構(gòu)件上各點(diǎn)處的粗細(xì)程度設(shè)計(jì)得不完全一樣, 因此 , 可以認(rèn)為這構(gòu)件的線密度 ( 單位長度的質(zhì)量 )是變量 ,

2、 這樣構(gòu)件的質(zhì)量就不能直接按下面它的線密度與長度的乘積來計(jì)算 . 下面考慮如何計(jì)算這構(gòu)件的質(zhì)量.設(shè)想構(gòu)件為一條曲線狀的物體在平面上的曲線方程為yf x ，xa, b，其上每一點(diǎn)的密度為x, y如圖13-1我們可以將物體分為n 段，分點(diǎn)為M 1,M2 ,., Mn ,每一小弧段的長度分別是s1,s2 ,. ,sn 取其中的一小段弧M i 1 M i 來分析 在線密度連續(xù)變化的情況下圖 13-1, 只要這一小段足夠小， 就可以用這一小段上的任意一點(diǎn)i ,i的密度i ,i來近似整個(gè)小段的密度這樣就可以得到這一小段的質(zhì)量近似于i ,isi 將所有這樣的小段質(zhì)量加起來，就得到了此物體的質(zhì)量的近似值即nM

3、xi , yisii1* *用 表示 n 個(gè)小弧段的最大長度 . 為了計(jì)算 M 的精確值 , 取上式右端之和當(dāng)0 時(shí)的極限，從而得到nMlim( i ,i ) si .i 1即這個(gè)極限就是該物體的質(zhì)量這種和的極限在研究其它問題時(shí)也會(huì)遇到.上述結(jié)果是經(jīng)過分割、求和、取極限等步驟而得到的一種和數(shù)得極限，這意味著我們已經(jīng)得到了又一種類型的積分. 拋開問題的具體含義，一般的來研究這一類型的極限，便引入如下定義：定義13.1 設(shè) L 是 xoy 面內(nèi)的一條光滑曲線，函數(shù)fx, y 在 L 上有界，用 L 上任意插入一點(diǎn)列 M 1, M2 ,., M n 將曲線分為 n 個(gè)小段 .設(shè)第 i段的長度為 si

4、 ( i1,2, n )，又ni , i為第 i 個(gè)小段上任意取定的一點(diǎn)，作乘積f i ,isi ，并作和fi ,isi ，i 1若當(dāng)各小段的長度的最大值趨于零時(shí)，此和式的極限存在，稱此極限為函數(shù)fx, y 在曲線 L 上對(duì) 弧長的曲線積分 , 也稱為 第一類曲線積分 , 記作fx, y ds , 即Lnf (x, y)dslimf ( i,i )si ,L0 i1其中 fx, y 叫做 被積函數(shù) ， L 稱為 積分弧段 當(dāng) L 是光滑封閉曲線時(shí)，記為fx, y ds L類似地，對(duì)于三元函數(shù)fx, y, z 在空間的曲線 L 上光滑，也可以定義fx, y, z 在曲線 L 上對(duì)弧長的曲線積分f

5、x, y, z dsL這樣，本節(jié)一開始所要求的構(gòu)件質(zhì)量就可表示為M( x, y)ds.L由對(duì)弧長的曲線積分的定義可以知道，第一類曲線積分具有下面的性質(zhì)：性質(zhì) 1 （線性性） 若 f , g 在曲線 L 上第一類曲線積分存在，,是常數(shù) , 則f ( x, y)g ( x, y) 在曲線 L 上第一類曲線積分也存在，且* *f x, ygx, y dsf x, ydsg x, y ds；LLL性質(zhì)（對(duì)路徑的可加性）設(shè)曲線 L 分成兩段 L1, L2.如果函數(shù) f 在 L 上的第一類曲線積分存在， 則函數(shù)分別在L1 和 L2 上的第一類曲線積分也存在. 反之，如果函數(shù) f 在 L1 和L2 上的第一

6、類曲線積分存在，則函數(shù) f 在 L 上的第一類曲線積分也存在. 并且下面等式成立L1LfdsL fdsL fds ( L1L2表示 L)212對(duì)于三元函數(shù)也有類似的性質(zhì)，這里不再一一列出二、第一類曲線積分的計(jì)算定理 13.1設(shè)有光滑曲線L :x(t ), t ,.y(t)即'(t ) ,'(t) 連續(xù) . 若函數(shù) f ( x, y) 在 L 上連續(xù)，則它在L 上的第一類曲線積分存在，且f x, y dsft ,t' t2' t2dtL證明如前面定義一樣，對(duì) L 依次插入 M 1 , M 2 ,., M n 1 ，并設(shè) M 0(),() ，M n(), () .

