歷史文化與信息技術交織下“曲邊梯形的面積”教學

1、歷史文化與信息技術交織下“曲邊梯形的面積教學【摘要】HPM是中學數(shù)學教育研究的熱點話題，在深入學科的信息技術的支持下，充分挖掘數(shù)學史的教育價值，以更加生動、直觀的方式展現(xiàn)歷史，從歷史中尋找智慧，推動數(shù)學教學的開展.本文借助“割圓術與“曲邊梯形的面積的教學在信息技術下的融合，體會歷史文化與現(xiàn)代技術的交織在數(shù)學課堂中所產(chǎn)生的重要教學價值，感悟主題研究的重要意義.【關鍵詞】數(shù)學史；信息技術；數(shù)學教育；“割圓術；曲邊梯形的面積1引言近年來數(shù)學史具有的重要教育價值受到人們廣泛認同，我國公布的?數(shù)學課程標準?，無論義務教育階段還是普通高中階段，都有與數(shù)學史相關的論述，?全日制義務教育數(shù)學課程標準實驗稿?第

2、4局部“課程實施建議，每一個學段的“教材編寫建議都有“介紹有關的數(shù)學背景知識這一條目.而?普通高中數(shù)學課程標準實驗?認為“數(shù)學課程應適當反映數(shù)學開展的歷史、應用和趨勢，應幫助學生了解數(shù)學在人類文明開展的作用，逐步形成正確的數(shù)學觀【1】.?數(shù)學課程課標?中對數(shù)學史的重視是許多專家學者們努力的結(jié)果，這些論述說明了教育取向的數(shù)學史已從幕后走向臺前.在?數(shù)學課程課標?的支持下，如何在實際教學中充分發(fā)揮數(shù)學史的教育價值是需要考慮和研究的問題.數(shù)學教師在教學中難免會遇到這樣的情況，有一些歷史素材很有教育意義，但是因為缺乏技術支持，卻遺憾地不能應用于課堂，或不能更直觀地展示出來，這就使得這局部數(shù)學史的教育價

3、值被淹沒了【2】.例如，歷史上，多位數(shù)學家利用剪拼法證明了勾股定理，但假設缺乏信息技術的支持，依賴于“黑板+粉筆的模式將不能動態(tài)直觀地展現(xiàn)剪拼法所突出的“剪和“拼的過程，也無法突出多種剪拼法之間的區(qū)別與聯(lián)系.因此，借助信息技術的支持可以使數(shù)學史融入數(shù)學教育的過程更加生動化、直觀化，以充分挖掘其教育意義.歷史文化與現(xiàn)代技術跨越時空交織在一起，歷史文化使思想更深邃，信息技術使思想更完美.本文以“曲邊梯形的面積教學為例，探討在信息技術的支持下，如何充分發(fā)揮數(shù)學史的教育價值.2前期分析在講授“曲邊梯形的面積這一小節(jié)之前，學生已經(jīng)學習過劉徽“割圓術的內(nèi)容，“割圓術中蘊含的思想方法與求解“曲邊梯形的面積所

4、需的思想方法具有異曲同工之妙.劉徽是中國古代一位偉大的數(shù)學家，他在?九章算術注?中所提出的“割圓術，巧妙地求解出了圓的面積，并開創(chuàng)了中國古代數(shù)學史上圓周率研究的新篇章【3】.“割圓術的核心思想：“以直代曲，無限逼近，先對圓進行分割，得到假設干扇形，隨后選擇用三角形代替扇形，表達了“以直代曲.劉徽指出“割之彌細，失之彌少，割之又割以至不可割，那么與圓合體而無所失矣，當分割次數(shù)增加至無限多時，由三角形所組成的多邊形便與圓完全相和了，這時三角形的面積和等于圓的面積，通過計算便能得到圓的面積的精確值.“割圓術中所采用的“以直代曲，無限逼近的思想、“化整為零、積零成整的過程以及“分割、近似代替、求和、取

5、極限的步驟完全適用于求解曲邊梯形的面積.在“曲邊梯形的面積教學中，可從歷史中尋找智慧，利用劉徽“割圓術來啟發(fā)學生思維，讓課堂增添歷史文化的氣氛.如今信息技術已逐漸走進課堂，從宏觀上，信息技術與數(shù)學課堂的整合帶來教學方式和學習方式的變革；從微觀上，信息技術的融入，能夠變抽象為具體，化枯燥為生動，突破“黑板+粉筆靜止的二維世界.在信息技術的支持下，數(shù)學史能以更為生動具體的形象活潑于數(shù)學課堂中.張景中院士指出普適的信息技術不適合直接用于教學，教育信息化活動應能為學科教學效勞，“信息技術只有深入學科才能真正發(fā)揮作用【4】.數(shù)學教學中常用的工具軟件有超級畫板、幾何畫板、Mathematica等.教師應能

