隱函數(shù)微分法學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1第一頁，共28頁。0),(. 1 yxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點(diǎn)在點(diǎn)),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)隱函數(shù)(hnsh)的求導(dǎo)公式的求導(dǎo)公式第1頁/共28頁第二頁，共28頁。將將 y = f (

2、x) 代入方程代入方程(fngchng)得：得：0 )(, xfxFFxyx)(,xfxFxddxdxdxF xdydyF 0 yFxFxdyd xF xdydyF 0),(. 1 yxF第2頁/共28頁第三頁，共28頁。解解令令1),(22 yxyxF則則,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yF第3頁/共28頁第四頁，共28頁。例例驗(yàn)驗(yàn)證證方方程程0122 yx在在點(diǎn)點(diǎn))1 , 0(的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)能能唯唯一一確確定定一一個(gè)個(gè)單單值值可可導(dǎo)導(dǎo)、且且0 x時(shí)時(shí)1 y的的隱隱函函數(shù)數(shù))(xfy ，并并求求這這函函數(shù)數(shù)的的一一階階和和二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在0

3、x的的值值.解解 令令1),(22 yxyxF則則,2xFx ,2yFy , 0)1 , 0( F, 02)1 , 0( yFyxFFdxdy ,yx , 00 xdxdy22dxyd2yyxxy ,13y . 1022 xdxyd2yyxy 第4頁/共28頁第五頁，共28頁。0 xexyy例例2：設(shè)：設(shè)xexyyxFy ),(解：解：求求22xdydxF,1 yeyFyex 1xdydyxFF ,11yyexe 22xdyd)11(yyexexdd 2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 第5頁/共28頁第六頁，共28頁。0 xexyy例例2：設(shè)：設(shè)

4、xexyyxFy ),(解：解：求求22xdydxdyd,11yyexe 22xdyd2)1 ()1 () 1() 1()1 (yyyyyexxexddeexddxe 2111)()()(yyyyyyexyxeeeyexe 2121)()(yyyyexxxeee 第6頁/共28頁第七頁，共28頁。隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點(diǎn)在點(diǎn),(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點(diǎn)在點(diǎn)),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰

5、域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),(. 2 zyxF第7頁/共28頁第八頁，共28頁。由方程由方程(fngchng)0),( zyxF所確定所確定(qudng)的二元函數(shù)的二元函數(shù) z = f ( x , y ) , 求求yzxz ,Fxzyxy),(,yxfyxFx xdxdxF xzzF 0 zFxFxz zFyFyz 第8頁/共28頁第九頁，共28頁。解解令令則則,4),(222zzyxzyxF ,2xFx , 42 z

6、Fz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 第9頁/共28頁第十頁，共28頁。例例4設(shè)設(shè)求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解令令, zyxu ,xyzv 則則),(vufz 把把z看成看成yx,的函數(shù)對的函數(shù)對x求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得xz xzxyyzfxzfvu1xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得0 yxyzxzfyxfvu1第10頁/共28頁第十一頁，共28頁。例例4設(shè)設(shè)求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解xz ,1vu

7、vuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得0 yxyzxzfyxfvu1yx ,vuvuyzffxzff 把把y看成看成zx,的函數(shù)對的函數(shù)對z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得1 zyxzxyfzyfvu1第11頁/共28頁第十二頁，共28頁。例例4設(shè)設(shè)求求),(xyzzyxfz ,xz ,yx .zy 解解xz ,1vuvuxyffyzff 把把x看成看成yz,的函數(shù)對的函數(shù)對y求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得yx ,vuvuyzffxzff 把把y看成看成zx,的函數(shù)對的函數(shù)對z求偏導(dǎo)數(shù)得求偏導(dǎo)數(shù)得1 zyxzxyfzyfvu1zy .1vuvuxzffxyff 第12頁/共

8、28頁第十三頁，共28頁。例例5設(shè)設(shè), 0),( xzzyyxF連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,且且, 032 FF求證求證(qizhng). 1 yzxz證證由題意知方程由題意知方程(fngchng)確定函數(shù)確定函數(shù)).,(yxzz 在題設(shè)在題設(shè)方程兩邊取微分方程兩邊取微分, ,得得),(xzzyyxdF 0d , 0 即有即有. 0)()()(321 xzdFzydFyxdF. 0)()()(321 dxdzFdzdyFdydxF其中其中F具有具有合并得合并得,)()()(321231dzFFdyFFdxFF 解得解得dz,32123231dyFFFFdxFFFF 第13

