二維形式的柯西不等式一資料

1、精品文檔第一課時3.1二維形式的柯西不等式(一)并會證明二維柯西不教學要求：認識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義, 等式及向量形式.教學重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式教學難點：理解幾何意義.教學過程：一、復習準備：1. 提問：二元均值不等式有哪幾種形式？a b 答案：ab (a 0,b0)及幾種變式.22. 練習：已知 a、b、c、d 為實數(shù)，求證(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2證法：(比較法)(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)2=：=(ad bc)2 0二、講授新課：1. 教學柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d為實數(shù)，則(a2 b2)(c2

2、 d2) (ac bd )2.t即二維形式的柯西不等式t什么時候取等號？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？證法二：(綜合法)(a2 b2)(c2 d2) a2c2 a2d2 b2c2 b2d2(ac bd)2 (ad bc)2 (ac bd)2.(要點：展開t配方)irrit, r ,證法三：(向量法)設向量 m(a,b), n(c,d)，則 |m. a2b2, |n | . c2d2 .it rirrirrir riT r ir r m?n ac bd，且 mgi |m|g n |gcos m,n ，貝y |mgn| |mg n|.2 2 2 2 2證法四：(函數(shù)法)設 f(x)

3、(a b )x 2(ac bd )x c d ,貝Uf (x) (ax c)2 (bx d)2 > 0 恒成立.2(ac bd)2 4(a2 b2)(c2 d2) < 0,即：. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？變式：a2b2 gc2d2|acbd | 或 a2 b2g.c2d2 |ac| |bd |或.a2b2gc2d2acbd.i ili ITIT li 提出定理2：設，是兩個向量，則| g | | | |.即柯西不等式的向量形式(由向量法提出 )li (Jt討論：上面時候等號成立？(是零向量，或者，共線) 練習：已知 a、b、c、d 為實數(shù)，求證. a2 b2 . c2

4、 d2(a c)2 (b d)2 .證法：(分析法)平方 t應用柯西不等式t討論：其幾何意義？(構造三角形)2. 教學三角不等式：出示定理3:設乂沙兀必R，則x；y；x?2垃.(為x?)2(y1y?)2.分析其幾何意義 t如何利用柯西不等式證明t變式：若X1,y1,x2,y2,xa,y3 R，則結合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？3. 小結：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式(兩點、三點) 三、鞏固練習：1. 練習：試寫出三維形式的柯西不等式和三角不等式2.作業(yè)：教材P37 4、5題.第二課時3.1二維形式的柯西不等式（二）教學要求：會利用二維柯西不等式及三角不等式

5、解決問題， 體會運用經(jīng)典不等式的一般方法 發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關系， 經(jīng)過適當變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關系 教學重點：利用二維柯西不等式解決問題教學難點：如何變形，套用已知不等式的形式 .教學過程：一、復習準備1. 提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？幾何意義？答案：（a2b2）（c2d2）（ac bd）2 ； .Xy?.y7,（y!2. 討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3. 如何利用二維柯西不等式求函數(shù)y . x 12 x的最大值？要點：利用變式 |ac bd | . b2g c2d .二、講授新課：1. 教學最大（?。┲担?出示例1：求函數(shù)

6、y 3.廠的最大值？分析：如何變形？t構造柯西不等式的形式t板演t變 式： y .3x 1.10 2xty a bx c d e fx,（a,b,c,d,e, f R ）丄13 練習：已知3x 2y 1,求x2 y2的最小值.解答要點：（湊配法）x2 y2 丄（x2 y2）（3222） - （3x 2y）21313討論：其它方法（數(shù)形結合法）2. 教學不等式的證明：1 1出示例2 :若x, y R , x y 2，求證：2 .x y分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對比 t構造）()2y要點：1 ；如 y）（x 十）1（"（3（丁討論：其它證法（利用基本不等式）3.練習：已知 x

