初三數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納

1、.北師大版初中數(shù)學(xué)定理知識(shí)點(diǎn)匯總 九年級(jí) ( 上冊)第一章證明(二)等腰三角形的“三線合一” ：頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。等邊三角形是特殊的等腰三角形，作一條等邊三角形的三線合一線，將等邊三角形分成兩個(gè)全等的直角三角形，其中一個(gè)銳角等于30o，這它所對(duì)的直角邊必然等于斜邊的一半。有一個(gè)角等于 60o的等腰三角形是等邊三角形。如果知道一個(gè)三角形為直角三角形首先要想的定理有：勾股定理： a 2b2c 2 （注意區(qū)分斜邊與直角邊）在直角三角形中，如有一個(gè)內(nèi)角等于30o，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半（此定理將在第三章出現(xiàn)）垂直平分線 是

2、垂直于一條線段 并且平分這條線段的直線。（注意著重號(hào)的意義）<直線與射線有垂線，但無垂直平分線>線段垂直平分線上的點(diǎn)到這一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等。線段垂直平分線逆定理：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。三角形的三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，并且這個(gè)點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（如圖1所示， AO=BO=CO）AADFOOCCBBE圖 1圖 2角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。角平分線逆定理：在角內(nèi)部的，如果一點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則它在該角的平分線上。角平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合。;.三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到三邊距離相等，交點(diǎn)即為三角形的內(nèi)

3、心。( 如圖 2 所示， OD=OE=OF)第二章一元二次方程只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，且都可以化為ax 2bxc0 （a、b、c 為常數(shù)， a0）的形式，這樣的方程叫一元二次方程。把 ax 2bxc0 （a、b、c 為常數(shù)， a0）稱為一元二次方程的一般形式，a 為二次項(xiàng)系數(shù)； b 為一次項(xiàng)系數(shù)； c 為常數(shù)項(xiàng)。解一元二次方程的方法：配方法< 即將其變?yōu)?(xm) 20 的形式 >公式法 xbb24ac （注意在找 abc 時(shí)須先把方程化為一般形式）2a分解因式法 把方程的一邊變成 0，另一邊變成兩個(gè)一次因式的乘積來求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘” ）配方法解一元二次

4、方程的基本步驟：把方程化成一元二次方程的一般形式；將二次項(xiàng)系數(shù)化成1；把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；把方程轉(zhuǎn)化成 ( xm)20 的形式；兩邊開方求其根。根與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)b2-4ac>0 時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b2-4ac=0 時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng) b2-4ac<0 時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。 如 果 一 元 二 次 方 程 ax2bx c 0 的 兩 根 分 別 為 x1 、 x2 ， 則 有 ：x1 x2bx1 x2c 。aa一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的作用：（1）已知方程的一根，求另一根；（2）不解方程，求二次方程的根x1、 x2 的

5、對(duì)稱式的值，特別注意以下公式：;. x12x22( x1x2 ) 22x1 x2 11x1 x2x1x2x1 x2( x1 x2 ) 2( x1x2 ) 24x1 x2| x1x2 |(x1x2 ) 24x1 x2(| x1 | | x2 |)2( x1x2 ) 22x1 x22| x1 x2 | x13x23( x1 x2 )33x1 x2 (x1 x2 )其他能用 x1x2 或 x1 x2表達(dá)的代數(shù)式。（3）已知方程的兩根 x1、 x2，可以構(gòu)造一元二次方程：x2( 1)xx1 x20x x2（ 4）已知兩數(shù) x1 、 x2 的和與積，求此兩數(shù)的問題，可以轉(zhuǎn)化為求一元二次方程x 2 (x1

