概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件：6-2區(qū)間估計(jì)

1、區(qū)間估計(jì)的思想?yún)^(qū)間估計(jì)的思想 點(diǎn)估計(jì)總是有誤差的，但沒有衡量偏差程度的量，點(diǎn)估計(jì)總是有誤差的，但沒有衡量偏差程度的量，區(qū)間估計(jì)則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間估計(jì)則是按一定的可靠性程度對待估參數(shù)給出一個區(qū)間范圍。區(qū)間范圍。引例引例 設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命設(shè)某廠生產(chǎn)的燈泡使用壽命XN（ ，1002），現(xiàn)），現(xiàn)隨機(jī)抽取隨機(jī)抽取5只，測量其壽命如下：只，測量其壽命如下：1455，1502，1370，1610，1430，則該廠燈泡的平均使用壽命的點(diǎn)估計(jì)值為，則該廠燈泡的平均使用壽命的點(diǎn)估計(jì)值為11455 1502 1370 1610 14301473.45x 可以認(rèn)為該種燈泡的使用壽命在

2、可以認(rèn)為該種燈泡的使用壽命在1473.4個單位時間左右，個單位時間左右，但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這但范圍有多大呢？又有多大的可能性在這“左右左右”呢？呢？如果要求有如果要求有95%的把握判斷的把握判斷 在在1473.4左右，則由左右，則由U統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)量可知量可知0,1XUNn0.95XPn 0.951.961.961.96XXnn由由查表得查表得 置信水平、置信區(qū)間置信水平、置信區(qū)間 設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù)設(shè)總體的分布中含有一個參數(shù) ，對給定的，對給定的 ，如果，如果由樣本（由樣本（X1，X2，Xn）確定兩個統(tǒng)計(jì)量）確定兩個統(tǒng)計(jì)量 1（ X1，X2，Xn ），）， 2（ X1，X2

3、，Xn ），），使得使得P 1 2=1- ，則稱隨機(jī)區(qū)間（，則稱隨機(jī)區(qū)間（ 1 ， 2 ）為）為參數(shù)參數(shù) 的置信度（或置信水平）為的置信度（或置信水平）為1- 的置信區(qū)間。的置信區(qū)間。 1置信下限置信下限 2置信上限置信上限幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明 1、參數(shù)、參數(shù) 的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間（的置信區(qū)間（ 1， 2） 表示該區(qū)間有表示該區(qū)間有100（1- ）%的可能性包含總體參的可能性包含總體參 數(shù)數(shù) 的真值。的真值。2、不同的、不同的置信水平，參數(shù)置信水平，參數(shù) 的置信區(qū)間不同。的置信區(qū)間不同。 3、置信區(qū)間越小，估計(jì)越精確，但置信水平會降低；置信區(qū)間越小，估計(jì)越精確，但置信水平會降低

4、； 相反，置信水平越大，估計(jì)越可靠，但精確度會降相反，置信水平越大，估計(jì)越可靠，但精確度會降 低，置信區(qū)間會較長。低，置信區(qū)間會較長。一般：對于固定的樣本容量，一般：對于固定的樣本容量， 不能同時做到精確度高（置信區(qū)間?。?，可靠程度也不能同時做到精確度高（置信區(qū)間?。?，可靠程度也 高（高（1- 大）。如果不降低可靠性，而要縮小估計(jì)范大）。如果不降低可靠性，而要縮小估計(jì)范 圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。圍，則必須增大樣本容量，增加抽樣成本。正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì) 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 2已知，已知， 未知，未知，則取

5、則取U-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 ，對，對 做區(qū)間估計(jì)。做區(qū)間估計(jì)。XUn對給定的置信水平對給定的置信水平1- ，由，由確定臨界值（確定臨界值（X的雙側(cè)的雙側(cè) 分位數(shù)）得分位數(shù)）得 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為21P Uu 22,XuXunn將觀測值將觀測值 代入，則可得具體的區(qū)間。代入，則可得具體的區(qū)間。12,nx xx例例1 某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐中知道，滾珠直徑某車間生產(chǎn)滾珠，從長期實(shí)踐中知道，滾珠直徑X可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取可以認(rèn)為服從正態(tài)分布，從某天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取6個，個，測得直徑為（單位：測得直徑為（單位：cm） 14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.