7、, y, a,bR，且abnt1，則xy的最小值.xy要點：x ya(-b )(xy).t其它證法xy若 x, y,z R，且x yz 1，求 x2y2 z2的最小值1 1練習：已知a、b R，求證：（a b）（） 4.a b式）（要點：利用三維柯西不等變式：若x, y,z R，且x y z 1，求' x , y - z的最大值.3. 小結：比較柯西不等式的形式，將目標式進行變形，注意湊配、構造等技巧 三、鞏固練習:1. 練習：教材P37 8、9題2作業(yè)：教材P37 1、6、7題第三課時3.2一般形式的柯西不等式教學要求：認識一般形式的柯西不等式，會用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等

8、式，并應用其解決一些不等式的問題 .教學重點：會證明一般形式的柯西不等式，并能應用教學難點：理解證明中的函數(shù)思想.教學過程：一、復習準備：1. 練習：2. 提問：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式的柯西不等式拓廣到三維？答案：(a2b2)(c2d2) (ac bd)2 ；(a2b2c2)(d2e2f2)(ad be cf)2二、講授新課：1. 教學一般形式的柯西不等式：ir ir ir_u ur u ur 提問：由平面向量的柯西不等式| g | |，如果得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ 猜想：n維向量的坐標？ n維向量的柯西不等式及代數(shù)形式？要點：令f( x)f a；2a22 2an )

9、x2佝3a2b2anbJx(bib2bn2),則f(x)(a/d)2(a2x2 2b2)+ f anX bn)0.又耳22a2an2 0,從而結合二次函數(shù)的圖像可知，2(a1b1a2b2anbn)2 2 2 2 24(a1a2L a. )g (db22 Lbn2) < 0即有要證明的結論成立結論：設印盤丄,an,b1,b2丄,bn R，則出示例2:若a >b >c，求證:要點：(a(a b)a c1 1(b c)()(1a b b c1)2討論：什么時候取等號？(當且僅當Lan時取等號,假設b 0)b1b2bn聯(lián)想：設 B a1b1a2b2anbn ，A2印2a2Lan2Cb

10、2 b22 L bn2，則有B2 AC 0,可聯(lián)想到一些什么？2 2 2 2 2 .佝 a2 L an )(b1b?Lbn2) (a a2b2anbn)2討論：如何構造二次函數(shù)證明n維形式的柯西不等式？(注意分類)變式：a12 a22 L an22.教學柯西不等式的應用：1(a1a2nan)2.(討論如何證明)出示例1:已知3x 2yz 1，求 x2y2 z2的最小值.分析：如何變形后構造柯西不等式？t板演t變式：練習：若x, y, z R，且1 1 1 1 ,求x -的最小值.x y z23(注意：分析什么時候等號成立 .)精品文檔3. 小結：柯西不等式的一般形式及應用；等號成立的條件；根據(jù)

11、結構特點構造證明三、鞏固練習：1.練習：教材P414題2 .作業(yè)：教材F415、6題第四課時 3.3排序不等式體會運教學要求：了解排序不等式的基本形式，會運用排序不等式分析解決一些簡單問題,用經(jīng)典不等式的一般方法.教學重點：應用排序不等式證明不等式教學難點：排序不等式的證明思路.教學過程：一、復習準備：1. 提問： 前面所學習的一些經(jīng)典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2. 舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應用實例.二、講授新課：1.教學排序不等式： 看書：P42P44. 提出排序不等式（即排序原理）：設有兩個有序?qū)崝?shù)組：aia2an； bit）2bn.Cl,C2,Cn是b,b2，bn的任一排列，則有a1b1 a2b2 +an0 （同序和）aic a2C2 + +anCn (亂序和)aibna2bn 1 + + an bl (反序和)當且僅當a1 a2 =an或b1b2 =bn時，反序和等于同序和（要點：理解其思想，記住其形式）2. 教學排序不等式的應用： 出示例1：設a1,a2, ,an是n個互不相同的正整數(shù)，求證:a221a1 n分析：如何構造有序排列? 證明過程：如何運用套用排序不等式?bn，則 31,b22, ,bnn.又1丄22112，由排序不等式，3n得a魚可 2a3%b2b3 b 32n2b12232bn2 n小結：分析目標，構造有序排列.練習：已知a,b, c為正數(shù)