《用向量法求直線與平面所成的角》教案

1、第二講：立體幾何中的向量方法利用空間向量求直線與平面所成的角大家知道，立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)難點(diǎn)，以往學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何時(shí)，主要采取“形到形”的綜合推理方法，即根據(jù)題設(shè)條件，將空間圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，再由線線，線面等關(guān)系確定結(jié)果，這種方法沒(méi)有一般規(guī)律可循，對(duì)人的智力形成極大的挑戰(zhàn)，技巧性較強(qiáng)， 致使大多數(shù)學(xué)生都感到束手無(wú)策。高中新教材中， 向量知識(shí)的引入，為學(xué)生解決立體幾何問(wèn)題提供了一個(gè)有效的工具。它能利用代數(shù)方法解決立體幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。并且引入向量，對(duì)于某些立體幾何問(wèn)題提供通法，避免了傳統(tǒng)立體幾何中的技巧性問(wèn)題，因此降低了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度，減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的負(fù)擔(dān)，體現(xiàn)了新課程

2、理念。為適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教材改革的需要，需要研究用向量法解決立體幾何的各種問(wèn)題。本文舉例說(shuō)明如何用向量法解決立體幾何的空間角問(wèn)題。以此強(qiáng)化向量的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)向量的興趣，從而達(dá)到提高學(xué)生解題能力的目的。利用向量法求空間角，不需要繁雜的推理，只需要將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的代數(shù)運(yùn)算，方便快捷?？臻g角主要包括線線角、線面角和二面角，下面對(duì)線面角的求法進(jìn)行總結(jié)。教學(xué)目標(biāo)1. 使學(xué)生學(xué)會(huì)求平面的法向量及直線與平面所成的角的向量方法；2. 使學(xué)生能夠應(yīng)用向量方法解決一些簡(jiǎn)單的立體幾何問(wèn)題；3. 使學(xué)生的分析與推理能力和空間想象能力得到提高.教學(xué)重點(diǎn)求平面的法向量；求解直線與平面所成的角的向量法.教學(xué)難點(diǎn)

3、求解直線與平面所成的角的向量法.教學(xué)過(guò)程、復(fù)習(xí)回顧一、回顧有關(guān)知識(shí)：1、直線與平面所成的角： （范圍：0, ）2思考：設(shè)平面的法向量為 n ，則n, BA與的關(guān)系？ABO精選文庫(kù)nA（圖 1）BOn, BA2ABOnn, BA（圖2）2據(jù)圖分析可得：結(jié)論：sin | cos n, AB | | n ? AB | n | AB |2、用空間向量解決立體幾何問(wèn)題的“三步曲”：（ 1）建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問(wèn)題中涉及的點(diǎn)、直線、平面，把立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題； （化為向量問(wèn)題 ）（ 2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系以及它們之間距離和夾角等問(wèn)題；（進(jìn)行向量運(yùn)

4、算）（ 3）把向量的運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成相應(yīng)的幾何意義。（回到圖形）、典例分析與練習(xí)例 1、如圖，正三棱柱ABC A1B1C1 的底面邊長(zhǎng)為a , 側(cè)棱長(zhǎng)為2a ，求 AC1 和 面 AA1 B1B 所成角的正弦值 .分析： 直線與平面所成的角步驟：1. 求出平面的法向量2. 求出直線的方向向量3. 求以上兩個(gè)向量的夾角， ( 銳角 ) 其余角為所求角解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz ，則 AA1(0,0,2a), AB (0, a,0),設(shè)平面 AA1B1 B 的法向量為n ( x, y, z)C1AC1 (3a,1a, 2a)A1B122Z由 nAA102az0y0 取 x1 ， n(1,

5、0,0)nAB0ay 0z0C設(shè) AC1 和 面 AA1 B1B 所成角為ADB yyx| AC1 n |3 a2 |1xsin| cosAC1 , n2|3a 22| AC1 |N |AC1 和 面 AA1 B1B 所成角的正弦值1 .22精選文庫(kù)點(diǎn)撥 要注意“直線與平面所成的角”與“直線的方向向量與平面的法向量所成角”之間的關(guān)系，通常求斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其銳角就是斜線和平面所成的角。練習(xí) 1：如圖，在三棱柱ABC A1B1C1 中，側(cè)棱垂直于底面，底面是邊長(zhǎng)為2 的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，求BB1 與平面 AB1C1 所成的角 .解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-

6、xyz.則 A( 1， 0，0) ， B(0 ，3， 0) ， B1(0 ，3， 3) ，C1(1 ， 0， 3) r11n( x, y, z) ，設(shè)平面 ABC 的一個(gè)法向量為由令r( 3,3,2)z2，得 n設(shè)直線 BB1 與平面 AB1C1 所成角為，61則sin |cos ，| n· BB1|1| .n BB4×32| n| BB1|又 0 ， .26練習(xí) 2：如圖， 在棱長(zhǎng)為的正方體ABCDA1B1C1D1 中， E、F 分別是棱 A1D1, A1B1 的中點(diǎn) 求 BC1 和面 EFBD所成的角 .解：如圖建立空間坐標(biāo)系D xyz ，uuuruuur(2,2,0)則 DE(1,0,2) ， DBr( x, y,1)設(shè)面 EFBD 的法向量為 nuuurr0rDEn(2,2,1)由 uuurr0得 nDBn3精選文庫(kù)uuuur又 BC1 ( 2,0,2)記 BC1 和面 EFBD 所成的角為uuuur ruuuurr2BC1n則 sin | cos BC1 , n | |uuuurr| BC1 | n |2 BC1 和平面 EFBD 所成的角為4、小結(jié)與收獲1、直線與平面所成的角的正弦值 sin |cos n, AB | | n AB | | n | AB |2、求平面法向量的