2016年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)Ⅰ(江蘇卷)

1、1 / 16 2016 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(江蘇江蘇卷卷) 數(shù)學(xué) 1.(2016 江蘇,1)已知集合 a=-1,2,3,6,b=x|-2x3,則 ab= . 答案-1,2 解析 ab=-1,2,3,6x|-2xb,循環(huán)結(jié)束,輸出 a的值為 9. 7.(2016 江蘇,7)將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各個(gè)面上分別標(biāo)有 1,2,3,4,5,6 個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲 2次,則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和小于 10的概率是 . 答案56 解析(方法一)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲 2 次,共有 36 個(gè)基本事件.其中向上的點(diǎn)數(shù)之和小于10 的基本事件共有 30 個(gè),

2、所以所求概率為3036=56. (方法二)將一顆質(zhì)地均勻的骰子先后拋擲 2 次,共有 36個(gè)基本事件.記 a表示“向上的點(diǎn)數(shù)之和小于 10”,則表示“向上的點(diǎn)數(shù)之和不小于 10”,的基本事件共有 6 個(gè),所以 p()=636=16,p(a)=1-p()=56. 8.(2016 江蘇,8)已知an是等差數(shù)列,sn是其前 n 項(xiàng)和.若 a1+22=-3,s5=10,則 a9的值是 . 答案 20 解析由 s5=10 得 a3=2,因此 2-2d+(2-d)2=-3d=3,a9=2+36=20. 9.(2016 江蘇,9)定義在區(qū)間0,3上的函數(shù) y=sin 2x的圖象與 y=cos x 的圖象的交

3、點(diǎn)個(gè)數(shù)是 . 答案 7 3 / 16 解析由 sin 2x=cos x,可得 cos x=0 或 sin x=12,因?yàn)?x0,3,所以 x 可取的值為2,32,52,6,56,136,176,共 7個(gè).故交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 7. 10. (2016 江蘇,10)如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xoy中,f 是橢圓22+22=1(ab0)的右焦點(diǎn),直線 y=2與橢圓交于 b,c 兩點(diǎn),且bfc=90,則該橢圓的離心率是 . 答案63 解析由題意得 b(-32,2),c(32,2),f(c,0),所以 = ( +32,-2), = (-32,-2).因?yàn)閎fc=90,所以 =0.所以 c2-(32)2+ (2)

4、2=0.又 a2-b2=c2,所以 3c2=2a2,即22=23,所以 e=63. 11.(2016 江蘇,11)設(shè) f(x)是定義在 r 上且周期為 2的函數(shù),在區(qū)間-1,1)上,f(x)= + ,-1 0,|25-|,0 0,tan btan c0,所以 tan a+2tan btan c22tantantan,當(dāng)且僅當(dāng) tan a=2tan btan c 時(shí),等號(hào)成立,即 tan atan btan c22tantantan,解得 tan atan btan c8,即最小值為 8. 15.(2016 江蘇,15)在abc中,ac=6,cos b=45,c=4. (1)求 ab的長(zhǎng); (2

5、)求 cos(-6)的值. 解(1)因?yàn)?cos b=45,0b, 所以 sin b=1-cos2 =1-(45)2=35. 由正弦定理 知sin=sin, 所以 ab=sinsin=62235=52. (2)在abc中,a+b+c=,所以 a=-(b+c), 于是 cos a=-cos(b+c)=-cos( +4)=-cos bcos4+sin bsin4, 又 cos b=45,sin b=35, 故 cos a=-4522+3522=-210. 6 / 16 因?yàn)?0a,所以 sin a=1-cos2 =7210. 因此,cos(-6)=cos acos6+sin asin6=-2103

6、2+721012=72-620. 16.(2016 江蘇,16) 如圖,在直三棱柱 abc-a1b1c1中,d,e分別為 ab,bc 的中點(diǎn),點(diǎn) f 在側(cè)棱 b1b 上,且 b1da1f,a1c1a1b1. 求證:(1)直線 de平面 a1c1f; (2)平面 b1de平面 a1c1f. 證明(1)在直三棱柱 abc-a1b1c1中,a1c1ac. 在abc中,因?yàn)?d,e分別為 ab,bc的中點(diǎn), 所以 deac,于是 dea1c1. 又因?yàn)?de平面 a1c1f,a1c1平面 a1c1f, 所以直線 de平面 a1c1f. (2)在直三棱柱 abc-a1b1c1中,a1a平面 a1b1c1

