基于MATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

1、四川師范大學本科畢業(yè)設計基于MATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析學生姓名宋宇院系名稱工學院專業(yè)名稱電氣工程及其自動化班 級 2010 級 1 班學 號2010180147指導教師楊楠完成時間2014年 5月 12日 基于MATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析電氣工程及其自動化本科生 宋宇 指導老師 楊楠摘要 系統(tǒng)是指具有某些特定功能，相互聯(lián)系、相互作用的元素的集合。一般來說，穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常運行的首要條件。如果系統(tǒng)是不穩(wěn)定，它可以使電機不工作，汽車失去控制等等。因此，只有穩(wěn)定的系統(tǒng)，才有價值分析與研究系統(tǒng)的自動控制的其它問題。為了加深對穩(wěn)定性方面的研究，本設計運用了MATLAB軟

2、件采用時域、頻域與根軌跡的方法對系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定和分析。關鍵詞：系統(tǒng)穩(wěn)定性 MATLAB MATLAB穩(wěn)定性分析ABSTRACT System is to point to have certain function, connect with each other, a collection of interacting elements. Generally speaking, the stability is an important performance of system, also is the first condition of system can run normally

3、. If the system is not stable, it could lead to motor cannot work normally, the car run out of control, and so on. Only the stability of the system, therefore, have a value analysis and the research system of the automatic control of other problems. In order to deepen the study of stability, this de

4、sign USES the MATLAB software using the time domain, frequency domain and the root locus method determination and analysis of the system stability.Keywords: system stability MATLAB MATLAB stability analysisIII 目 錄摘要 IABSTRACTII目錄1.緒論11.1自動控制理論發(fā)展概述11.1.1經(jīng)典控制理論的發(fā)展及其基本內(nèi)容11.1.2現(xiàn)代控制理論的發(fā)展及其基本內(nèi)容11.1.3智能控制理

5、論的發(fā)展及其主要內(nèi)容21.2本文的章節(jié)安排22控制系統(tǒng)的理論基礎32.1控制系統(tǒng)的基本形式32.1.1閉環(huán)控制系統(tǒng)32.1.2開環(huán)控制系統(tǒng)42.1.3小結42.2控制系統(tǒng)的分類42.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性53 MATLAB基礎介紹63.1MALTAB概述63.2MATLAB的特點64穩(wěn)定性分析的方法介紹74.1時域分析法74.1.1時域分析法的概念74.1.2控制系統(tǒng)的性能指標74.1.3典型的輸入信號74.1.4系統(tǒng)時域分析函數(shù)-Step函數(shù)84.1.5控制系統(tǒng)的時域分析-impulse函數(shù)105根軌跡分析法125.1根軌跡分析法的概念125.1.1一般控制系統(tǒng)125.2繪制控制系統(tǒng)的根軌跡圖的

6、一般規(guī)則125.3pzmap函數(shù)135.4rlocus函數(shù)146頻域法分析166.2奈氏圖（Nyquist）166.3波德圖（Bode）187總結22參考文獻23致謝24基于MATLAB的控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析1.緒論這章講述了自動控制理論與控制技術概述，主要介紹了幾種自動控制理論的發(fā)展概況以及基本的內(nèi)容。最后介紹了本文的主要工作1.1自動控制理論發(fā)展概述自動控制是指在一些工業(yè)過程可以是一個很好的人來代替生產(chǎn)設備的自動控制，能夠達到理想的狀態(tài)或性能指標。在發(fā)展歷程中，自動控制理論從創(chuàng)立到現(xiàn)在已經(jīng)經(jīng)歷了三代的發(fā)展。第一代為20世紀初開始形成并于20世紀50年代趨于經(jīng)典反饋控制理論；第二代為20世紀5