6、 x2 )x x1x2 0 的根在利用方程來解應(yīng)用題時(shí)，主要分為兩個(gè)步驟：設(shè)未知數(shù)（在設(shè)未知數(shù)時(shí)，大多數(shù)情況只要設(shè)問題為 x；但也有時(shí)也須根據(jù)已知條件及等量關(guān)系等諸多方面考慮） ；尋找等量關(guān)系（一般地，題目中會(huì)含有一表述等量關(guān)系的句子，只須找到此句話即可根據(jù)其列出方程）。處理問題的過程可以進(jìn)一步概括為：問題分析求解方程解答抽象檢驗(yàn)第三章證明（三）平行四邊的定義：兩線對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形，平行四邊形不相鄰的兩頂點(diǎn)連成的線段叫做它的對(duì)角線。平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊相等, 對(duì)角相等 , 對(duì)角線互相平分。平行四邊形的判別方法：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。兩組對(duì)邊分別相

7、等的四邊形是平行四邊形。一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。兩條對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。平行線之間的距離：若兩條直線互相平行，則其中一條直線上任意兩點(diǎn)到另一條直線的距離相等。這個(gè)距離稱為平行線之間的距離。菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。;.菱形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì) , 且四條邊都相等 , 兩條對(duì)角線互相垂直平分 , 每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸。菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的

8、平行四邊形。矩形的性質(zhì)：具有平行四邊形的性質(zhì)，且對(duì)角線相等，四個(gè)角都是直角。 （矩形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）矩形的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。四個(gè)角都相等的四邊形是矩形。推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖 3所示)

9、：梯形定義：一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形。一個(gè)內(nèi)角為直角菱形一組鄰邊相等一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。（或?qū)蔷€相等）一組鄰邊相等且一個(gè)內(nèi)角為直角平行四邊形正方形（或?qū)蔷€互相垂直平分）一鄰邊相等矩形一內(nèi)角為直角或?qū)蔷€垂直鵬翔教圖 3等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等，對(duì)角線相等。同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形。;.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。夾在兩條平行線間的平行線段相等。在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半第四章視圖與投影三視圖包括：主視圖、俯視圖和左視圖。三視圖之間要保持長對(duì)正，高平齊，

10、寬相等。一般地，俯視圖要畫在主視圖的下方，左視圖要畫在正視圖的右邊。主視圖：基本可認(rèn)為從物體正面視得的圖象俯視圖：基本可認(rèn)為從物體上面視得的圖象左視圖：基本可認(rèn)為從物體左面視得的圖象視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上一個(gè)表面 ( 平面或曲面 ) ，而相連的兩個(gè)閉合線框一定不在一個(gè)平面上。在一個(gè)外形線框內(nèi)所包括的各個(gè)小線框，一定是平面體（或曲面體）上凸出或凹的各個(gè)小的平面體（或曲面體） 。在畫視圖時(shí)，看得見的部分的輪廓線通常畫成實(shí)線，看不見的部分輪廓線通常畫成虛線。物體在光線的照射下，會(huì)在地面或墻壁上留下它的影子，這就是投影 。太陽光線可以看成平行的光線，像這樣的光線所形成的投影稱為平行投影。探

11、照燈、手電筒、路燈的光線可以看成是從一點(diǎn)出發(fā)的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影 。區(qū)分平行投影和中心投影：觀察光源；觀察影子。眼睛的位置稱為視點(diǎn) ；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。從正面、上面、側(cè)面看到的圖形就是常見的正投影，是當(dāng)光線與投影垂直時(shí)的投影。點(diǎn)在一個(gè)平面上的投影仍是一個(gè)點(diǎn)；線段在一個(gè)面上的投影可分為三種情況：線段垂直于投影面時(shí)，投影為一點(diǎn)；線段平行于投影面時(shí)，投影長度等于線段的實(shí)際長度；線段傾斜于投影面時(shí)，投影長度小于線段的實(shí)際長度。平面圖形在某一平面上的投影可分為三種情況：平面圖形和投影面平行的情況下，其投影為實(shí)際形狀；;.平面圖形和投影面垂直的情況下，其

