二項(xiàng)式定理的練習(xí)及答案資料

1、精品文檔二項(xiàng)式定理的練習(xí)及答案精品文檔基礎(chǔ)知識(shí)訓(xùn)練(一)選擇題1 (X6)展開式中常數(shù)項(xiàng)是(A.第 4 項(xiàng) B. 24C4 C. C4D.22. (x 1)11展開式中x的偶次項(xiàng)系數(shù)之和是()A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (1-.2)7展開式中有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是()A.4B.5C.6D.74右C仃與Cn同時(shí)有最大值，則m等于()A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55設(shè)(2x-3) 4=a0a1x a2x2a3x3a4x4，貝y ao+a1+a2+a3的值為()A.1B.16C.-15D.156. (x3丄)11展開式中的中間兩項(xiàng)為()xA. C151x12

2、,C151x12b.C；1X9, C151X10c.C；1X13Q51X9DC5#, Ch13(二)填空題7在(2x y)7展開式中，x5y2的系數(shù)是3C03C12 23 Cn3nC9. (V5 亠)10314.求(1+x)+(1+x)+(1+x) 展開式中x的系數(shù).°的展開式中的有理項(xiàng)是展開式的第 項(xiàng)+10. (2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值之和是 .23 1011. (1 3x 3x x )展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 12. 0.991 5精確到0.01的近似值是(三)解答題13. 求 (1+x+x 2)(1-x)10 展開式中 x4 的系數(shù).15.已知(1-2x) 5展開式中

3、第2項(xiàng)大于第1項(xiàng)而不小于第3,求x的取值范圍.n為何值時(shí),16若f(x) (1 x)m (1 x)n(m n N)展開式中，x的系數(shù)為21，問mx2的系數(shù)最?。?7.自然數(shù)n為偶數(shù)時(shí)，求證:1 212CnCn2C3C：2Cn 1 Cn2n18.求8011被9除的余數(shù)*3,求展開式19.已知(、.x 二)n的展開式中，第五項(xiàng)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比為14;x的常數(shù)項(xiàng)20.在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)+21 求(2x+1) 12展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)*參考解答：36 _ r1. 通項(xiàng) Tr 1c6x6r()rc6x 2 2r，由 6 -r 0 r 4，常數(shù)項(xiàng)是 T5 C：24，<

4、;x2選(B)2. 設(shè)f(x)=(x-1)11,偶次項(xiàng)系數(shù)之和是 也 丄 (2)11 /21024，選(C).2r3. 通項(xiàng)Tr 1C；. 2)rC；22，當(dāng)r=0 , 2, 4, 6時(shí)，均為有理項(xiàng)，故有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為4個(gè)，選(A1714.要使C；7最大，因?yàn)?7為奇數(shù)，則n或n2使CT最大，則m=8=4，若n=9,要使C：最大，則m2綜上知，m=4或m=5故選(A)17 12n 8 或 n=9,若 n=8，要m 4 或 m=5,224n5.C6.C7.;8.4;9.3,9,15,21310. (2x-1) 5展開式中各項(xiàng)系數(shù)系數(shù)絕對(duì)值之和實(shí)為(2x+1) 5展開式系數(shù)之和，故令x=1，則所求和

5、為35*11. (1+3x+3x 2+x °=(1+x) ",此題中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)，系數(shù)最大的項(xiàng)是T16=C；0x15.0.9612.0.991 5=(1-0.009) 5=C5C；0.0092 1013. (1 x x )(1 x)-9(1 x )(1 x),要得到含x4的項(xiàng),必須第一個(gè)因式中的(1-x) 9展開式中的項(xiàng)c9( x)4作積，第一個(gè)因式中的一X-與(1-x) 9展開式中的項(xiàng)C；( x)作精品文檔3X積，故X4的系數(shù)是c； C4135.2 1014. (1 x) (1 X)(1 X)(1x)1(1 x)10 =(x 1)11 (X 1)，原式中1(1 x

6、)=X'八實(shí)為這分子中的x4，則所求系數(shù)為c71+15由C5( 2x)1C5( 2x)C° c；( 2X)21x01x 0411 x 一41016由條件得m+n=21, x2的項(xiàng)為C：x2故當(dāng)n=10或11時(shí)上式有最小值，也就是2 22221 2399CnX，則 Cm Cn (n )因 n N,242 i im=11和n=10,或 m=10和n=11時(shí)，x的系數(shù)最小17原式=(C1 2Cn Cnn 1 n13Cn Cn ) (C n Cnn 1nCn )2n 1n 123.218. 8011 (811)11C1018111Cn8110C；08181k 1(k Z), k 乙