7、注意到t 0t1tn. 記小弧段 M i1M i 的長度為si，那么siti'2 (t)'2 (t )dt,i1,2,n.ti 1由'2 (t)'2 (t) 的連續(xù)性與微分中值定理，有siti'2 (t )'2 (t)dt ,(tii 'ti ).ti11所以 , 當(dāng) xi(i '') , yi( i'') 時(shí),nn'2 ('2 (i '2 )f ( xi , yi )sif( (i ''),( i '')i ')ti ,i 1i 1這里 ti

8、 1i ', i ''t i . 設(shè)* *n'2 ( i'2 ( i ')'2 ('2 ( i '') tif (i''),( i'')')i '')i1則有nn'2 ( i '')' 2 ( i '')f (x i , yi )sif ( i ''),(i '')t i.i 1i 1令 t maxt1 ,t2 ,t n ,要證明的是 lim0.t0因?yàn)閺?fù)合函數(shù)f (t),(t)

9、關(guān)于 t 連續(xù)，所以在閉區(qū)間 , 上有界，即存在M ，對(duì)一切 t , 有| f (t),(t) |M.再由'2 (t)'2 (t) 在 , 上連續(xù)，所以它在 , 上一致連續(xù) .即當(dāng)任給0 ，必存在0 ，當(dāng)t時(shí)有|'2 (i '')'2 (i '')'2 (i')'2 (i ') | .從而n|MtiM ().i 1所以lim0.t 0再從定積分定義得n' 2 ('2 ( i '') tilimf (i''),(i '')i '&

10、#39;)t 0 i1f (t ),(t)'2 (t )'2 (t) dt.nn'2 ('2 (所以當(dāng)f (x i , y i )sif (i ''),( i '')i'')i '') ti兩邊取極限后， 即i 1i1得所要證的結(jié)果.特別地，如果平面上的光滑曲線的方程為* *yy( x), a xb,則f x, y dsb12f x, y xy ' x dx La例 13.1計(jì)算曲線積分yds ，其中 L 是拋物線 yx 2上的點(diǎn) A 0,0與點(diǎn) B 1,1之L間的一段?。ㄈ鐖D 13.1-2

11、）圖 13-2解： 積分曲線由方程yx2 , x0,1給出，所以yds1x21x2'2L0dx114x2 dxx0111 514x 2=51 .12012例 13.2 計(jì)算積分x2y 2n ds ，其中 L 為圓周 : xa sin t, ya cost, 0 t 2 .L解： 由于 L 為圓周： xa sin t , yacost ,0t2，所以x2y2n222na 2 cos2 ta2 ( sin t )2 dtdsa sin ta costL02a2n dt2 a 2 n 0* *對(duì)于三元函數(shù)的對(duì)弧長的曲線積分，可以類似地計(jì)算例如：若曲線L 由參數(shù)方程xx t , yy t ,

12、zz t ，t確定，則有dsx'2 ty'2 tz'2 t dt ，從而f x, y, z dsf x t , y t , z tx'2 ty' 2 tz' 2 t dt L例 13. 計(jì)算曲線積分x 2y2z2 ds ，其中是螺旋線xa cost ,ya sin t,z kt 上相應(yīng)于 t 從 0 到 2 的一段弧解： 由上面的結(jié)論有x2y 2z 2 ds2a cost 2a sin t 2kt 2a sin t 2a cost 2k 2 dt022k 2 t 2a 2k2 dt0a2a 2k 2 3a24 2 k 23例 14.4計(jì)算x2 d

13、s ,其中 L 為球面 x2y 2z2a2 被平面 x yz 0 所截得的圓L周.解： 由對(duì)稱性可知x2dsy2dsz2ds,LLL所以x2ds1( x2y2z2)dsa2233 Lds3a .L3 L習(xí)題 13.11.計(jì)算半徑為 R 、中心角為2的圓弧 L 對(duì)于它的對(duì)稱軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I （設(shè)線密度1） .2.計(jì)算曲線積分( xyz)ds，其中為螺旋線x a costya sin t z kt222，上相應(yīng)于 t 從 0 到 2的一段弧 .* *3.計(jì)算yexdS 其中C為曲線 xln(1t 2 ), y 2arctgtt 3 由 t0 到 t 1 間C,的一段弧 .4.求x2y21位于第一象限