7、0年代在線性代數(shù)的數(shù)學基礎上發(fā)展起來的現(xiàn)代控制理論；第三代為20世紀60年代中期，在科技的高速發(fā)展過程中形成了智能控制系統(tǒng)。下面我將逐步對三個時代的發(fā)展進行簡要的介紹。1.1.1經(jīng)典控制理論的發(fā)展及其基本內(nèi)容在產(chǎn)業(yè)革命時期，英國人Jamera Watt發(fā)明蒸汽機離心式調(diào)速器，很好的解決了蒸汽機在超強負載的變化下保持基本恒速的問題。因此，自動控制才引起了人們的重視。在20世紀30年代Nyquist于1932年提出了穩(wěn)定性的頻域判據(jù)，Bode于1940年在“頻域法”中引入對數(shù)坐標系并寫了網(wǎng)絡分析和反饋放大器一書。直到20世紀50年代，經(jīng)典控制理論已趨于成熟。經(jīng)典控制理論主要研究線性定常系統(tǒng)。 雖然

8、經(jīng)典控制理論僅僅適用于單輸入，單輸出的系統(tǒng)，但是至今仍然在各種工業(yè)控制領域。從面前發(fā)展情況來看，經(jīng)典控制理論也有一定的局限性：一方面在傳遞函數(shù)和頻率特性的基礎上，不能很好的反映系統(tǒng)在內(nèi)部中的地位：另一方面對于多輸入，多輸出的系統(tǒng)時，經(jīng)典控制理論無能為力。1.1.2現(xiàn)代控制理論的發(fā)展及其基本內(nèi)容現(xiàn)代控制理論是為了客服經(jīng)典控制理論的局限性逐步發(fā)展起來的。為了很好的解決經(jīng)典控制理論的一些問題，現(xiàn)代控制理論引入了“狀態(tài)”的概念，用“狀態(tài)變量”及“狀態(tài)方程”描述系統(tǒng)。采用狀態(tài)方程后，能夠用向量、矩陣等形式來表示系統(tǒng)的運動方程，因此這種方法運算比較簡單、對概念的理解也能夠很好的分析透徹。1.1.3智能控制

9、理論的發(fā)展及其主要內(nèi)容“智能控制”這一概念是由美國普金大學（Purdue University）電氣工程系的美籍華人傅京孫教授于20世紀70年代初提出的。智能控制是指驅(qū)動智能機器自主地實現(xiàn)其目標的過程。隨著社會的發(fā)展迅速，現(xiàn)在已經(jīng)出現(xiàn)了各種不同的復合控制理論，如模糊PID復合控制、專家模糊控制等等。1.2本文的章節(jié)安排本文主要對以下幾個方面進行研究和分析：第一章緒論部分首先論述了本課題基礎的自動控制理論的一些背景及發(fā)展狀況，主要介紹了經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論以及智能控制理論。第二章從本文的整體方向出發(fā)，認真分析了控制系統(tǒng)的理論基礎、基本形式以及特點。第三章論述了本設計使用的MATLAB的一些

10、發(fā)展狀況，以及在自動控制系統(tǒng)中一些簡單的應用。第四章詳細論述了時域分析法，主要運用了step函數(shù)以及impulse函數(shù)對控制系統(tǒng)方程利用MATLAB繪制圖像曲線，并對圖像曲線進行分析。第五章詳述了利用根軌跡法對控制系統(tǒng)的穩(wěn)定進行分析，主要pzmap函數(shù)rlocus函數(shù)對控制系統(tǒng)方程利用MATLAB繪制圖像曲線，并對此進行簡要的分析。第六章論述了運用頻率法分析系統(tǒng)控制的穩(wěn)定性，在開環(huán)系統(tǒng)控制中運用奈氏圖（Nyquist）、波德圖（Bode）分析系統(tǒng)的性能。第七章對本文進行了總結。2控制系統(tǒng)的理論基礎控制系統(tǒng)一般有輸入系統(tǒng)、輸出系統(tǒng)、以及調(diào)節(jié)系統(tǒng)。適用于電子、化工、機械等等許多社會生活領域中?？梢?/p>

