能量原理和變分法2要點

1、第二章能量原理和變分法真實的位移除了滿足位移邊界條件夕卜，根 據(jù)它伊1求毋的應(yīng)力還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件和平 衡彳效分方程。 求廨微分方程的邊值J詞題,，只有 在簡單的情況下，才舶得到解析解。多數(shù)情況 下，只黃且采用數(shù)值計算的方法。基于能量原理的變分法為數(shù)值計算提供了 理論基礎(chǔ)。其中基于原小勢熊原理的里滋方法 等可用于數(shù)值計算。應(yīng)變用巨虛位移原理最小勢徒原理位移變分法里滋方法伽遼金方法應(yīng)力變分法第一節(jié)應(yīng)變能設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀延, 發(fā)生的真實位移為，3W, 它們滿其位移分置表 示的平淅方程，并滿區(qū)位移邊界條件和用位移表 示的應(yīng)為邊界條件。拜性體受刀后，發(fā)生交吃 外力作功，外力功格化

2、為成交犬，儲存在彈性體 內(nèi)，單元體內(nèi)的應(yīng)支舶為U。=j（b/x +b、£, +bz4 +7直/找 +了5乙、+丁.，9） 產(chǎn) I 攻Uo=j?d%=a/%裝個彈性體內(nèi)的應(yīng)變能為八川汝切JG/%dxdydz以一維應(yīng)力狀態(tài)為例，缶實際是 應(yīng)力應(yīng)變曲線下的面積（不限0 于線彈性），'/ r .drTv。0 =% djXJo應(yīng)變余矩的概念定義產(chǎn)uj= GjdbijoJo為單位體積的應(yīng)變余熊，在一維情況下為應(yīng)變余解5殳有明顯的物理意義，在一維情況下 表示應(yīng)力應(yīng)變曲線在應(yīng)力一側(cè)下的面積。1 應(yīng)變余柒與應(yīng)變熊互補£.，= 4 +2 應(yīng)變余矩的積分式中，積分變過為應(yīng)力分 量3 在線

3、彈性時，應(yīng)變 余矩與應(yīng)變姐相等應(yīng)變用應(yīng)力表示，上式成為#+。；)- 2B，(crv% + 60、+ <Trcrv)+ 2(1 + 了)(7;+T； + 7：) ,44噂M卻修）1加+ 2+丑丫 +區(qū)應(yīng)力用應(yīng)變表示后，應(yīng)變再用位移表示，得到變 形能的位移表達式#史+土丫/隹+罵:dydz2（龍J這里 =(x,y,z), V=v(x,yz), w=w(x,yz)3 E他們本身是彈性體各點的函數(shù)，。這樣的 積分依賴于這些函數(shù)取得不同的數(shù)值，這樣的 積分通常稱為泛函.一般的函數(shù)只依賴于自變 量的值.S E根據(jù)變形能的表達式如果府變形余能用應(yīng)力表示，貝u可以得到血 啊 、 血§2.2虛位

4、移原理現(xiàn)在假設(shè)位移發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小 位移（虛位移）8v, Bw, 這時外力在虛位移上作虛功，虛功應(yīng)和變形能泛國的增加相等：時亦耳Xw + Fbvv + Fb:>p）dxd jdz + JJ（P+產(chǎn) + 產(chǎn)）dS其中，"/byR產(chǎn)體力分量，P jy匕為面力 分量，三重積分包括彈性體的全部體積，二重 積分包括彈性體的全部面積（但實際僅在未紿* 定位移，給定面力的邊界不為卷）o上式田寫為NU - JJT（或 + K " + & 卬）d X d y d Z-jj （2/+ 2 J+ ，'）dS=。f殳夕卜力勢黃且為V =-jJ （%"

5、+4產(chǎn) + 入產(chǎn)）dxdydz-JJ （/乙+ p、1+ /乙卬）dS可寫為6（t7 + V） = O§ 2.3最小勢能原理S E稱為最小勢柜原理。下面我們證明實際存在的， 最小的位移，根據(jù)他們求得的. 程彳口應(yīng)力邊界條件O現(xiàn)在假設(shè)位移發(fā)生了位不 容許的微小位移（虛位移）0 應(yīng)變的變分可3已為:阻=d= dw dr dxc/ M dv' d cd .J dy dz y dydzau° _ ouQ_ du. 二一二6， 工二0， W-加1Cv呢叫3U則/砂，寸也有.= JJla£："、+砂：”"=川（° 作"+.+”泉