14、中的那部分。LxydS，其中 L 是橢圓周22ab5.計(jì)算Lx2y 2 dS ，其中 L 為曲線 x2y22 y.6.求LxdS ，其中 L 為雙曲線 xy1從點(diǎn) ( 1 , 2) 到點(diǎn) (1,1) 的一段弧。27.計(jì)算( xy)ds 其中 L 為連接(1,0) 及 (0,1)兩點(diǎn)的直線段 .L8.計(jì)算x2y2其中L為圓周222直線y x及 x 軸在第一象限內(nèi)所扇edsxyaL,形的整個(gè)邊界 .9.計(jì)算x2 yzds, 其中為折線 ABCD,這里 A、B、 C、 D依次為點(diǎn)(0,0,0) 、(0,0,2)、 (1,0, 2) 、 (1,3, 2) 。10.計(jì)算L( x2y2 )ds ，其 中

15、L 為 曲線 xa(cos tt sin t ) , y a(sin t t cost)(0t2) .11.設(shè) L為雙紐線 ( x2y2 )2a2 (x2y2 ) ,計(jì)算積分 I| y | ds .L12.設(shè) L為橢圓 x2y21 ,其周長為 a ,求L(2xy3x24y2 )ds.43參考答案1 R3(sincos)2.2a 2k 2 (3a242k 2 )321 ln 233.16244.ab( a2abb2 )3(ab)005.4sind4sind8* *12t 2dt11t16.17t 2 tlnt24124121747. 28. ea 2a 249. 910. 2 2a3(1 2 2

16、 )11. 2a2 (22)12. 12a第二節(jié)對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念與性質(zhì)在實(shí)際中還碰到另一種類型的曲線積分問題. 例如一質(zhì)點(diǎn)在空間中沿著一條光滑曲線L : xx t , yy t , zz t 運(yùn)動(dòng)，當(dāng) ta 時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線上的一個(gè)端點(diǎn)A ，當(dāng) tb 時(shí)，對(duì)應(yīng)曲線的另一個(gè)端點(diǎn)B ，在外力F x, y, zP x, y, z iQ x, y, z jR x, y, z k的作用下質(zhì)點(diǎn)從A 移動(dòng)到 B ，現(xiàn)在求力 F 所作的功由物理學(xué)的知識(shí)知道：若力與位移都是常量，則有WFs 現(xiàn)在的是一個(gè)變量，位移 s 也是變量為了求這個(gè)力所作的功我們可以將曲線分為若干段，即插入n 個(gè)分點(diǎn)M

17、 0A, M 1 , M 2 ,., M nB 這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t 分別是at0 ,t1 ,., tnb 在每一小段弧M i 1 M i 上，可以認(rèn)為位移就是M i 1M i ，在小弧段M i 1 M i 上任意一點(diǎn)i , i , i 的力Fi ,i , i 來近似質(zhì)點(diǎn)在這一小弧段上移動(dòng)所受到的力于是當(dāng)質(zhì)點(diǎn)從M i 1 移到 M i 時(shí)，* *力 F 所作的功近似為Fi , i , iM i 1M i ，將力在每一小段上所作的功相加，就得到了在力 F 的作用下質(zhì)點(diǎn)從A 移動(dòng)到 B 所作的功的一個(gè)近似值即nWFi , i , iM i 1 M ii1注意 F x, y, z P x, y, z ,Q

18、 x, y, z , R x, y, z ，而 M i 1 M ixi ,yi ,zi ，所以nWFi , i , iM i 1M ii 1nPi ,i ,ixiQi ,i ,iyiRi ,i ,izi i1再對(duì)上面的式子在所有小弧段的長度的最大值趨于零時(shí)取極限，若此極限存在，則它就是變力 F 所作的功即nWlimPi , i , ixiQi , i , iyiRi , i , izi 0 i1從上面的分析可以看出，這個(gè)極限和前面講的定積分、重積分、第一類曲線積分有很多的相似之處， 它們都是一個(gè)乘積和式的極限這種類型的和式極限就是下面所要討論的第二類曲線積分 .定義 13.2 ( 對(duì)坐標(biāo)的曲線