11、，自動控制已經(jīng)成為現(xiàn)代社會生活中不可缺少的重要組成部分。2.1控制系統(tǒng)的基本形式控制系統(tǒng)有兩種最基本的形式，即開環(huán)控制和閉環(huán)控制。其中閉環(huán)控制系統(tǒng)是工業(yè)生產(chǎn)用得最為廣泛的系統(tǒng)。2.1.1閉環(huán)控制系統(tǒng)閉環(huán)控制的特點是控制器與被控對象之間，有一個積極的影響不僅存在，但相反的效果，使系統(tǒng)具有對控制量的輸出直接影響。其簡要的結構示意圖可以用圖1表示:控制器受控對象 輸入量 控制量 輸出量 反饋元件 反饋信號 圖1 閉環(huán)控制系統(tǒng)示意圖由圖2.1可以看出，閉環(huán)控制系統(tǒng)的自動控制或者自動調(diào)節(jié)作用是基于輸出信號的負反饋作用而產(chǎn)生的，所以經(jīng)典控制理論的主要研究對象是負反饋的閉環(huán)控制系統(tǒng)，研究目的是得到它的一般規(guī)

12、律，因此可以設計出符合要求，各種性能達標的控制系統(tǒng)。2.1.2開環(huán)控制系統(tǒng)開環(huán)控制系統(tǒng)的一個特點是，由于沒有反饋而使系統(tǒng)穩(wěn)定性不如閉環(huán)系統(tǒng)。圖1表示了其簡要的結構示意圖：控制器被控對象 輸入量 控制作用 輸出量 圖2 開環(huán)控制系統(tǒng)示意圖在開環(huán)控制系統(tǒng)的結構示意圖中可以看出，只有輸入量對輸出量產(chǎn)生控制作用；從控制結構上來看，只有從輸入端到輸出端、從左到右的信號傳遞通道（改通道稱為正向通道）。2.1.3小結從上述兩種控制系統(tǒng)的結構示意圖可以很明顯的知道：在工作原理方面：開環(huán)控制系統(tǒng)不能檢測誤差，也不能校正誤差。因此開環(huán)控制系統(tǒng)一般只適用于一些精度要求不高的一些場合。閉環(huán)控制系統(tǒng)則可以自動反饋干擾所

13、帶來的誤差。結構組成：雖然開環(huán)控制系統(tǒng)的應用有限，但是它是組成閉環(huán)控制系統(tǒng)所不可缺少的部分。穩(wěn)定性：開環(huán)控制系統(tǒng)的結構簡單，穩(wěn)定性比較容易解決。而閉環(huán)控制系統(tǒng)引入的反饋回路增加了系統(tǒng)的復雜性。2.2控制系統(tǒng)的分類.按控制系統(tǒng)是否形成閉合回路分類：開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)。.按信號的結構特點分類：反饋控制系統(tǒng)和反饋控制系統(tǒng)以及前饋-反饋復合控制系統(tǒng)。.按給定值信號的特點分類：恒值控制系統(tǒng)、隨動控制系統(tǒng)和程序控制系統(tǒng)。.按控制系統(tǒng)元件的特性分類：線性控制系統(tǒng)和非線性控制系統(tǒng)。.按控制系統(tǒng)信號的形式分類：連續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制控制。2.3控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)最重要的特性之一。它表示了控