6、1（1）試求該天產(chǎn)品的平均直徑）試求該天產(chǎn)品的平均直徑EX的點(diǎn)估計(jì)；的點(diǎn)估計(jì)；（2）若已知方差為）若已知方差為0.06，試求該天平均直徑，試求該天平均直徑EX的置信的置信 區(qū)間：區(qū)間： =0.05； =0.01。解解 （1）由矩法估計(jì)得）由矩法估計(jì)得EX的點(diǎn)估計(jì)值為的點(diǎn)估計(jì)值為 114.6 15.1 14.9 14.8 15.2 15.114.956EXx續(xù)解續(xù)解 （2）由題設(shè)知）由題設(shè)知XN（ ，0.06） 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量，得統(tǒng)計(jì)量，得EX的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 22,XuXunn當(dāng)當(dāng) =0.05時，時，0.0251.96u而而 0.0614.95,0.16xn所以，所以，EX的置信區(qū)

7、間為（的置信區(qū)間為（14.754，15.146）當(dāng)當(dāng) =0.01時，時，0.0052.58u所以，所以，EX的置信區(qū)間為（的置信區(qū)間為（14.692，15.208）置信水平提高，置信區(qū)間擴(kuò)大，估計(jì)精確度降低。置信水平提高，置信區(qū)間擴(kuò)大，估計(jì)精確度降低。 例例2 假定某地一旅游者的消費(fèi)額假定某地一旅游者的消費(fèi)額X服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N（ ， 2），且標(biāo)準(zhǔn)差），且標(biāo)準(zhǔn)差 =12元，今要對該地旅游者的平元，今要對該地旅游者的平均消費(fèi)額均消費(fèi)額EX加以估計(jì)，為了能以加以估計(jì)，為了能以95%的置信度相信這種的置信度相信這種估計(jì)誤差小于估計(jì)誤差小于2元，問至少要調(diào)查多少人？元，問至少要調(diào)查多少人？解解

8、 由題意知：消費(fèi)額由題意知：消費(fèi)額XN（ ，122），設(shè)要調(diào)查），設(shè)要調(diào)查n人。人。由由 10.950.05即即 21.96u1.960.95XPn得得 查表得查表得 而而 2X1.962n解得解得 21.96 12138.292n至少要調(diào)查至少要調(diào)查139人人正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì) 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 ， 均未知均未知 由由 (1)Xt nSn構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 XTSn當(dāng)置信水平為當(dāng)置信水平為1- 時，由時，由 2(1)1P Ttn 查查t-分布表確定分布表確定 2(1)tn從而得從而得 的置信水平為的置信水平

9、為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 22(1),(1)SSXtnXtnnn例例3 某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量某廠生產(chǎn)的一種塑料口杯的重量X被認(rèn)為服從正態(tài)被認(rèn)為服從正態(tài)分布，今隨機(jī)抽取分布，今隨機(jī)抽取9個，測得其重量為（單位：克）：個，測得其重量為（單位：克）：21.1，21.3，21.4，21.5，21.3，21.7，21.4，21.3，21.6。試用。試用95%的置信度估計(jì)全部口杯的平均重量。的置信度估計(jì)全部口杯的平均重量。解解 由題設(shè)可知：口杯的重量由題設(shè)可知：口杯的重量XN（ ， 2） 由抽取的由抽取的9個樣本，可得個樣本，可得 0.18 21.4 9Sxn由由 10.950.050.0

10、25(8)2.306t得得 查表得查表得 20.18(8)2.3060.138369Stn全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（全部口杯的平均重量的置信區(qū)間為（21.26，21.54） P127例例5與與P126例例3的比較：的比較： 12 80 25Sxn解解 由題設(shè)可知：平均消費(fèi)額由題設(shè)可知：平均消費(fèi)額XN（ ， 2） 10.950.050.025(24)2.064t212(24)2.0644.953625Stn平均消費(fèi)額的置信區(qū)間為（平均消費(fèi)額的置信區(qū)間為（75.0464，84.9536） 由由 得得 查表得查表得 估計(jì)誤差為估計(jì)誤差為 2 4.95369.90722 精確度降低精確度降低 原

11、因：樣本容量減少原因：樣本容量減少 在實(shí)際應(yīng)用中，方差未知的均值的區(qū)間估計(jì)在實(shí)際應(yīng)用中，方差未知的均值的區(qū)間估計(jì)較有應(yīng)用價值。較有應(yīng)用價值。 練習(xí)練習(xí) 假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量假設(shè)某片居民每月對某種商品的需求量X服從正態(tài)服從正態(tài)分布，經(jīng)調(diào)查分布，經(jīng)調(diào)查100家住戶，得出每戶每月平均需求量為家住戶，得出每戶每月平均需求量為10公斤，方差為公斤，方差為9，如果某商店供應(yīng)，如果某商店供應(yīng)10000戶，試就居民戶，試就居民對該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（對該種商品的平均需求量進(jìn)行區(qū)間估計(jì)（ =0.01），并），并依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以依此考慮最少要準(zhǔn)備多少這種商品才能以99