19、積分或第二類曲線積分)設(shè) L 是空間中的一條有向光滑的曲線，兩個(gè)端點(diǎn)分別為A 和 B . P x, y, z ,Q x, y, z , R x, y, z 為定義在曲線L 上的函數(shù)在 L內(nèi)依次插入點(diǎn)M 1, M 2 ,., M n 1 ，并令 M 0 ( x0 , y0 , z0 )A , M n ( xn , yn , zn )B .并且這些點(diǎn)是從 A 到 B 排列的 . 這樣就將曲線L 分為 n 個(gè)小的弧段M i 1 M i ( i1,2, n ) 設(shè)xi xixi 1 ， yi yiyi 1，zizi zi 1 記各弧段長為n弧段 M i1M i 上任意取一點(diǎn)i ,i , i，若 lim

20、P i , i , i0i 1si ,max si . 在小1 inxi 存在，則稱之為函數(shù)P x, y, z 在 有 向 曲 線 L 上 對(duì) 坐 標(biāo) x 的 曲 線 積 分 ( 或 稱 第 二 類 曲 線 積 分 ) 記 為* *P x, y, z dx 即LP x, y, z dx limnPi,i ,ixiL0i1類似地，有nP x, y, z dy limQi,i ,iyi；L0i1nP x, y, z dz limRi,i ,iziL0i1分別稱為函數(shù)在有向曲線L 上對(duì)坐標(biāo) y 和對(duì)坐標(biāo) z 的曲線積分這些積分統(tǒng)稱為 第二類曲線積分若L為封閉有向曲線 ,則記為P x yzdx 、P

21、xy z dy 或 P x yz dz , ,L, ,LL由對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的定義可以知道，第二類曲線積分具有下面的性質(zhì)： P x, y, z dx Q x, y,z dy R x, y, z dzP x, y,z dxQ x, y, z dyR x, y, z dz；LLLL （ 線 性 性 ）： 若 兩 個(gè) 向 量 值 函 數(shù) P x y z dx Q xy z dy R x yzdzLi ( , , )i ( , )i ( , ,)( i1,2, k )存在 , 則kkkkci Pi dxciQi dyci Ri dzciPdxiQi dyRdzi ,Li 1i 1i 1LLLi 1其中

22、 ci (i1,2, k) 為常數(shù)（路徑可加性） ：設(shè)定向分段光滑曲線L 分成了兩段L1 和 L2 ，它們與 L 的取向相同（記 LL1L2 ），則向量函數(shù)f (x, y, z) 在 L 上的第二類曲線積分的存在性等價(jià)于f ( x, y, z) 在 L1 和 L2 上的第二類曲線積分的存在性且有f x, y, z dxf x, y, z dxf x, y, z dx ；L1L2L1L2（方向性）：如用L 表示與 L 方向相反的曲線則有* *f x, y, z dxf x, y, z dx LL二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分(第二類曲線積分) 的計(jì)算xx t設(shè) L 的參數(shù)方程為yyt ,t, ，起點(diǎn)為 A

23、 x, y, z，終點(diǎn)為zz tBx, y, z，函數(shù) x t, y t, z t都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)在曲線弧上插入若干個(gè)點(diǎn)M 0 , M 2 ,., M n，相應(yīng)于 t的取值分別是t0 ,t1 ,t 2 ,.tn，Mx , y, z，iiiixix tix ti 1tix t dt， 而tit i t i 1 ， 于 是 由 積 分 中 值 定 理 有t i 1xixiti 此時(shí)取i , i , i分別為 x(i ) , y(i ), z(i ) ，則nPx, y, zdxlimP x i, yi , z itiL0i 1P x t , y t , z t x t dt類似地可以求Q x, y,

24、z dy 和R x, y, z dz 最后得到LLP x, y, z dxQ x, y, z dyRx, y, z dzP x t , y t , z t x ' tQ x t , y t , z t y tRz t dt在這里的積分的上限下限分別對(duì)應(yīng)的是終點(diǎn)和起點(diǎn)求曲線積分的一般步驟是：將 x, y, z 用各自的參數(shù)方程代替；將曲線的終點(diǎn)和起點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值作為定積分的上下限；將曲線積分化為定積分，計(jì)算定積分，即得曲線積分的值特別地，當(dāng)L 是平面 xoy 上的光滑曲線時(shí)，設(shè)曲線方程為yy x ，起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 x 的值分別是 a, b，則有P x, y dx Q x, y dy