14、制系統(tǒng)承受各種擾動，保持其預定工作的能力。不穩(wěn)定的系統(tǒng)就是無用的系統(tǒng)，只有系統(tǒng)穩(wěn)定才能獲得實際應用。因此，結合系統(tǒng)數(shù)學各方面的知識，總結了以下幾種方法來對系統(tǒng)穩(wěn)定性的分析。 .羅斯-霍爾維茲準則 .梅森公式 .勞斯判據(jù) .波德圖上的穩(wěn)定性判據(jù) .根據(jù)系統(tǒng)階躍響應判斷穩(wěn)定性等等。本設計將在時域中、頻域中以及根軌跡下利用MATAB軟件來分析與判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。3 MATLAB基礎介紹MATLAB軟件廣泛的應用于系統(tǒng)建模與仿真、自動控制、圖形圖像處理等工程領域。因此，本章將簡要的介紹一些有關MATLAB的發(fā)展背景以及特點。3.1MALTAB概述MATLAB是由MathWorks公司開發(fā)的一套功能強大

15、的數(shù)學軟件，也是當今科技界應用最廣泛的計算機語言之一。它集數(shù)值計算、符號運算、計算機可視為一體，是其他許多語言不能比擬的。MATLAB 發(fā)展至今，現(xiàn)已集成了許多工具箱，如控制系統(tǒng)工具箱、信號處理工具箱、模糊推理系統(tǒng)工具箱、Simulink 工具箱等。為此，MATLAB 語言在控制工程領域已獲得了廣泛的應用。3.2MATLAB的特點它具有強大的科學計算功能，能夠很快速很準確計算出各種問題，在科學界領域中占有重要的地位，更是為一群科學研究人員提供了巨大的方便。與此同時MATLAB是一種先進的可視化工具，具有很強的開放性以及擴展性，眾多面向領域應用的工具箱和模塊集。簡單的來說，MATLAB語言最大的

16、特點就是簡單和直接。一方面，由于它允許使用數(shù)學形式的語言編寫程序，而且編寫簡單。由此可見，它的編程效率高，通俗易懂；另一方面MATLAB的繪圖也是十分方便的，它有一系列的繪圖函數(shù)，例如：本設計將在下文講述到的step函數(shù)、impluse函數(shù)、pzmap函數(shù)等等。只需輸入相應的函數(shù)及一些簡單的代碼即可獲得所需要的圖像曲線，并能很清楚的分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。MATLAB也有一定的缺點，它和其他的高級程序相比，程序的執(zhí)行速度比較緩慢。在界面功能上面也顯得比較弱，不能實現(xiàn)數(shù)據(jù)采集和端口操作等功能。4穩(wěn)定性分析的方法介紹4.1時域分析法4.1.1時域分析法的概念時域分析法是在時間域內(nèi)研究控制系統(tǒng)的性能的方法

17、。它是直接基于拉普拉斯變換求解系統(tǒng)的微分方程系統(tǒng)的響應時間，然后基于響應和響應曲線，分析系統(tǒng)的動態(tài)響應性能和穩(wěn)態(tài)性能的表達。4.1.2控制系統(tǒng)的性能指標 首先，系統(tǒng)性能可以分為動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能。系統(tǒng)的動態(tài)性能表現(xiàn)在過渡過程完結之前的響應中，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能表現(xiàn)在過渡過程完結之后的響應中。 其次，一般的動態(tài)性能指標定義為以下幾種：1. 上升時間：假如階躍響應不超過穩(wěn)態(tài)值，上升時間定義為響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。2. 峰值時間：階躍響應從運動開始到達第一個峰值的時間。3. 超調(diào)量：線性控系統(tǒng)在階躍信號輸入下的響應過程曲線也就是階躍響應曲線分析動態(tài)性能的一個指標值。4. 調(diào)節(jié)時

18、間：階躍響應達到穩(wěn)態(tài)值的時間。一般取誤差帶為±2%或者±5%。5. 穩(wěn)態(tài)誤差：當時間t趨于無窮時，系統(tǒng)希望的輸出與實際的輸出之差。4.1.3典型的輸入信號控制系統(tǒng)中常用的典型輸入信號有:單位階躍函數(shù)、單位斜坡函數(shù)、單位加速度函數(shù)、單位脈沖函數(shù)和正弦函數(shù)。這些函數(shù)都是簡單的時間函數(shù)，很便于數(shù)學分析，和實驗研究。例1：已知一控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)=(10s+5)/(6s2+7s+20)繪制其單位階躍響應曲線并分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：利用MATLAB軟件輸入以下程序>> G=tf(10,5,6,7,20);>> Step(G)>> titl