7、. 因?yàn)?a1c1平面 a1b1c1,所以 a1aa1c1. 又因?yàn)?a1c1a1b1,a1a平面 abb1a1,a1b1平面 abb1a1,a1aa1b1=a1, 所以 a1c1平面 abb1a1. 因?yàn)?b1d平面 abb1a1,所以 a1c1b1d. 又因?yàn)?b1da1f,a1c1平面 a1c1f,a1f平面 a1c1f,a1c1a1f=a1, 所以 b1d平面 a1c1f. 7 / 16 因?yàn)橹本€ b1d平面 b1de,所以平面 b1de平面 a1c1f. 17.(2016 江蘇,17) 現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù),它由上下兩部分組成,上部的形狀是正四棱錐 p-a1b1c1d1,下部的形狀是正

8、四棱柱 abcd-a1b1c1d1(如圖所示),并要求正四棱柱的高 o1o是正四棱錐的高 po1的 4 倍. (1)若 ab=6 m,po1=2 m,則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少? (2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為 6 m,則當(dāng) po1為多少時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大? 解 (1)由 po1=2 m知 o1o=4po1=8 m. 因?yàn)?a1b1=ab=6 m, 所以正四棱錐 p-a1b1c1d1的體積 v錐=13 a112 po1=13622=24(m3); 正四棱柱 abcd-a1b1c1d1的體積 v柱=ab2 o1o=628=288(m3). 所以倉(cāng)庫(kù)的容積 v=v錐+v柱=24+288=312(m3). (2

9、)設(shè) a1b1=a m,po1=h m,則 0h6,o1o=4h. 8 / 16 連接 o1b1. 因?yàn)樵?rtpo1b1中,o112+p12=p12, 所以(22)2+h2=36,即 a2=2(36-h2). 于是倉(cāng)庫(kù)的容積 v=v柱+v錐=a2 4h+13a2 h=133a2h=263(36h-h3),0h6, 從而 v=263(36-3h2)=26(12-h2). 令 v=0,得 h=23或 h=-23(舍). 當(dāng) 0h0,v 是單調(diào)增函數(shù) ; 當(dāng) 23h6 時(shí),v0,v是單調(diào)減函數(shù) . 故 h=23時(shí),v 取得極大值 ,也是最大值. 因此,當(dāng) po1=23 m 時(shí),倉(cāng)庫(kù)的容積最大. 1

10、8.(2016 江蘇,18) 如圖,在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中,已知以 m為圓心的圓 m:x2+y2-12x-14y+60=0 及其上一點(diǎn) a(2,4). (1)設(shè)圓 n與 x軸相切,與圓 m 外切,且圓心 n在直線 x=6 上,求圓 n的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)平行于 oa 的直線 l與圓 m相交于 b,c兩點(diǎn),且 bc=oa,求直線 l的方程; (3)設(shè)點(diǎn) t(t,0)滿足:存在圓 m 上的兩點(diǎn) p 和 q,使得 + = ,求實(shí)數(shù) t的取值范圍. 解 9 / 16 圓 m的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-6)2+(y-7)2=25,所以圓心 m(6,7),半徑 為 5. (1)由圓心 n 在直線 x=6上,

11、可設(shè) n(6,y0). 因?yàn)閳A n 與 x 軸相切,與圓 m 外切,所以 0y00,b0,a1,b1). (1)設(shè) a=2,b=12. 求方程 f(x)=2的根; 若對(duì)于任意 xr,不等式 f(2x)mf(x)-6 恒成立,求實(shí)數(shù) m的最大值; (2)若 0a1,函數(shù) g(x)=f(x)-2 有且只有 1 個(gè)零點(diǎn),求 ab 的值. 解(1)因?yàn)?a=2,b=12,所以 f(x)=2x+2-x. 方程 f(x)=2,即 2x+2-x=2,亦即(2x)2-22x+1=0, 所以(2x-1)2=0,于是 2x=1,解得 x=0. 由條件知 f(2x)=22x+2-2x=(2x+2-x)2-2=(f(

12、x)2-2. 因?yàn)?f(2x)mf(x)-6對(duì)于 xr 恒成立,且 f(x)0, 所以 m()2+4()對(duì)于 xr 恒成立. 而()2+4()=f(x)+4()2()4()=4,且(0)2+4(0)=4, 所以 m4,故實(shí)數(shù) m 的最大值為 4. (2)因?yàn)楹瘮?shù) g(x)=f(x)-2只有 1個(gè)零點(diǎn), 而 g(0)=f(0)-2=a0+b0-2=0, 11 / 16 所以 0 是函數(shù) g(x)的唯一零點(diǎn) . 因?yàn)?g(x)=axln a+bxln b, 又由 0a1 知 ln a0, 所以 g(x)=0有唯一解 x0=log(-lnln). 令 h(x)=g(x),則 h(x)=(axln a