25、bP x, y xQ x, y y ' x dx aL* *例 13.5計(jì)算曲線積分xydx ，其中 L 為拋物線 yx 2 從點(diǎn) A 1,1 到L點(diǎn)B 1,1的一段弧，如右圖解： 將要計(jì)算的積分化為對(duì)x 的定積分，即以 x 為積分變量，曲線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的 x 的值分別是11yx2圖 13-3，將曲線積分中的用代替，所以和11 x4 |1Lxydx1x x2 dx10 4例 13.6計(jì)算曲線積分xdyx 2y 21沿逆時(shí)針方向ydx ，其中 L 為橢圓b 2La 2解：橢圓的參數(shù)方程為 xa cost, yb sin t ,0t2，所以可以將曲線積分化為對(duì)參數(shù) t 的積分，起點(diǎn)和

26、終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的t 的值分別為0和 2， x, y 分別用參數(shù)方程代替，由此得到2a costd bsin t b sin td a costxdy ydx0L2ab1dt 2 ab0注意，這個(gè)積分剛好是橢圓面積的兩倍例13-4圖例13-5圖例13.7計(jì)算曲線積分xdyydx 其中L 分別是下面的曲線段L(1)拋物線y 2x 上從點(diǎn)O 0,0到點(diǎn)A 1,1的一段??；* *(2) 直線 y x 上從點(diǎn) O 0,0 到點(diǎn) A 1,1 的一段??；(3) 從點(diǎn) O 0,0 到沿 x 軸點(diǎn) B 1,0 ，再由 B 1,0 豎直向上至 A 1,1 解： (1)將積分化為對(duì)y 的定積分，起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y 的值

27、分別是0和1 ， x 用 y 2 代替，得到1xdy ydxy 2dy yd y 2L012dyy 3 |103 y10(2)將積分化為對(duì)x 的定積分，起點(diǎn)和終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的y 的值分別是0和1 ， y 用 x 代替，得到xdy1xdxxd xydxL012xdxx2 |1010(3)曲線可以分為兩段，其中一段的曲線方程為y0，另一段的曲線方程為，所以x 1xdy ydxxdyydxxdyydxLOBOA10dx1yd 1xd 01dy001從上面的例子可以看出，盡管積分的路徑不同，但是積分的值仍然有可能相同例 13.8計(jì)算y 2dx ,其中 L 為 (1)半徑為 a 、圓心為原點(diǎn)、按逆時(shí)針方向繞行

28、的上半L圓周；（ 2 ）從點(diǎn) A(a,0) 沿 x 軸到點(diǎn) B(a,0) 的直線段解 （ 1）因?yàn)閤a cos2 .L :， 0ya sin那么y2dxa2 sin 2( a sin)dL0* *a3(1 cos2)d (cos )4a3.03(2) 積分路徑為 L : y0,x 從 a 變到a , 因此y2 dxa0.0dxLa從這個(gè)例子可以看出: 被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.三、兩類曲線積分的聯(lián)系設(shè)有向光滑曲線段L 的參數(shù)方程為x f t , y g t ， t , ，起點(diǎn)和終所對(duì)應(yīng)的分別是 A 和 B ，且 f2 t g 2 t 0，函數(shù) P x, y , Q

29、 x, y在曲線段 L 上連續(xù)， 則對(duì)坐標(biāo)的曲線積分bP x, y dxQ x, y dyLabaP f t , g td f tQ f t , g t d g t(P f t , g tftQ f t , g tg t )dt又有向曲線的切向量為T f t, g t ，它的方向余弦為cosftg tf 2 t， cos，g 2 tf 2 t g 2 t注意到 dsf 2 tg 2t dt ，所以由對(duì)弧長的曲線積分公式，得到P x, y cosQ x, y cosdsLbP f t , g tftQ f t , g tg t dta由此得到兩類曲線積分之間的聯(lián)系：P x, y dxQ x, y dyP x, y cosQ x, y cosds LL類似地，可以得到兩類空間曲線積分之間的聯(lián)系：P