19、e('單位階躍響應')>> grid即可得到下面的圖像如圖3：圖3 單位階躍響應由圖3可知，在系統(tǒng)在及其短暫的時間內(nèi)（t=0.9s）到達了最大值，由此可以看出該系統(tǒng)具有很好的傳遞性以及快速性，但是系統(tǒng)具有很大的超調(diào)量，t在0s到7s期間，曲線的波動很大，系統(tǒng)的穩(wěn)定性欠佳。但是隨著時間的推移，曲線波動不大趨于穩(wěn)定并收斂。這個系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.75.4.1.4系統(tǒng)時域分析函數(shù)-Step函數(shù)Step函數(shù)用于計算線性系統(tǒng)系統(tǒng)的單位階躍響應，當不帶輸入變量時，step函數(shù)可在當前窗口直接繪制出系統(tǒng)的單位沖激響應曲線。例2：已知一控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：G(s)=(10s+5)

20、/(2s2+s+9),求其階躍并分析系統(tǒng)的性能。解：利用MATLAB軟件輸入以下程序>> clear>> G=tf(10,5,2,2,9);>> step(G)>> title('階躍響應效果圖')>> grid即可得到以下圖像圖4階躍響應效果圖由圖4可知，系統(tǒng)在極短的時間內(nèi)（t=1.1s）達到了最大值，在接下來1s左右系統(tǒng)達到了最小值。曲線在t=（0s9s）之間波動很大，此時系統(tǒng)的穩(wěn)定性比較差。在隨后的時間里，曲線趨于直線，對應的系統(tǒng)也逐步趨于穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0.4。4.1.5控制系統(tǒng)的時域分析-impulse

21、函數(shù)它的主要功能是：用于求取連續(xù)系統(tǒng)單位脈沖響應的函數(shù)。它的調(diào)用格式如下：impulse(sys)：求取系統(tǒng)sys的單位脈沖響應曲線。impulse(sys,t)：求取系統(tǒng)sys的單位脈沖響應曲線，t為選定的仿真時間向量。說明：sys描述的系統(tǒng)是系統(tǒng)的單位脈沖響應，也可適用于SISO或MIMO的連續(xù)時間系統(tǒng)或離散時間系統(tǒng)。例3：已知控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為： 試繪制其系統(tǒng)的單位脈沖響應效果圖。其實現(xiàn)的MATLAB的代碼如下>>clc>> a=-0.5 -0.7;0.7 0;>> b=1 -1;0 2;>> c=1.9 6;>>sys=

22、ss(a,b,c,0);>> impulse(sys)>> grid on;>> title('單位脈沖響應效果圖');>> xlabel('時間/s');ylabel('幅度');運行程序。效果如下圖：圖5 單位脈沖響應效果圖由圖5可知系統(tǒng)在t=15s之前曲線波動比較大，說明這個系統(tǒng)在這段時間里不穩(wěn)定；在隨后的時間曲線趨于直線并收斂，此時說明系統(tǒng)逐步趨于穩(wěn)定。5根軌跡分析法5.1根軌跡分析法的概念根軌跡分析法是分析和設計線性定?？刂葡到y(tǒng)的圖解法，其利用開環(huán)控制系統(tǒng)的根軌跡效果圖來分析系統(tǒng)參數(shù)變化對