6、一組使總勢能為應(yīng)力滿足平衡方多邊界條件所u, 電ESI S E)V- = b：L= rw,.dxd vdzJ .h + -8 i + .Jd.vdydzESI S E該式的怠義是：在給定的夕卜力作用下， 在滿員位移邊界條件的各組位移中，實際存 在的一組位移應(yīng)使總勢片邑為垠小。如果考慮 二階變分，進一步的分析證明，對于穩(wěn)定平 街狀態(tài)，這個極值是極小但。因此，該式又其中第一項才艮據(jù)分步積分| ctK - Swdxdydz=jjj -(<rrd/)dxd ydz-jjj3dxdydz=jj/4 3“dS-川(df/dxdyd z其他類似可得=HI"巴 + z2%, + 4% 笫 +

7、a % + Ky + l3ryz )8 V（十仁+K,）5加一川悟+管S E總勢能為5(t/+V) = JJ(/,<tx 十 l2rxy + 13rL 凡)5 “ 十 十 l2cry +- P,» v(g +，2% + Ky -Pz wJdS-卜-詈+等+誓+/廣+悟+誓+答+ %>dydz 虛位移6肛 ov, 3卬，各自獨工，而且是完全任怠的，因此上列積分式中括號內(nèi)的系數(shù)均等乎零,1=/|4+/2工聲 +/3% p、.= /|Tv+/2(tv+/3t2V 2=/&+/2%+飆 Pi = 5jlj而這正是平衡方程和邊界條件，這樣我們從 虛位移原理或原小勢柜原理的變

8、分方程，就包含 了 平衡方程和邊界條件.如果我們給出的位移是 坐標的連續(xù)函數(shù)（自 然滿足形變連續(xù)方程）滿足彈 性體的幾何約束，并且也滿足最小勢熊原理或虛 位移原理，貝！J求得的應(yīng)力也滿足平衡方程和邊界 條件，也就是說他們是彈性問題的解.S E最小勢能原理的急義彈4生體在外力的作用下, 發(fā)生位移，產(chǎn)生變形。位移 可以是各種各樣的，但必須 滿足位移的邊界條件。滿足 位移邊界條件的位移稱為容 許位移,容許位移也有無窮 多組，其中只有一組是真實 的，其實位移除了滿足位移 邊界條件夕卜，根據(jù)它們求得 的應(yīng)力還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條 件和平衡微分方程。在無窮多組的容許位移中 找到這一組， 就必須求解微分方程的邊

9、值問題，很可惜， 只有在荷單的情況下，才能祖到解析解。多 數(shù)情況下，只能采用數(shù)值計算的方法。變分法為數(shù)值計算提供了理論基礎(chǔ)O 其中現(xiàn)刁、勢其邑原理指r出： 在無窮多組的客 許位移中，使彈性體總勢能為最小的一組 位移，就是我們要我的位移，根據(jù)它們求 得的應(yīng)力還滿足應(yīng)力邊界條件和平衡微分 方程0變分方法從能量角度分析，提供了解決問題的另一種電路, 理論基礎(chǔ)。為數(shù)值計算奠定了EM S E最小勢能原理的簡單例子例如在兩端國定的條索.可以有各種形狀.但 只有一種足其實的，這一種使得柔索的總勢腿為艱 小。再以原荷單的軸向受壓的桿件為例， 總勢能包括外力勢能和彈性體的變形勢 矩.這兩個勢熊那以桿件頂部的位移

10、為 參數(shù)，睡位移增大，彈性體的應(yīng)變能增 大.而外力勢熊減小.其變化曲線如國 所示：1U =-Gr2V = -Fu其中。為桿的剛反。fl外力勢相隨位移成直線下降. 彈性體勢 黃邑成拋物或上升.電勢能為U = -Cu2 -Fa2開始，電勢黃巨呈下降趨勢，到達某一 位箕，電勢姐為垠小，過了這一點， 彈性體的 勢能的增加超過了夕卜力 勢掂 的減少，總勢能又開始增加。在總勢 舶最小點，彈性體在該外力作用下達 到平街。這時的位移是其實的位移。S E先十殳定滿是位移邊界條件的位移分量的表達 式，其中包含若干個待定的系數(shù)，再根據(jù)最小勢 柜原理，決定這些系數(shù)。設(shè)位移分量的表達式 = o + Za”g m ni

11、卬=卬。+匯0巾卬，” m其中“0，%，卬0為設(shè)定的函數(shù)，在邊界上的值等于 邊界上的 已知位移；卬，為邊界值等于零的 設(shè)定函數(shù)，Am9 Bm9 C為待定的系數(shù)，位移的 變分由它們的變分來實現(xiàn)。m dv = V vm mm應(yīng)變血的變分為6U = Y（- 8Am + 通 + 型-8Cm） 乙”以 叫 走,“ Q夕卜力勢能的變分為四二-匯心(%1%的 + 人”匕”風 + RJ%，6cJdxdydz ”，一 XjJ WA. + pyvm bB,n + pj7Gg)dS inS E代入中.諭至j6 V 4-V) = 0祟=Iff 幾 J J d xd y d z + “ p/j d S 督=jJ