13、+bxln b)=ax(ln a)2+bx(ln b)2, 從而對(duì)任意 xr,h(x)0, 所以 g(x)=h(x)是(-,+)上的單調(diào)增函數(shù) . 于是當(dāng) x(-,x0)時(shí),g(x)g(x0)=0. 因而函數(shù) g(x)在(-,x0)上是單調(diào)減函數(shù) ,在(x0,+)上是單調(diào)增函數(shù) . 下證 x0=0. 若 x00,則 x0020,于是 g(02)log2-2=0,且函數(shù) g(x)在以02和 loga2為端點(diǎn)的閉區(qū)間上的圖象不間斷 ,所以在02和 loga2之間存在 g(x)的零點(diǎn) ,記為 x1.因?yàn)?0a1,所以 loga20.又020,所以x10,同理可得,在02和 logb2 之間存在 g(

14、x)的非 0 的零點(diǎn),矛盾.因此,x0=0. 于是-lnln=1,故 ln a+ln b=0,所以 ab=1. 20.(2016 江蘇,20)記 u=1,2,100.對(duì)數(shù)列an(nn*)和 u 的子集 t,若 t=,定義 st=0;若t=t1,t2,tk,定義 st=1+ 2+.例如:t=1,3,66時(shí),st=a1+a3+a66.現(xiàn)設(shè)an(nn*)是公比為3 的等比數(shù)列,且當(dāng) t=2,4時(shí),st=30. (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)對(duì)任意正整數(shù) k(1k100),若 t1,2,k,求證:st0,nn*, 所以 sta1+a2+ak=1+3+3k-1=12(3k-1)3k. 因此,sta

15、k+1. (3)下面分三種情況證明. 若 d是 c 的子集 ,則 sc+scd=sc+sdsd+sd=2sd. 若 c是 d 的子集 ,則 sc+scd=sc+sc=2sc2sd. 若 d不是 c的子集,且 c不是 d的子集. 令 e=cud,f=duc,則 e,f,ef=. 于是 sc=se+scd,sd=sf+scd,進(jìn)而由 scsd得 sesf. 設(shè) k為 e 中的最大數(shù) ,l為 f 中的最大數(shù) ,則 k1,l1,kl. 由(2)知,seak+1.于是 3l-1=alsfseak+1=3k, 所以 l-10,|x-1|3,|y-2|3,求證:|2x+y-4|a. 證明因?yàn)閨x-1|3,|

16、y-2|3, 所以|2x+y-4|=|2(x-1)+(y-2)| 2|x-1|+|y-2|0). (1)若直線 l過(guò)拋物線 c 的焦點(diǎn),求拋物線 c的方程; (2)已知拋物線 c 上存在關(guān)于直線 l對(duì)稱的相異兩點(diǎn) p和 q. 求證:線段 pq的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2-p,-p); 求 p 的取值范圍. 解(1)拋物線 c:y2=2px(p0)的焦點(diǎn) 為(2,0), 由點(diǎn)(2,0)在直線 l:x-y-2=0 上,得2-0-2=0,即 p=4. 所以拋物線 c 的方程為 y2=8x. (2)設(shè) p(x1,y1),q(x2,y2),線段 pq 的中點(diǎn) m(x0,y0). 因?yàn)辄c(diǎn) p 和 q關(guān)于直線 l對(duì)稱,

17、所以直線 l 垂直平分 線段 pq, 于是直線 pq 的斜率為-1,則可設(shè)其方程為 y=-x+b. 由2= 2, = - + 消去 x 得 y2+2py-2pb=0. (*) 因?yàn)?p和 q 是拋物線 c上的相異兩點(diǎn),所以 y1y2, 從而 =(2p)2-4(-2pb)0,化簡(jiǎn)得 p+2b0. 方程(*)的兩根為 y1,2=-p2+ 2, 從而 y0=1+22=-p. 因?yàn)?m(x0,y0)在直線 l上,所以 x0=2-p. 16 / 16 因此,線段 pq 的中點(diǎn)坐標(biāo) 為(2-p,-p). 因?yàn)?m(2-p,-p)在直線 y=-x+b 上, 所以-p=-(2-p)+b,即 b=2-2p. 由知 p+2b0,于是 p+2(2-2p)0, 所以 pm時(shí),