23、閉環(huán)系統(tǒng)性能的影響。1984年，W.R.Evans提出了一種求特征根的簡單方法，并且在控制系統(tǒng)的分析和設計中得到廣發(fā)的應用。根軌跡法具有很直觀的特點，還可以分析參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。5.1.1一般控制系統(tǒng)一般系統(tǒng)結構圖如圖6：G(s) R(s) C(s) + - H(s)圖6 一般系統(tǒng)根軌跡示意圖開環(huán)傳遞函數(shù)為Go(s)=G(s)H(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)為Gc(s)=C(s)/R(s)=G(s)/(1+G(s)H(s)=G(s)/(1+Go(s)5.2繪制控制系統(tǒng)的根軌跡圖的一般規(guī)則根軌跡的分支數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)極點的個數(shù)。根軌跡的始點（相應于K=0）為開環(huán)傳遞函數(shù)的極點，根軌跡的終點（相應于

24、K=）為開環(huán)傳遞函數(shù)的有窮零點或無窮遠零點。根軌跡形狀對稱于坐標系的橫軸（實軸）。實軸上的根軌跡按下述方法確定：將開環(huán)傳遞函數(shù)的位于實軸上的極點和零點由右至左順序編號，由奇數(shù)點至偶數(shù)點間的線段為根軌跡。實軸上兩個開環(huán)極點或兩個開環(huán)零點間的根軌跡段上，至少存在一個分離點或會合點，根軌跡將在這些點產(chǎn)生分岔。在無窮遠處根軌跡的走向可通過畫出其漸近線來決定。漸近線的條數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)的極點數(shù)與零點數(shù)之差。根軌跡沿始點的走向由出射角決定，根軌跡到達終點的走向由入射角決定。根軌跡與虛軸（縱軸）的交點對分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性很重要，其位置和相應的K值可利用代數(shù)穩(wěn)定判據(jù)來5.3pzmap函數(shù)Pzmap函數(shù)的調(diào)用格

25、式如下：Pzmap(sys):對SISO系統(tǒng)，sys為繪制的傳輸函數(shù)的零極點圖。Pzmap(sys1,sys2,sysN):對MIMO系統(tǒng)，sys1,sys2,sysN為繪制的N個傳輸函數(shù)的零極點圖。Pzmap函數(shù)可在當前圖像窗口中繪制系統(tǒng)的零極點圖，其中極點用“X”表示，零點用“O”表示。例4：已知閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：G(s)=(4s4+3s3+10s2+8s+11)/(2s5+6s4+7s3+3s2+9s+1) 繪制零點極點圖,判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：繪制零點極點圖其實現(xiàn)的程序代碼如下：>>clc>> num=4 3 10 8 11;>> den=2 6

26、 7 3 9 1;>> sys=tf(num,den);>> pzmap(sys)執(zhí)行程序，運行結果如下：圖7 系統(tǒng)零極點分布圖由圖7可知，該系統(tǒng)有位于s右半平面的極點，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。下面本設計將用rlocus函數(shù)來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.4rlocus函數(shù)Rlocus函數(shù)可以計算出或畫出SISO系統(tǒng)的根軌跡，rlocus(sys):根據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)sys模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖，開環(huán)增益的值從零到無窮大變化。它的調(diào)用格式一般如下：Rlocus:在當前窗口繪制SISO開環(huán)模型的Evans根軌跡。Rlocus(sys)：根據(jù)SISO開環(huán)系統(tǒng)sys模型，直

27、接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開環(huán)增益的值從零到無窮大變化。Rlocus(sys1,sys2,)：同時在屏幕上繪制出多個系統(tǒng)的根軌跡圖。例5：已知反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)= 3K/(s(s2+4s+6)試繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。解：其實現(xiàn)的MATLAB代碼如下：>> num=3;>> den=conv(1 0,1 4 6 );>> G=tf(num,den);>> rlocus(G)>> grid on>> title('根軌跡圖')>> xlabel('實坐標軸');