7、9k-1 Z,. 8111 被 9 除余19依題意 C： :C214:3 3C414C： 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2!n=10+設(shè)第r+1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，又Tr 1C；0Cx)10r(剳X10 5r2)七血丁令 10 5r 0 r 2,2T2 1c20( 2)2180.此所求常數(shù)項(xiàng)為18020. (x2 3x 2)5 (x1)5(x2)5在(x+1) 5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為1，含x的項(xiàng)為C5 5x ,在(2+x) 5展開式中，常數(shù)項(xiàng)為25=32,精品文檔240x，此展開式中x的系數(shù)為240含x的項(xiàng)為C；24x 80x21 .設(shè)Tr+1的系數(shù)最大，則Tr+1的系

8、數(shù)不小于Tr與Tr+2的系數(shù)，即有睥212 rr 113 rCrC12 2 C122C121%212 rC；211211r2C；2C；2111 ,3 r4, r 433展開式中含 x的項(xiàng)為1 (80x)5x(32)精品文檔展開式中系數(shù)最大項(xiàng)為第5項(xiàng)，T5=16C：2x4 7920x4三.拓展性例題分析n _ 1例1在二項(xiàng)式X 的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中所有有2如理項(xiàng).分析：本題是典型的特定項(xiàng)問題，涉及到前三項(xiàng)的系數(shù)及有理項(xiàng)，可以通過抓通項(xiàng)公式解決.解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為：r < nr 1Tr1 CnC X)24 X/ 2n 3rcn”前三項(xiàng)的r 0,1,2.得

9、系數(shù)為：t11Cn2由已知：2t21 211/八n,t3 Cn n(n 1),2 48112n(n 1),8精品文檔 n 816 3r4通項(xiàng)公式為0,1,28,Tr 1為有理項(xiàng)，故16 3r是4的倍數(shù)，2 r 0,4,8.依次得到有理項(xiàng)為 T| X ,t5 c8 x x,t9 c8 X X.282256說明：本題通過抓特定項(xiàng)滿足的條件， 利用通項(xiàng)公式求出了 r的取值，得到了有理項(xiàng).類 似地，C、2 3 3)100的展開式中有多少項(xiàng)是有理項(xiàng)？可以通過抓通項(xiàng)中r的取值，得到共有17頁系數(shù)和為3n .A例2(1 )求(1 x)3(1 X)10展開式中X5的系數(shù)；(2)求(X - 2)6展開式中的常X

10、數(shù)項(xiàng).分析：本題的兩小題都不是二項(xiàng)式展開，但可以轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題，(1)可以視為兩個(gè)二項(xiàng)展開式相乘；(2)可以經(jīng)過代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式.解：(1 ) (1 X)3(1 X)10展開式中的X5可以看成下列幾種方式得到，然后合并同類項(xiàng)：310555用(1 X)展開式中的常數(shù)項(xiàng)乘以(1 X)展開式中的 X項(xiàng)，可以得到 C10X ;用3C：°x5 ；用(1 x)3中的x2乘以(1 x)10展開式中的32x3可得到3x3335C10X3C10X ;用(1x)3中的x3項(xiàng)乘以(1 x)10展開式中的x2項(xiàng)可得到C 3223x C10X25C10X，合并同類項(xiàng)得x5項(xiàng)為:(CoC103C1

11、0C12o)x563x5 .(2)2)5121、x12展開式的通項(xiàng)公式 Tr1C；2(、2)12C2X6 r，可得展開式3io44(1 x)展開式中的一次項(xiàng)乘以(1 x)展開式中的X4項(xiàng)可得到(3x)(Ci°x )的常數(shù)項(xiàng)為C；2924 .說明：問題(2)中將非二項(xiàng)式通過因式分解轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式解決這時(shí)我們還可以通過 合并項(xiàng)轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式展開的問題來解決.例3求(1 x X2)6展開式中x5的系數(shù).分析：(1 x x2)6不是二項(xiàng)式，我們可以通過 1 x x2(1 x) x2或1 (x x2)把它看成二項(xiàng)式展開.解：方法一：(1X X2)6(16x) X(1X6)6(1X)544X2 15

12、(1 x)4x4其中含X5的項(xiàng)為C5x56C3X515C14x5 6x5.含X5項(xiàng)的系數(shù)為6.方法二：(1 X26X )1(X6x )1 6(x X2)15(x22X )20(x x2 )315(xX2)46(x25 /2、6X )(X X )其中含X5的項(xiàng)為520( 3)x15(5554)x 6x 6x .二X5項(xiàng)的系數(shù)為6.方法3 :本題還可通過把(1X2 6x )看成6個(gè)1 xX2相乘，每個(gè)因式各取一項(xiàng)相乘可得到乘積的一項(xiàng)，555X5項(xiàng)可由下列幾種可能得到.5個(gè)因式中取X, 個(gè)取1得到C6X .3個(gè)因式中取23132X, 個(gè)取 X2，兩個(gè)取1得到C6 C3X ( X ) 1個(gè)因式中取X,