12、63;,%dxdydz -jJpMdS CDm裊=JIf &：%dxd)dz + jj：上面是個數(shù)為3m的線性代數(shù)方程組，求解后， 代回位移分量的表達式，得到位移分量的近似 解。S E變形能的一般位移表達式為在平面應(yīng)力狀態(tài)的表達式為c du dv+ 2vdx dvdxd y十 一3 E在不考慮剪切效應(yīng)時，桿彎 曲的應(yīng)變能.為0竺辿山口2 J() El 2 J()2dv已知圖示懸臂梁，抗彎剛度為£4 求最大撓度值.解：設(shè)卬=(6Z2X2 +) 滿足固定端的邊界條件.%=0 = ° k=o = °下面用寂小勢姐原理來確定參數(shù).£t=t/ + V =失

13、。(24 6u3)2(1x-F(a£ + 小。)S E弭弧因四明有S E由雙小勢能原理6E = 0十= 03=擊1冬2生十64Kx-FE =0=12x(2% + 6a3)d.v- FL = 0解得這里得到的是精確解例： 如圖所示的薄板，不計體力，求落板的位移 設(shè)位移u = A u = A xv = B i' =坊 y 它們是滿足位移邊界（左邊和 下邊）的邊界條件的。可得即由可否即解得在平面應(yīng)力狀態(tài)的表達式為U =丞占5/f+所+2用畫WxdyU = 豕Wy(& + 段+ 2M圈)cU 苞 cUp&ds,Pv%d$-q"，2=-q2ah-Ea“(24

14、+ 2vBi) = _q、ab2(1-V)-E"、(2。+ 2i4. ) = -q、ab 2(l-v2)“1 E 1 ES E研I定錦衣傳實基 敗滿幾位杪N界 、條件的貝杪田隊,里滋方法的步嘛上述方法稱為里滋法，其要點是 要找到滿足全部邊界條件的位移函數(shù)， 而這種函數(shù)一般仍然難以找到，尤其 在邊界不規(guī)整的情況下O所以里滋方 法的應(yīng)用在這一點上受到極大的P反制O 五十年代以來，在這基礎(chǔ)上發(fā)展起來 的有限元方法，采用了單元離散，分 片插值的方法，這就避免了這一困難， 雖然帶來了計算工作量大的問題，但 由于電子計算機的產(chǎn)生和發(fā)展. 計算 工作量大的問 題祖到 解決，有P艮元方 法得到迅速的

15、發(fā)展。S E我們學習變分方法的意義，主要因為它是學習有限元等數(shù)值方法的基礎(chǔ)O伽遼金方法里港方法要求位移函數(shù)滿足位移邊界條件，如 果進一步要求根據(jù)位移函數(shù)求得的應(yīng)力還滿足應(yīng)力 邊界條件，公式還可以荷化，這種方法稱為伽遼金 方法。8(/ + V) =由前面我們得到的最小勢矩原理+ Z2 才一 H 笫 + U7孫 +Py 笫 V+ 72% + 6 - P： K w】d S-川管+&r. 8- 3i(dcr dr a：*、.、+ + -+-+RV p v+ 空i +三 +=1+年 b wdxdydzU a小b,y & a向F國囪總勢熊為b (U + V) = jj (/6十 /2rty

16、 + / j - P,笫 “ + U % + 9、+ lyryz - pr)8 v+ 復+等+%> it(管.等+ M + &“dxd>d：I dy dz ox , ) 次 6x dy )如果我們所取的位移不僅滿足位移邊界條件， 而且根據(jù)它1 門求得的應(yīng)力還滿足應(yīng)力邊界條件(不要求滿足平衡方程)，則上式端化為川嚕+察日7 dr、. 次發(fā)+譚+音+%加Fh.) dwdxd yd z = Q取位移為m"0+2 %1 m卬=卬。+2.,卬間 m則上式為田風（誓+rn* 戊冼, 冼-H+ " Jjdxdrd+2切心等+"r十 %"%dxdyd

17、z = O由各待定常終變夕的逑立性，各系數(shù)為零加春十駕十冬十居皿=0色+空£十冬公 分 次+ 6)i%dxdyd? = ()川嚕，答十答”-dyd-o以位移表示小島（占賓十吟）十號小"皿二。皿15（力/+*）+小必八1皿=0BJ（20）（1 條'吟 + % 憶 d xd y d 3 0在平面應(yīng)變問題中，方琴L為JI1舟（直 穿 + %） + ” J J d x d F = 0中島（當合+%）+ SMd在平面應(yīng)力問題中，方程為這才羋就彳導到位移函數(shù)彳寺定常數(shù)的線性方程組， 解之，再代回，就得到位移的近似解，根據(jù)應(yīng)力 的位移表示式，就可求得應(yīng)力。通常位移在所取 項不多時