12、%的概率滿的概率滿足需求？足需求？29 10 100Sxn解解 由題設(shè)可知：平均需求量由題設(shè)可知：平均需求量XN（ ， 2） 0.010.0050.005(99)2.57tu23(99)2.570.771100Stn平均消費(fèi)額的置信區(qū)間為（平均消費(fèi)額的置信區(qū)間為（9.229，10.771） 由由 查表得查表得 續(xù)解續(xù)解 要以要以99%的概率滿足的概率滿足10000戶居民對該種商品的戶居民對該種商品的需求，則最少要準(zhǔn)備的量為需求，則最少要準(zhǔn)備的量為9.229 1000092290（公斤）（公斤） 最多準(zhǔn)備最多準(zhǔn)備 10.771 10000107710（公斤）（公斤） 正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)

13、間估計(jì)正態(tài)總體均值已知，對方差的區(qū)間估計(jì) 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 已知，已知， 2未知未知 由由 (0,1)iXN構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 2222121( )niniiiXXn查查 2- 分布表，確定雙側(cè)分位數(shù)分布表，確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiiXXnn例題例題已知某種果樹產(chǎn)量服從（已知某種果樹產(chǎn)量服從（218， 2），隨機(jī)），隨機(jī)抽取抽取6棵計(jì)算其產(chǎn)量為（單位：公斤）棵計(jì)算其產(chǎn)量為（單位：公斤）221，191，202，205，256，

14、236試以試以95%的置信水平估計(jì)產(chǎn)量的方差。的置信水平估計(jì)產(chǎn)量的方差。解解 計(jì)算計(jì)算 6212931iix查表查表 1 0.05 20.05 222(6)1.24,(6)14.45果樹方差的置信區(qū)間為果樹方差的置信區(qū)間為 2931 2931,202.84,2363.7114.45 1.24正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì) 如果總體如果總體XN（ ， 2），其中），其中 2未知未知 由由 222(1)(1)nSn構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 222(1)nS當(dāng)置信水平為當(dāng)置信水平為1- 時，由時，由 1222222(1)(1)(1)1nSPnn 查查 2- 分

15、布表，確定雙側(cè)分位數(shù)分布表，確定雙側(cè)分位數(shù) 從而得從而得 2的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn例例4 設(shè)某燈泡的壽命設(shè)某燈泡的壽命XN（ ， 2），）， ， 2未知，現(xiàn)未知，現(xiàn)從中任取從中任取5個燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)個燈泡進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得數(shù)據(jù)10.5，11.0，11.2，12.5，12.8（單位：千小時），求置信水平為（單位：千小時），求置信水平為90%的的 2的區(qū)間估計(jì)。的區(qū)間估計(jì)。解解 樣本方差及均值分別為樣本方差及均值分別為 20.99511.6Sx10.90.1220.051 0.

16、05(4)0.711(4)9.488220.05(1)4 0.9955.5977(4)0.711nS 2的置信區(qū)間為（的置信區(qū)間為（0.4195，5.5977） 由由 得得 查表得查表得 220.95(1)0.4195(4)nS小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì) （1）方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)）方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì) 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造U-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，確定確定U的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 22,XuXunn2u得得EX的的區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)為為 小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布

17、的均值或方差的區(qū)間估計(jì)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì) （2）方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì)）方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì) 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造T-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量，查，查t-分布臨界值表，分布臨界值表，確定確定T的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 22(1),(1)SSXtnXtnnn得得EX的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 2(1)tn小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì) （3）均值已知，對方差的區(qū)間估計(jì)）均值已知，對方差的區(qū)間估計(jì) 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量，查，查 2-分布臨界值表，分布臨界值表，確定

18、確定 2的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 得得 2的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 12222( ),( )nn212221122,( )( )nniiiiXXnn小小 結(jié)結(jié) 總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì)總體服從正態(tài)分布的均值或方差的區(qū)間估計(jì) （4）均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì)）均值未知，對方差的區(qū)間估計(jì) 假設(shè)置信水平為假設(shè)置信水平為1- 構(gòu)造構(gòu)造 2-統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量，查，查 2-分布臨界值表，分布臨界值表，確定確定 2的的雙側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù) 得得 2的區(qū)間估計(jì)為的區(qū)間估計(jì)為 12222(1),(1)nn2122222(1)(1),(1)(1)nSnSnn（1）方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造）方差已知，對均值的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造U統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 22,XuXunn（2）方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造）方差未知，對均值的區(qū)間估計(jì)，構(gòu)造T統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 2