12、投影為一線段；平面圖形和投影面傾斜的情況下，其投影小于實(shí)際的形狀。第五章反比例函數(shù)反比例函數(shù)的概念：一般地，yk （ k 為常數(shù)， k 0）叫做反比例函數(shù)，即 y 是 x 的x反比例函數(shù)。（x 為自變量， y 為因變量，其中 x 不能為零）反比例函數(shù)的等價(jià)形式： y 是 x 的反比例函數(shù)yk (k 0) y kx 1 (k 0)xxyk (k0) 變量 y 與 x 成反比例，比例系數(shù)為k.判斷兩個(gè)變量是否是反比例函數(shù)關(guān)系有兩種方法：按照反比例函數(shù)的定義判斷；看兩個(gè)變量的乘積是否為定值 <即 xy k >。（通常第二種方法更適用）反比例函數(shù)的圖象由兩條曲線組成，叫做雙曲線反比例函數(shù)的

13、畫法的注意事項(xiàng)：反比例函數(shù)的圖象不是直線，所“兩點(diǎn)法”是不能畫的；選取的點(diǎn)越多畫的圖越準(zhǔn)確；畫圖注意其美觀性（對(duì)稱性、延伸特征）。反比例函數(shù)性質(zhì)：當(dāng) k>0 時(shí)，雙曲線的兩支分別位于一、三象限；在每個(gè)象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而減?。划?dāng) k<0 時(shí)，雙曲線的兩支分別位于二、四象限；在每個(gè)象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而增大；雙曲線的兩支會(huì)無限接近坐標(biāo)軸（x 軸和 y 軸），但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交。反比例函數(shù)圖象的幾何特征 :( 如圖 4所示 )點(diǎn) P(x,y) 在雙曲線上都有 S矩形 OAPB | xy | | k | S AOB1 | xy |1 |k |22第六章 頻率與概率BPPB

14、在頻率分布表里，落在各小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)叫做頻數(shù)；OAAO圖 4;.每一小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總數(shù)的比值叫做這一小組的頻率； 即：頻率頻數(shù)頻數(shù)數(shù)據(jù)總數(shù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)在頻率分布直方圖中，由于各個(gè)小長方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，而各組頻率的和等于 1。因此，各個(gè)小長方形的面積的和等于 1。頻率分布表和頻率分布直方圖是一組數(shù)據(jù)的頻率分布的兩種不同表示形式， 前者準(zhǔn)確，后者直觀。用一件事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一件事件發(fā)生的概率。可用列表的方法求出概率，但此方法不太適用較復(fù)雜情況。假設(shè)布袋內(nèi)有 m個(gè)黑球，通過多次試驗(yàn)，我們可以估計(jì)出布袋內(nèi)隨機(jī)摸出一球，它為白球的概率；要估算池塘里有多少條魚，我們可先從池塘里捉上 1

15、00 條魚做記號(hào)，再放回池塘，之后再從池塘中捉上 200 條魚，如果其中有 10 條魚是有標(biāo)記的，再設(shè)池塘共有 x 條魚，則可依照 10010 估算出魚的條數(shù)。（注意估算出來的數(shù)據(jù)不是確切的，所以應(yīng)謂之x 200“約是 XX”）生活中存在大量的不確定事件，概率是描述不確定現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，它能準(zhǔn)確地衡量出事件發(fā)生的可能性的大小，并不表示一定會(huì)發(fā)生。初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) ( 下冊 )第一章直角三角形邊的關(guān)系一 .正切：定義：在Rt ABC中，銳角 A 的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記作 tanA ，即A的對(duì)邊tan A;A的鄰邊 tanA 是一個(gè)完整的符號(hào)，它表示 A 的正切，記號(hào)里習(xí)慣省去角的符