28、ylabel('虛坐標軸')運行程序，效果圖如下： 圖8 系統(tǒng)根軌跡分布圖由圖5.3可知當K=1時，在平面的右邊系統(tǒng)無極點。此時系統(tǒng)穩(wěn)定。為了更好的確定K值范圍來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，本設計利用勞斯判據(jù)來處理相關問題。對已知開環(huán)系統(tǒng)方程作出閉環(huán)系統(tǒng)方程,G(s)=3K/(s3+4s2+6s+3K),首先作出勞斯表如下：s3 1 6s2 4 3Ks1 (6-0.75K) 0s0 3K由系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件必要條件為：勞斯表中，如果第一列元素全部大于0，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。因此可以得出上述系統(tǒng)方程要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則3K0；（6-0.75K）0；解得：當0K8時系統(tǒng)處理穩(wěn)定狀

29、態(tài)；當K=0或者8時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；當K8或者K0時系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。6頻域法分析6.1頻域法分析的基本概念頻域法分析法是利用頻率特性研究線性系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法，可以用開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖（Nyquist）、波德圖（Bode）、尼氏圖（Nichols）分析系統(tǒng)的性能。在電路上，它是借助傅里葉級數(shù)，將非正弦周期性電壓（電流）分解為一系列不同頻率的正弦量之和，按照正弦交流電路計算方法對不同頻率的正弦量分別求解，再根據(jù)線性電路疊加定理進行疊加即為所求的解。本設計著重介紹奈氏圖以及波德圖來分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。6.2奈氏圖（Nyquist）Nyquist 穩(wěn)定性判據(jù)，簡稱奈氏判據(jù)，它是頻域中，利用系統(tǒng)

30、的開環(huán)頻率特性來判定性來獲得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的判別方法。奈氏穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容是:若開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面上有P個極點,則當系統(tǒng)角頻率X由-變到+時,如果開環(huán)頻率特性的軌跡在復平面上時針圍繞(-1,j0)點轉(zhuǎn)R圈,若Z=P-R,Z=0則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定,否則,是不穩(wěn)定的.頻域穩(wěn)定性判據(jù)所依據(jù)的是控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性，也就是僅僅利用系統(tǒng)的開環(huán)信息，不僅可以確定系統(tǒng)的絕對穩(wěn)定性，而且可以以提供相對穩(wěn)定性的信息，也就是說，系統(tǒng)如果是穩(wěn)定的，那么動態(tài)性能是否好，或者如果系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，那么與穩(wěn)定情況還差多少等等。所以頻域穩(wěn)定性判據(jù)不僅用于系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，而且可以更方便地用于控制系統(tǒng)的設計與綜合。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)

31、定的充要條件：如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist 圖逆時針包圍(-1,j0)點的圈數(shù)等于開環(huán)右極點的個數(shù)p，則系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s 右半平面上有p 個極點，當由負無窮到正無窮時，GH平面上的開環(huán)頻率特性G(j)H(j)逆時針包圍(-1,j0)點p 圈，則閉環(huán)穩(wěn)定。當取值由負無窮到正無窮時，其開環(huán)G(j)H(j)軌跡必須逆時針包圍(-1,j0)點p 次，否則就不穩(wěn)定。MATLAB 提供了函數(shù)Nyquist 來繪制系統(tǒng)的Nyquist 曲線，其基本調(diào)用格式為: s3 + 0.3s 2 +15s + 200 re,im,w=nyquist(sys)此函數(shù)可以用來求解、繪制系統(tǒng)的n

32、yquist 曲線，可以分析包括增益裕度、相角裕度及穩(wěn)定性等系統(tǒng)特性。如果使用時沒有返回輸出參數(shù)，函數(shù)會屏幕上直接繪制出nyquist 曲線。在MATLAB 中輸入程序后，自動運行，即繪制出了奈氏曲線。例6：已知某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：G(s)H(s)=100/(0.006s3 + 0.3s 2 +8s + 50),用Nyquist 穩(wěn)定判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：先計算系統(tǒng)開環(huán)特征方程的根，其實現(xiàn)的程序代碼如下：>>clear all;>> K=0.006 0.3 8 50Roots(K)運行程序，輸出如下ans = -20.7512 +23.4531i -20.75