9、頁/共28頁第十四頁，共28頁。例例5設(shè)設(shè), 0),( xzzyyxF連續(xù)連續(xù)(linx)(linx)偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù), ,且且, 032 FF求證求證(qizhng). 1 yzxz證證其中其中F具有具有,)()()(321231dzFFdyFFdxFF 解得解得dz,32123231dyFFFFdxFFFF 從而從而(cng r)xz ,3231FFFF yz ,3212FFFF 于是于是yzxz 3232FFFF . 1 第14頁/共28頁第十五頁，共28頁。.4dzyxzyzzx的函數(shù)，求全微分的函數(shù)，求全微分、為為確定確定：設(shè)：設(shè)例例 xyzyxzzfzxfyzx :),(522證明證明

10、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，其中其中：設(shè)：設(shè)例例第15頁/共28頁第十六頁，共28頁。例例5 已知已知0cossin020022 zyxyxxttdttdtttde確定確定(qudng) z = z ( x , y ) ，yzxz ,求求解：令解：令 zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(22 xF2)(4xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy 第16頁/共28頁第十七頁，共28頁。 yF0)(sinyyxyxyx 2)()(cosyzyxzyx yyxsin 2)(coszyxzx zF0

11、0 2)()(coszzyxzyx 2)(coszyxyx zyxyxxttdttdtttdezyxF0200cossin),(222)(2xxxe )(sinxyxyxyx 2)()(cosxzyxzyx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy xF第17頁/共28頁第十八頁，共28頁。 xzzxFF 42xexxyxsin 2)(coszyxzy 2)(coszyxyx yzzyFF 2)(coszyxyxyyxsin2)(coszyxzx 42xex xyxsin 2)(coszyxzy yyxsin 2)(coszyxzx 2)(coszyxyx xFyFzF第18頁/共28

12、頁第十九頁，共28頁。 0),(0),(vuyxGvuyxF.,cossin6yvxvyuxuvueyvuexuu 求求：設(shè)：設(shè)例例第19頁/共28頁第二十頁，共28頁。（分以下（分以下(yxi)幾種情幾種情況）況）隱函數(shù)隱函數(shù)(hnsh)的求導(dǎo)法則的求導(dǎo)法則0),()1( yxF0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF第20頁/共28頁第二十一頁，共28頁。作業(yè)作業(yè)(zuy)：習(xí)題：習(xí)題9-5: 1, 6, 8第21頁/共28頁第二十二頁，共28頁。一、一、 填空題填空題: :1 1、 設(shè)設(shè)xyyxarctanln22 , ,則則 dxdy_._. 2 2、設(shè)、設(shè)

13、zxyz , ,則則 xz_,_, yz_._.二、二、 設(shè)設(shè),32)32sin(2zyxzyx 證明：證明：. 1 yzxz練練 習(xí)習(xí) 題題第22頁/共28頁第二十三頁，共28頁。三三、 如如 果果 函函 數(shù)數(shù)),(zyxf對對 任任 何何t恒恒 滿滿 足足 關(guān)關(guān) 系系 式式),(),(zyxfttztytxfk , ,則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(zyxf為為 k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù), ,試試證證: :k次次齊齊次次函函數(shù)數(shù)滿滿足足方方程程 ),(zyxkfzfzyfyxfx . .四四、設(shè)設(shè).,3233yxzaxyzz 求求五五、求求由由下下列列方方程程組組所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)或

14、或偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù): :1 1、 設(shè)設(shè) 203222222zyxyxz , ,求求.,dxdzdxdy2 2、 設(shè)設(shè) ),(),(2yvxugvyvuxfu，求求.,xvxu （其其中中g(shù)f ,具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)）第23頁/共28頁第二十四頁，共28頁。六、六、 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu由方程組由方程組 0),(0),(),(zxhzyxgyxfu所確定所確定, , 且且., 0, 0dxduzhyg求求 ( (hgf,均可微均可微) )七、七、 設(shè)設(shè)),(txfy 而而t是由方程是由方程0),( tyxF所確定的所確定的yx,的函數(shù)的函數(shù), ,求求.dxdy八、八、 設(shè)設(shè)),(yx

15、zz 由方程由方程),(xzyyxxF =0=0 所確定所確定, , 證明證明: :xyzyzyxzx . .第24頁/共28頁第二十五頁，共28頁。一、一、1 1、yxyx ； 2 2、yyxzzzzxxlnln1 ； 3 3、yyxzzyzxzln11 . .四、四、3222242)()2(xyzyxxyzzzyxz . .五、五、1 1、13,)13(2)16( zxdxdzzyzxdxdy； 2 2、12211221)12)(1()12(gfgyvfxgfgyvfuxu , , 1221111)12)(1()1(gfgyvfxfufxgxv . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案(d n)第25頁/共28頁第二十六頁，共28頁。六六、zyxzyyxxxhghgfggffdxdu zyxzyzxxzyxhghgfhgfhgf . . 七七、tyttxxtfFFfFfFdxdy . . 第26頁/共28頁第二十七頁，共28頁。