16、號(hào)“” ；tanA 沒有單位，它表示一個(gè)比值，即直角三角形中 A 的對(duì)邊與鄰邊的比；tanA 不表示“ tan ”乘以“ A”；初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中， A 是銳角的正切；tanA 的值越大，梯子越陡， A 越大； A 越大，梯子越陡， tanA 的值越大。二 .正弦：定義：在 Rt ABC 中，銳角 A 的對(duì)邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記作sinA ，即sin AA的對(duì)邊;斜邊三 .余弦：的鄰邊與斜邊的比叫做的余弦，記作，即定義：在Rt ABC中，銳角AAcosA;.cos AA的鄰邊;斜邊余切：定義：在Rt ABC中，銳角 A 的鄰邊與對(duì)邊的比叫做A 的余切，記作cotA ，即A

17、的鄰邊cotA;A的對(duì)邊一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切、余切分別等于它的余角的余弦、正弦、余切、正切。（通常我們稱正弦、余弦互為余函數(shù)。同樣，也稱正切、余切互為余函數(shù)，可以概括為：一個(gè)銳角的三角函數(shù)等于它的余角的余函數(shù)）用等式表達(dá)：若A 為銳角，則sin Acos(90A)；0o30 o45 o60 o90 ocos Asin(90A)sin 01231222tan Acot(90A)；cos13210222cot Atan(90A)tan 03133當(dāng)從低處觀測高處的目標(biāo)時(shí)， 視線與cot 3130水平線3所成的銳角稱為仰角當(dāng)從高處觀測低處的目標(biāo)時(shí)，視線與水平線所成的銳角稱為俯角利用特殊角的三角

18、函數(shù)值表，可以看出，(1) 當(dāng)角度在 0° 90°間變化時(shí)，正弦值、正切值隨著角度的增大( 或減小 ) 而增大 ( 或減小 ) ；余弦值、余切值隨著角度的增大( 或減小 ) 而減小 ( 或增大 ) 。(2)0 sin 1，0cos1。同角的三角函數(shù)間的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系： tg · ctg =1。在直角三角形中，除直角外，一共有五個(gè)元素，即三條邊和二個(gè)銳角。由直角三角形圖 1中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。在 ABC中， C 為直角， A、 B、 C所對(duì)的邊分別為 a、b、c，則有(1) 三邊之間的關(guān)系： a2+b2=c2；(2) 兩銳

19、角的關(guān)系： A B=90°；(3) 邊與角之間的關(guān)系：Bsin Aacos Abtan Aacot Ab,;ccbasin Bbcos Batan Bbcot Ba,;ccab(4) 面積公式 : S1 ab1 chc (hc 為 C邊上的高 );22i=h:lhCAl圖 2;.(5) 直角三角形的內(nèi)切圓半徑 r a b c 2(6) 直角三角形的外接圓半徑 R 1 c2解直角三角形的幾種基本類型列表如下：解直角三角形的幾種基本類型列表如下：圖 4圖 3 如圖 2，坡面與水平面的夾角叫做坡角 (htan A或叫做坡比 ) 。用字母 i 表示，即 il從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方

20、向的水平角，叫做方位角。如圖 3，OA、 OB、OC的方位角分別為 45°、 135°、 225°。指北或指南方向線與目標(biāo)方向線所成的小于90°的水平角， 叫做方向角 。如圖 4，OA、OB、OC、OD的方向角分別是；北偏東30°，南偏東 45°( 東南方向 ) 、南偏西為 60°，北偏西 60°。第二章二次函數(shù)二次函數(shù)的概念：形如 y ax2bx(是常數(shù)，a0)的函數(shù)，叫做 x的二次c a、 b、函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。y ax2 (a0)是二次函數(shù)的特例， 此時(shí)常數(shù) b=c=0.在寫二次函數(shù)的關(guān)系式時(shí)