33、12 -23.4531i -8.4977 可以看出，3個根負實部，都是穩(wěn)定根，所以開環(huán)特征方程根的不穩(wěn)定。再繪制系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist 曲線并用來判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。其實現(xiàn)的方程如下：>>clear all>> N=100;>> D=0.006 0.3 8 50>> Gh=tf(N,D)>> Nyquist(Gh)運行程序后，繪制出系統(tǒng)的開環(huán)Nyquist 曲線如圖9：圖9 系統(tǒng)奈氏曲線由圖9可知，系統(tǒng)的Nyquist 曲線不包圍(-1,0)點，根據(jù)奈氏判據(jù)，其閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。6.3波德圖（Bode）對數(shù)坐標圖又稱為波德圖（Bo

34、de），由于方便實用，被廣泛的應用于控制系統(tǒng)頻域分析時的作圖。Bode 圖即對數(shù)頻率特性曲線，他有兩條曲線，分別是對幅頻特性與對數(shù)相頻特性。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的對數(shù)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它可以表示為：一個反饋控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實數(shù)根個數(shù)為Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半s 平面極點數(shù)P 和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值得所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線為負一百八十度，線的正負穿越之差為N 來確定。其中，Z=P-2N 當Z 為零時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則不穩(wěn)定且不穩(wěn)定閉環(huán)極點個數(shù)等于Z。還可以從波德圖中的系統(tǒng)的幅值裕量和相角裕量來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。波德圖上的等價判據(jù)，只適用于最小相位系

35、統(tǒng)，也可以導出波德圖上的等價判據(jù)，但有多種情況存在，也就沒有應用的價值了，所以本設計討論的是最小相位系統(tǒng)。這既然提到了最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)，就有必要說明一下他們的區(qū)別；即最小相位系統(tǒng)的零點和極點全部位于S 平面的左半平面。MATLAB 提供了一條直接求解和繪制系統(tǒng)的Bode 圖的函數(shù)bode()和一條直接求解系統(tǒng)的幅值穩(wěn)定裕度和幅值穩(wěn)定裕度的函數(shù)margin(),它們的調(diào)用格式分別為： bode(sys)；Bode(sys,w)；mag,phase,w=bode(sys)；Bode()函數(shù)用計算來計算并繪制系統(tǒng)的Bode 圖，當函數(shù)命令等式左邊的輸出變量的格式時，函數(shù)在當前窗口直接繪制

36、出系統(tǒng)的bode 圖。而mag,phase,w=bode(sys)只計算系統(tǒng)bode 圖的輸出數(shù)據(jù)，而不繪制曲線。Margin(sys)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(sys)Gm,Pm,Wcg,Wcp=margin(mag,phase,w)其中，mag,phase,w 分別為bode 圖求出的幅值裕度、相位裕度及對應的角頻率下面通過例子來說明bode 圖的判定方法。例7：已知一個單位負反饋的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=8/(s3 + 6s 2 + 4s) ,用bode 圖法判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。解：對系統(tǒng)執(zhí)行以下程序：>>clear all;>> num=0 0

37、 0 8;>> den=1 6 4 0;>> S=tf(num,den);>> Gm,Pm Wcp Wcg=margin(S)>> Margin(S)在MATLAB 中運行程序后，得到系統(tǒng)的bode 圖如圖10：圖10系統(tǒng)波德曲線圖同時MATLAB 計算出了頻域性能指標：GM=3.0000dBPm= 22.5835degWcp= 2.0000rad/sec;Wcg= 1.1095rad/sec,即幅值穩(wěn)定裕度為3.0dB,相裕穩(wěn)定裕度為22.6度，剪切頻率為1.1095rad/s。由這些指標可以看出幅值穩(wěn)定裕度是定量值，從而說明該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。并且具有較大的穩(wěn)定裕度。例8：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)=8