18、，就可得到較精確的解，但應(yīng)力解需要 較多的項，這也是通常位移法所遇到的E伽遼金方法的計算工作量較小，但對 位移函數(shù)的耍求較高，耍求應(yīng)力應(yīng)滿足應(yīng) 力邊界條件。在特殊情況，如僅有位移邊 界，而無應(yīng)力邊界，這也表示者應(yīng)力邊界 條件得到滿足，這時用伽遼金方法十分方 便。作為例子，可見徐芝綸“彈性力 學”1）358-）361,解法參見MCAD.例1:兩端簡支的等截面梁，受均勻分布載荷4 作用如圖所示。試求解梁的撓度w（X）。解：首先用瑞利一里茨法 位移試函數(shù)5 . irmx卬=Cn9 sinm"滿足梁的位移邊界條件在x=0, /處，w=0總勢能廠 EJ . . r .，二 TJ （F） J q

19、4o "o凡=絲122七,廣現(xiàn)匯4/3 =7T 二m"Int兀 m=1.3.5.mq（x）77c4n&=0（m為偶數(shù)）期以 Cm =-u = 0（"為奇數(shù)）EJiv mCm =0（6為偶數(shù)）回代4q/4I . mitxw => -z-sin盡"“餐,mI 撓曲線表達式是無窮級數(shù)精確解 這個級數(shù)收斂很快，只要取少數(shù)兒項就可以得 到足夠的精度。 如果取一項W maxqi476.6E/這一結(jié)果與精確值十分接近解：應(yīng)用anepKHH法 位移試函數(shù)l . mux卬=2°，sin一mI同時滿足面力邊界條件根據(jù)anQpKHH法分析可得i 二T)

20、sin 吧 dr = O4”E ,公S，“二135,1. mjix.sin.m5 I3 E例2：矩形薄板，四邊固定，受有平行于板面的 體力作用。設(shè)坐標軸如圖所示，試用Rayleigh Ritz法米廨。解：位移試函數(shù)4 tnitx7TVM =A加 sinSin mV a bk » ,nKX - ，g'V =sinsin -m na h小和"為正整數(shù)在:邊界x=0,。，不Uy=O, 上，u=v=Of 丹：以試函數(shù)滿足位移邊界條件。平面應(yīng)力問題, E r r r/S、2 ,8八2 - S加 1 v .dv 3、”.U =()一 + (y +2v+(+ )- kivdy2(

21、I-v2)J dx dy dxdy 2 dx dyEM 3 E因此爰=占加2du 8Ux dAlfV1Qu、 dv d dvdu d d()+ 2() + 2v ()OxdydA dydx dAmi dyc dv A dti ,、/加 duo /加 +2y可貳;為）+。7）（東+蘇）直;%+蘇）崢e Je 首 du 5dv-譏，5 z5i -(z-) + 2 () + 2v&dBfWdu d 5V瓦甌丁豆）,dv dij.(二-)出dy小E回E-Sv d dir 八一 3v dii d+ 2v -(- -) + (1 - v)(-+-)-8%&杰dBm將位移試函數(shù)代入求導數(shù)后再

22、積分eudU因此Etz2 ab. ma b0 0 b=nO 0人. nmx . nny . sinsin dvdva bL . imtx .rbv smsinnnv ,.dvdyb 4Eab-; + ;fl2(l-v2) 2/(1 +v)1A.l- + ;4b2(l-v2) 2a2(l + v)a b=JJ "Qin0 0a b=JJ / sin 0 0tmtx . nny .,sin-cLvdya b，兀r nrcy t , sindvdya b如果體力已知，積分可求待定系數(shù)A四困9,i S E應(yīng)力變分方法設(shè)有任一彈性體.在外力的作用下處于平衡Q 命,為實際存在的應(yīng)力分量，它們滿足平衡微分 方程和應(yīng)力邊界條件，也滿足相容方程?，F(xiàn)在， 假起體力不變，而應(yīng)力分量發(fā)生了微小的變化6%, 即所識虛應(yīng)力或應(yīng)力的變分，使應(yīng)力分斑成為 區(qū)/+6%，設(shè)它們只滿足平衡微分方程和應(yīng)力邊界 條件O既然兩組應(yīng)力分量韋B滿足同樣體力作用下的 平衡微分方程，應(yīng)力分量的變分必然滿足無