21、，一定要尋找兩個(gè)變量之間的等量關(guān)系，列出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍。二次函數(shù) y ax2 的圖象是一條頂點(diǎn)在原點(diǎn)關(guān)于y 軸對(duì)稱的曲線，這條曲線叫做拋物線 。描述拋物線常從開口方向、對(duì)稱性、y 隨 x 的變化情況、拋物線的最高（或最低）點(diǎn)、拋物線與 x 軸的交點(diǎn)等方面來描述。函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；拋物線的頂點(diǎn)在 (0 ，0) ，對(duì)稱軸是 y 軸( 或稱直線 x0) 。當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向上， 并且向上方無限伸展。 當(dāng) a0 時(shí)，拋物線開口向下，并且向下方無限伸展。函數(shù)的增減性：x 0時(shí), y隨 x增大而減小 ;A、當(dāng) a0 時(shí)B、當(dāng) a0 時(shí)x 0時(shí), y隨 x增大而增大

22、.x 0時(shí), y隨 x增大而增大 ;x 0時(shí), y隨x增大而減小 .當(dāng) a越大，拋物線開口越小；當(dāng) a越小，拋物線的開口越大。最大值或最小值：當(dāng) a0，且 x 0 時(shí)函數(shù)有最小值，最小值是 0；當(dāng) a0，且 x0時(shí)函數(shù)有最大值，最大值是0;.二次函數(shù) yax2c 的圖象是一條頂點(diǎn)在y 軸上且與 y 軸對(duì)稱的拋物線2b為對(duì)稱軸，頂點(diǎn)在（b，4ac b2二次函數(shù) y ax bx c 的圖象是以 x2a2a4a）的拋物線。（開口方向和大小由 a 來決定）|a| 的越大，拋物線的開口程度越小，越靠近對(duì)稱軸y 軸，y 隨 x 增長（或下降）速度越快；|a| 的越小，拋物線的開口程度越大， 越遠(yuǎn)離對(duì)稱軸

23、y 軸，y 隨 x 增長（或下降）速度越慢。二次函數(shù) yax2c 的圖象中， a 的符號(hào)決定拋物線的開口方向，|a| 決定拋物線的開口程度大小， c 決定拋物線的頂點(diǎn)位置，即拋物線位置的高低。二次函數(shù) yax2bx c 的圖象與 yax2 的圖象的關(guān)系：y ax2bxc 的圖象可以由 yax2 的圖象平移得到，其步驟如下：將 yax2bxc 配方成 y axh 2 k 的形式；（其中h=b ，k=4acb 2）；()2a4a把拋物線 yax2向右（ h>0）或向左（ h<0）平移 |h| 個(gè)單位，得到 y=a(x-h)2 的圖象；再把拋物線y a( x h)2 向上（ k>0

24、）或向下（ k<0）平移 | k|個(gè)單位，便得到y(tǒng)a(xh)2k 的圖象。二次函數(shù) yax2bxc 的性質(zhì)：二次函數(shù) yax2bxc 配方成 ya( xb )24ac b2則拋物線的b2a4a對(duì)稱軸： x=2頂點(diǎn)坐標(biāo)：（b， 4ac b）2a2a4a增減性：若 a>0，則當(dāng) x<b時(shí)， y 隨 x 的增大而減小 ；當(dāng) x>b 時(shí)， y 隨 x 的2a2a增大而增大。若 a<0，則當(dāng) x< b2ab時(shí)， y 隨 x 的增大而增大 ；當(dāng) x>2a時(shí)， y 隨 x 的增大而減小。最值：若 a>0，則當(dāng) x=b 時(shí)，y最小4ac b2；若 a<0，

25、則當(dāng) x=b 時(shí)，y最大4ac b22a4a2a4a畫二次函數(shù) y ax2bxc 的圖象：;.我們可以利用它與函數(shù)yax2 的關(guān)系，平移拋物線而得到，但往往我們采用簡化了的描點(diǎn)法 -五點(diǎn)法來畫二次函數(shù)來畫二次函數(shù)的圖象，其步驟如下：先找出頂點(diǎn)（ b， 4acb2），畫出對(duì)稱軸 x=b ；2a4a2a找出圖象上關(guān)于直線x=b 對(duì)稱的四個(gè)點(diǎn)（如與坐標(biāo)的交點(diǎn)等） ；2a把上述五點(diǎn)連成光滑的曲線。¤二次函數(shù)的最大值或最小值可以通過將解析式配成 y=a(x-h) 2 +k 的形式求得，也可以借助圖象觀察。¤解決最大（小）值問題的基本思路是：理解問題；分析問題中的變量和常量，以及它們之

