試驗(yàn)十五矩陣的分解

1、實(shí)驗(yàn)十五矩陣的分解【實(shí)驗(yàn)?zāi)康摹? . 了解矩陣LU,QR和Cholesky分解的基本概念。2 .學(xué)習(xí)掌握MATLAB軟件有關(guān)的命令。【實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備】1 .矩陣的LU分解LU分解是將一個(gè)方陣表示兩個(gè)基本三角矩陣的乘積，其中一個(gè)三角矩陣為上三角陣，另一個(gè)為下三角陣，這里使用的是高斯變量消去法.2 .矩陣的分解矩陣Q為實(shí)矩陣，且滿足QTQ =1 ,其中I為單位矩陣，則稱Q為正交矩陣.QR分解能把 任意長(zhǎng)方陣分解為正交矩陣和上三角矩陣的初等變換形式的乘積，比如把矩陣 A進(jìn)行如下分解,AP =QR,其中P為初等變換矩陣.3 .矩陣的Cholesky分解Cholesky分解把矩陣分解為上三角矩陣和其轉(zhuǎn)置的乘積

2、，即A = RT R，其中R為上三角矩陣.如果復(fù)數(shù)矩陣滿足 Hermite正定，也有Cholesky分解.4 .矩陣的MATLAB命令MATLAB中主要用lu,qr和chol分別完成矩陣的 LU,QR和Cholesky分解。L,U=lu(A)矩B$ A 的 LU 分解Q,R=qr(A) 矩陣A的QR分解R=chol(A) 矩陣 A 的 Cholesky 分解可以用help lu, help qr,help chol查閱有關(guān)這些命令的詳細(xì)信息【實(shí)驗(yàn)方法與步驟】1 2 3練習(xí)1求矩陣A = 4 5 6的LU分解7 8 0j相應(yīng)的MATLAB代碼和計(jì)算結(jié)果為:A=1 2 3;4 5 6;7 8 0;

3、%創(chuàng)建矢I陣 AL,U=lu(A)%進(jìn)彳亍LU分解L =0.14291.00000.57140.50001.00001.000000U =7.00008.0000000.85713.00003【6的QR分解.912004.500012_45練習(xí)2求矩陣A =78J0 11實(shí)際上A是一個(gè)虧損矩陣，中間列是其他兩列的平均，秩和虧損值由QR分解得出.相應(yīng)的MATLAB代碼和計(jì)算結(jié)果為：A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;10 11 12A =123456789101112Q，R=qr(A)Q =-0.0776-0.8331-0.2636-0.4801-0.3105-0.45120.70930.4

4、437-0.5433-0.0694-0.62780.5530-0.77620.31240.1821-0.5166-12.8841-14.5916-16.29920-1.0413-2.082600-0.0000000本練習(xí)表明，當(dāng)矩陣為長(zhǎng)方形時(shí)，R矩陣的末行元素為0,當(dāng)矩陣的縱橫方向上的元素個(gè)數(shù)相差較大時(shí)，R中的零元素將被壓縮速掉，Q中相應(yīng)的列也被壓縮掉.這種做法在大型復(fù)雜程 序中很有用，不大可以節(jié)省磁盤(pán)空間，還能節(jié)省內(nèi)存.練習(xí)3求5階pascal矩陣的Cholesky分解.MATLAB代碼和計(jì)算結(jié)果為:A=pascal(5) %5 階 pascal 矩陣A =111111234513610151410203515153570R=chol(A) %Cholesky 分解11110123001300010000可以驗(yàn)證，有R'*R=A.由于有了14641Cholesky分解，當(dāng)解方程Ax = b時(shí)，如果矩陣A對(duì)稱正定,Matlab會(huì)把方程代換為R'* R* x = b，讓后按x=R(R 'b)求解,計(jì)算速度將大大提高【練習(xí)與思考】1.求下列矩陣的