13、兩個(gè)取 X2，三個(gè)取1得到c6 c5x ( X2)2 合并同類項(xiàng)為53112555(C6 C6C3 C6C5)x6x , X5 項(xiàng)的系數(shù)為 6(2)求證:(1)Cn 2C2ncnc°c1C n C n2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)實(shí)際上是組合數(shù)的性質(zhì)，我們可以用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)來證 解決這兩個(gè)小題的關(guān)鍵是通過組合數(shù)公式 從而使用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)3Cn宀1 ° -分析：明一些組合數(shù)的等式或者求一些組合數(shù)式子的值. 將等式左邊各項(xiàng)變化的等數(shù)固定下來，1 2Cn Cncn解：(1)kCn kk!nd nCn1左邊nCn 1nCn 1n(Cn1Cn1ncn1帶)n 2n1右邊.(2)-1 1 C

14、nn!n!k1k1 k!( nk)! (k1)!( nk)!1(n 1)!1k 1cn 1 n 1(k 1)!(nk)! n1左邊1 C1n 11 c：1cn11n 1n 1n1 (cn 1C；1cn 1)11(21)右邊n 11說明：本題的兩個(gè)小題都是通過變換轉(zhuǎn)化成二項(xiàng)式系數(shù)之和，再用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解.此外，有些組合數(shù)的式子可以直接作為某個(gè)二項(xiàng)式的展開式，但這需要逆用二項(xiàng)式定理才能完成，所以需仔細(xì)觀察，我們可以看下面的例子：例 5 :求 29C1028C9o 27C1o 2C2o 10 的結(jié)果.仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)該組合數(shù)的式與(1 2)10的展開式接近，但要注意:(12)10coC1o 2

15、co22Co 29C10 210從而可以得到:2 22 10 2 C1029C：o 210Cw2(10 2C028co29C10)210 2C1028c029C：0瀘 1).例6利用二項(xiàng)式定理證明:32n2 8n9是64的倍數(shù).分析：64是8的平方，問題相當(dāng)于證明32n 2 8n 9是82的倍數(shù)，為了使問題向二項(xiàng)式定理貼近，變形-2n 239n1n 1k2(8 1)，將其展開后各項(xiàng)含有8 ,與8的倍數(shù)聯(lián)系起來.解： 32n 28n 99n18n9(81)n18n 98n1Cn8nCn1 82 Cn8n1Cn 18nCn 182 8(n1) 1 8 n 98n 1C；18nn 1Cn 182(8

16、n1Cn 18nn 1Cn 1)64是64的倍數(shù).說明：利用本題的方法和技巧不僅可以用來證明整除問題，而且可以用此方程求一些 復(fù)雜的指數(shù)式除以一個(gè)數(shù)的余數(shù).53 展開2x 2x2分析1:用二項(xiàng)式定理展開式.解法C；(2x)5 * *32x2C5(2x)432x2C；(2x)232x2C；(2x)232x23C；(2x)32x232x25232x120x1801354058X7243分析2:對(duì)較繁雜的式子，先化簡再用二項(xiàng)式定理展開.解法2:5352%袞守I0,3、51,3、42,3、32帀C5(4x )C5(4X )(3) C5 (4x )(3)32 x3323431455 _C5 (4x )(

17、3) C5 (4x )(3)C5 ( 3)9635760 x 4320x1620x 2437)|it12耐(1024x3840 x32 x32x5120x2180x1354x405243T10 -8x 32x說明：記準(zhǔn)、記熟二項(xiàng)式(ab)n的展開式，是解答好與二項(xiàng)式定理有關(guān)問題的前提條件對(duì)較復(fù)雜的二項(xiàng)式，有時(shí)先化簡再展開會(huì)更簡便.例8若將(xy10z)展開為多項(xiàng)式，經(jīng)過合并同類項(xiàng)后它的項(xiàng)數(shù)為()A 11B 33C. 55D 66分析:(x yz)10看作二項(xiàng)式(x y) z展開.解：我們把x y z看成(x y) z，按二項(xiàng)式展開，共有11 “項(xiàng)”，即101010k10 k k(x y z) (x y) zC10(x y) z k 0這時(shí)，由于“和”中各項(xiàng) z的指數(shù)各不相同，因此再將各個(gè)二項(xiàng)式(X y)10 k展開,k10 k k不同的乘積C10(x y) z ( k 0,1 ,10)展開后，都不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng).下面，再分別考慮每一個(gè)乘積C10(x y)10k zk ( k 0,1,10)其中每一個(gè)乘積展開后的項(xiàng)數(shù)由(x y)10 k決定，而且各項(xiàng)中x和y的指數(shù)都不相同，也不會(huì)出現(xiàn)同類項(xiàng).故原式展開后的總項(xiàng)數(shù)為 11 10 9166,