26、間的關(guān)系；用數(shù)學(xué)的方式表示它們之間的關(guān)系；做數(shù)學(xué)求解；檢驗(yàn)結(jié)果的合理性、拓展性等。二次函數(shù) yax2bxc 的圖象 ( 拋物線 ) 與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1，x2 是對(duì)應(yīng)一元二次方程 ax 2bxc0 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：b24ac >0 <=> 拋物線與 x 軸有 2 個(gè)交點(diǎn)；b24ac =0 <=> 拋物線與 x 軸有 1 個(gè)交點(diǎn)；b24ac <0 <=> 拋物線與 x 軸有 0 個(gè)交點(diǎn)（無交點(diǎn)）；當(dāng) b24ac >0 時(shí)，設(shè)拋物線與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)為 A、 B，則這

27、兩個(gè)點(diǎn)之間的距離：| AB | | x1 x2 | ( x2x1) 2( x1x2 ) 24x1 x2化簡后即為： | AB |b24ac (b24ac0) -這就是拋物線與 x 軸的兩交點(diǎn)之| a |間的距離公式。第三章圓一 . 車輪為什么做成圓形 1. 圓的定義：;.描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A 隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圓形叫做圓；固定的端點(diǎn) O叫做圓心 ；線段 OA叫做半徑；以點(diǎn) O為圓心的圓，記作 O，讀作“圓 O”集合性定義：圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心 ，定長叫做圓的半徑 ，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半

28、徑確定的圓叫做定圓 。對(duì)圓的定義的理解：圓是一條封閉曲線，不是圓面；圓由兩個(gè)條件唯一確定： 一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長）。 2. 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為 r ，點(diǎn)到圓心的距離為 d，則點(diǎn)在圓上 <=> d=r;點(diǎn)在圓內(nèi) <=> d<r; 點(diǎn)在圓外 <=> d>r.其中點(diǎn)在圓上的數(shù)量特征是重點(diǎn)，它可用來證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，方法就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)、的距離相等。二.圓的對(duì)稱性 : 1. 與圓相關(guān)的概念：弦和直徑：弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦 。直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑?；?、半圓、優(yōu)弧、劣?。夯。簣A上任意兩點(diǎn)間

29、的部分叫做圓弧，簡稱弧 ，用符號(hào)“”表示，以CD 為端點(diǎn)的弧記為“”，讀作“圓弧 CD”或“弧 CD”。半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧。劣?。盒∮诎雸A的弧叫做劣弧。( 為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.弦心距 : 從圓心到弦的距離叫做弦心距. 2. 圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是它的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。 3.

30、 垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。說明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線來說，如果具備：過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對(duì)的優(yōu)弧；平分弦所對(duì)的劣弧。;.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可推出其他三個(gè)結(jié)論。4.定理：在同圓或等圓中 , 相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論 :在同圓或等圓中 , 如果兩個(gè)圓心角、 兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等 , 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等 .三.圓周角和圓心角的關(guān)系 : 1. 1°的弧的概念 : 把頂

31、點(diǎn)在圓心的周角等分成 360 份時(shí) , 每一份的角都是 1°的圓心角 , 相應(yīng)的整個(gè)圓也被等分成 360 份 , 每一份同樣的弧叫 1°弧 . 2. 圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等 .這里指的是角度數(shù)與弧的度數(shù)相等 , 而不是角與弧相等 . 即不能寫成 AOB= , 這是錯(cuò)誤的 .3.圓周角的定義 :頂點(diǎn)在圓上 , 并且兩邊都與圓相交的角, 叫做圓周角 .4.圓周角定理 :一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.推論 1: 同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也相等；推論 2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)