6、熟練應用這些數(shù)學教學中的常用信息技術軟件，并根據(jù)具體課程內(nèi)容和數(shù)學史料的融入方式選擇適宜的信息技術.利用幾何畫板軟件可將“割圓術的過程動態(tài)化，并通過數(shù)形結(jié)合展示“以直代曲、無限逼近的思想內(nèi)涵.3具體實現(xiàn)3.1借助幾何畫板回憶劉徽“割圓術的過程在幾何畫板中，根據(jù)圓的半徑，將圓平均分割成假設干塊，如圖1.通過觀察扇形的形狀，可以得出三角形與扇形的形狀最為貼合，選用三角形近似代替扇形，這時存在兩種情況：缺乏近似和過剩近似，如圖2.隨后增加分割次數(shù)，在幾何畫板中可觀察到，隨著分割次數(shù)增加，缺乏近似和過剩近似所形成的正多邊形的面積越來越接近圓的面積，當分割次數(shù)無限次時，便完全重合，如圖3，便可求得圓的面

7、積的精確值.回憶了“割圓術的過程，可在課堂中總結(jié)出求解圓面積的四大步驟.圖3評注在幾何畫板的支持下，將“割圓術的過程動態(tài)化，可以直觀感知到“割圓術中所展現(xiàn)的逼近過程和蘊含的極限思想.一方面，利用現(xiàn)代技術揭示了中國數(shù)學史中的光輝思想，另一方面，通過借鑒歷史，啟發(fā)學生思考如何求解曲邊梯形的面積.3.2借助幾何畫板探索“曲邊梯形的面積求解方案第一步：分割.首先考慮如何對曲邊梯形進行分割的問題，在“割圓術中，劉徽以圓心為出發(fā)點，以圓邊為終點，將圓按角度平均分割成n個扇形.在特殊曲邊梯形中，考慮以某一直邊為出發(fā)點，以曲邊為終點，將特殊曲邊梯形分割成n個寬度相等的小曲邊梯形，在?幾何畫板?中做出圖4.第二

8、步，近似代替.第一步將大曲邊梯形分割成了幾個小曲邊梯形，類比“割圓術中“以直代曲的近似代替方案，在特殊曲邊梯形中，考慮以矩形代替小曲邊梯形，這時，同樣存在缺乏近似和過剩近似兩種近似代替方案，如圖5.第三步，求和.結(jié)合畫板中的圖5，分別對兩種方案進行求和：缺乏近似：Sn=1nfi-1n=131-1n1-12n，過剩近似：Sn=1nfin=161+1n2+1n.第四步：取極限.在幾何畫板中將分割次數(shù)增加，可觀察到隨著分割次數(shù)的增加，兩種方案所形成圖形的面積都越來越接近曲邊梯形的面積，當分割次數(shù)無限大時，缺乏近似和過剩近似所形成圖形與曲邊梯形相合，如圖6.通過取極限，可以得到曲邊梯形面積的精確值.對

9、第三步中兩種方案求得的公式進行取極限：缺乏近似：S=Sn=limn131-1n1-12n=13，過剩近似：S=Sn=limn161+1n2+1n=13.得到特殊曲邊梯形的面積為13.評注類比劉徽“割圓術，并借助幾何畫板從“形上得到了求解特殊曲邊梯形面積的過程，再通過計算，從“數(shù)上得到了特殊曲邊梯形面積的精確值，數(shù)形結(jié)合讓過程和結(jié)果更讓人信服.求解曲邊梯形面積的過程，既蘊含了從歷史中汲取的智慧，又借助了現(xiàn)代技術的支持，將今后要學習的定積分中所包含的思想提前展現(xiàn)的淋漓盡致.4感悟通過對“曲邊梯形的面積教學的分析，可以感受到，信息技術與數(shù)學史的結(jié)合，不僅能讓學生接受數(shù)學歷史文化的熏陶，而且充分挖掘了

10、數(shù)學史中包含的深邃思想和方法，從而推動數(shù)學知識的教學.信息技術改變了課程內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，并能深入到課程內(nèi)容中【2】，在信息技術的支持下，數(shù)學知識的歷史得以重現(xiàn)，讓知識有源可尋，有理可依.在教學中，通過信息技術和數(shù)學史的融合，可讓學生感受到數(shù)學課本知識不只是孤立的已經(jīng)建好高樓大廈，而是具有自身開展過程的、經(jīng)過了歷史篩選的人類思想的結(jié)晶.從感官上，借助信息技術，數(shù)學史知識中包含的“數(shù)學美能夠得以充分展現(xiàn)，學生能感受到數(shù)學并不是公式和數(shù)字的堆砌，“數(shù)學是可以欣賞的【2】，并且學生還能夠通過親自操作信息技術融入數(shù)學家的思考中，感受數(shù)學思想的精妙之處.信息技術進入課堂已是必然趨勢，數(shù)學史與信息技術的融合讓信息技術不只是工具，還成為了歷史文化和思想的載體.重現(xiàn)數(shù)學知識歷史的功能讓信息技術多了一份價值.如何發(fā)揮現(xiàn)有材料和工具的最大價值來促進教學是數(shù)學教師需要考慮的問題，信息技術和數(shù)學史的融合就是一個很好的選擇，既能夠充分挖掘數(shù)學史的教育意義，又可以增添信息技術在數(shù)學教學中的價值，在歷史文化氣氛和現(xiàn)代文明的交織下，思想更加鮮活，知識更加飽滿，課堂內(nèi)容更加豐富，學生的感受也更深刻了.HPM與信息技術的融合是一個新的研究方向，如何借助信息技術的優(yōu)勢和數(shù)學歷史知識的