32、的弦是直徑；四 .確定圓的條件 :1.理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件:圓心和半徑 , 圓心決定圓的位置 , 半徑?jīng)Q定圓的大小 .經(jīng)過一點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)圓 , 經(jīng)過兩點(diǎn)也可以作無數(shù)個(gè)圓 , 其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線段的垂直平分線上 . 2. 經(jīng)過三點(diǎn)作圓要分兩種情況 :(1) 經(jīng)過同一直線上的三點(diǎn)不能作圓 .(2) 經(jīng)過不在同一直線上的三點(diǎn) , 能且僅能作一個(gè)圓 . 定理 : 不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 . 3. 三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念:(1) 三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形 : 經(jīng)過一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓 , 這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形 .(

33、2) 三角形的外心 : 三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心 .(3) 三角形的外心的性質(zhì) : 三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等 .五.直線與圓的位置關(guān)系1.直線和圓相交、相切相離的定義:(1) 相交 : 直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相交 , 這時(shí)直線叫做圓的割線 .(2) 相切 : 直線和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相切 , 這時(shí)直線叫做圓的切線 , 惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn) .(3) 相離 : 直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí) , 叫做直線和圓相離 .2.直線與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征:設(shè) O的半徑為 r ，圓心 O到直線的距離為d； d<r <=> 直線 L 和 O相交 .

34、d=r <=> 直線 L 和 O相切 .d>r <=> 直線 L 和 O相離 . 3. 切線的總判定定理 :;.經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線是圓的切線.4.切線的性質(zhì)定理 :圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.推論 1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn) . 推論 2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心 . 分析性質(zhì)定理及兩個(gè)推論的條件和結(jié)論間的關(guān)系 , 可得如下結(jié)論 :如果一條直線具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè), 就可推出第三個(gè) .垂直于切線 ;過切點(diǎn) ;過圓心 . 5. 三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形的概念 .和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切

35、圓 , 內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心 , 這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形 . 6. 三角形內(nèi)心的性質(zhì) :(1) 三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等 .(2) 過三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線平分三角形的內(nèi)角 .由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線 : 連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn) , 該線平分三角形的這個(gè)內(nèi)角.六.圓和圓的位置關(guān)系 .1.外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含( 包括同心圓 ) 這五種位置關(guān)系的定義 .(1) 外離 : 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓外離 .(2) 外切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn) , 并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外 , 每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí) , 叫做這

36、兩個(gè)圓外切 . 這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) .(3) 相交 : 兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn) , 此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交 .(4) 內(nèi)切 : 兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn) , 并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外 , 一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切 . 這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn) .(5) 內(nèi)含 : 兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn) , 并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí) , 叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含 . 兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例. 2. 兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定 :(1) 兩圓外離 <=> d>R+r(2) 兩圓外切 <=> d=R+r(3) 兩圓相交 <=> R-r<d<

37、;R+r (R r)(4) 兩圓內(nèi)切 <=> d=R-r (R>r)(5) 兩圓內(nèi)含 <=> d<R-r (R>r) 3. 相切兩圓的性質(zhì) :如果兩個(gè)圓相切 , 那么切點(diǎn)一定在連心線上.4.相交兩圓的性質(zhì) :相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.七 . 弧長及扇形的面積 1. 圓周長公式 :圓周長 C=2 R (R 表示圓的半徑 )2.弧長公式 :n R弧長 l(R 表示圓的半徑 , n表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))3.扇形定義 :;.一條弧和經(jīng)過這條弧的端點(diǎn)的兩條半徑所組成的圖形叫做扇形. 4. 弓形定義 :由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形 . 弓形弧的中點(diǎn)

38、到弦的距離叫做弓形高 . 5. 圓的面積公式 .2圓的面積 SR(R 表示圓的半徑 )2扇形的面積 S扇形n R(R 表示圓的半徑 , n 表示弧所對(duì)的圓心角的度數(shù))360弓形的面積公式 :( 如圖 5)ABOOOABABCCC圖 5(1) 當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí) , S弓形 S扇形 S三角形(2) 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí) , S弓形 S扇形 S三角形(3) 當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí) ,S弓形1R 2S扇形2八.圓錐的有關(guān)概念 : 1. 圓錐可以看作是一個(gè)直角三角形繞著直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的圖形, 另一條直角邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的底面 , 斜邊旋轉(zhuǎn)而成的面叫做圓錐的側(cè)面 . 2. 圓

39、錐的側(cè)面展開圖與側(cè)面積計(jì)算 :圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形, 這個(gè)扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線長、弧長是圓錐底面圓的周長、圓心是圓錐的頂點(diǎn) .如果設(shè)圓錐底面半徑為 r, 側(cè)面母線長 ( 扇形半徑 ) 是 l,底面圓周長 ( 扇形弧長 ) 為 c,那么它的側(cè)面積是 :S側(cè)11rlrlcl2A22S表S側(cè)S底面rlr 2r ( r l )¤九 . 與圓有關(guān)的輔助線OP1. 如圓中有弦的條件 , 常作弦心距 , 或過弦的一端作半徑為輔助線.2. 如圓中有直徑的條件 , 可作出直徑上的圓周角 .B3. 如一個(gè)圓有切線的條件 , 常作過切點(diǎn)的半徑 ( 或直徑 ) 為輔助線 . 圖 64. 若條件交

40、代了某點(diǎn)是切點(diǎn)時(shí) , 連結(jié)圓心和切點(diǎn)是最常用的輔助線 . ¤十 . 圓內(nèi)接四邊形若四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上 , 這個(gè)四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形 , 這個(gè)圓叫做這個(gè)四邊形的外接圓 .;.圓內(nèi)接四邊形的特征 :圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ) ; 圓內(nèi)接四邊形任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)錯(cuò)角 .十一 . 北師版數(shù)學(xué)未出理的有關(guān)圓的性質(zhì)定理1. 切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。如圖 6， PA， PB分別切 O于 A、BPA=PB， PO平分 APBA2弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。推論：如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)

41、弦切角也相等。O如圖 7， CD切 O于 C，則， ACD=BB3 和圓有關(guān)的比例線段：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等； C 推論：如果弦與直徑垂直相交， 那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。如圖 8， AP?PB=CP?PD2如圖 9，若 CDAB于 P，AB為 O直徑，則 CP=AP?PB 4切割線定理切割線定理，從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)；推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線， 這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。如圖 10， PT 切 O于 T，PA是割線，點(diǎn) A、 B 是它與 O的交點(diǎn)，

42、則 PT2=PA?PBPA、PC是 O的兩條割線，則PD?PC=PB?PA5兩圓連心線的性質(zhì)如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上，或者說，連心線過切點(diǎn)。如果兩圓相交，那么連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖 11， O1 與 O2 交于 A、B 兩點(diǎn)，則連心線O1O2AB且 AC=BC。6兩圓的公切線兩圓的兩條外公切線的長及兩條內(nèi)公切線的長相等。如圖 12，AB分別切 O1 與 O2 于 A、B，連結(jié) O1A，O2B，過 O2 作 O2C O1A 于 C，公切線長為 l ，兩圓的圓心距為 d，半徑分別為 R， r 則外公切線長：D圖 7Ld 2( R r ) 2如圖 13，AB分別切 O1 與 O2 于 A、B，O2 C AB，O2CO1C于 C，O1 半徑為 R，O2 半徑為 r ，則內(nèi)公切線長： Ld 2(R r )2CBDCDPBOPABAAODO PT;.圖 8圖 10C圖 9.AAROdOC O2O1d1CO1R2B圖 11O2rrABB圖 12C圖 13第四章統(tǒng)計(jì)與概率1. 實(shí)驗(yàn)頻率與理論概率的關(guān)系只是在實(shí)驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)