2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)(四川卷) (2)

1、2015年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(四川卷)數(shù)學(xué)(文史類)第卷(選擇題共50分)注意事項(xiàng):必須使用2b鉛筆在答題卡上將所選答案對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.第卷共10小題.一、選擇題:本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分,在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)是符合題目要求的.1.(2015四川,文1)設(shè)集合a=x|-1<x<2,集合b=x|1<x<3,則ab=()a.x|-1<x<3b.x|-1<x<1c.x|1<x<2d.x|2<x<3答案:a解析:如圖所示,把集合a,b在數(shù)軸上表示出來.所以ab=x|-1<x<3

2、.2.(2015四川,文2)設(shè)向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x=()a.2b.3c.4d.6答案:b解析:由a=(2,4),b=(x,6)共線,可得4x=12,即x=3.3.(2015四川,文3)某學(xué)校為了了解三年級(jí)、六年級(jí)、九年級(jí)這三個(gè)年級(jí)之間的學(xué)生視力是否存在顯著差異,擬從這三個(gè)年級(jí)中按人數(shù)比例抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,則最合理的抽樣方法是()a.抽簽法b.系統(tǒng)抽樣法c.分層抽樣法d.隨機(jī)數(shù)法答案:c解析:根據(jù)調(diào)查的目的,為了解三個(gè)年級(jí)之間的學(xué)生視力是否存在差異,故最合理的抽樣方法應(yīng)是分層抽樣.4.(2015四川,文4)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),則“a>b>1”是“l(fā)o

3、g2a>log2b>0”的()a.充要條件b.充分不必要條件c.必要不充分條件d.既不充分也不必要條件答案:a解析:因?yàn)楹瘮?shù)y=log2x在(0,+)上是增函數(shù).故a>b>1log2a>log2b>log21=0.且log2a>log2b>0a>b>1.故a>b>1是log2a>log2b>0的充要條件.5.(2015四川,文5)下列函數(shù)中,最小正周期為的奇函數(shù)是()a.y=sin 2x+2b.y=cos 2x+2c.y=sin 2x+cos 2xd.y=sin x+cos x答案:b解析:對(duì)于a,y=sin

4、2x+2=cos 2x,是最小正周期為的偶函數(shù);對(duì)于b,y=cos 2x+2=-sin 2x,是最小正周期為的奇函數(shù);對(duì)于c,y=sin 2x+cos 2x=2sin 2x+4,是最小正周期為的非奇非偶函數(shù);對(duì)于d,y=sin x+cos x=2sin x+4,是最小正周期為2的非奇非偶函數(shù),故選b.6.(2015四川,文6)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出s的值為()a.-32b.32c.-12d.12答案:d解析:這是一個(gè)循環(huán)結(jié)構(gòu),每次循環(huán)的結(jié)果依次為:k=2,不滿足k>4;k=3,不滿足k>4;k=4,不滿足k>4;k=5,滿足k>4,此時(shí)s=sin 56=sin 6

5、=12.7.(2015四川,文7)過雙曲線x2-y23=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于a,b兩點(diǎn),則|ab|=()a.433b.23c.6d.43答案:d解析:雙曲線x2-y23=1的兩條漸近線方程為y=±3x,右焦點(diǎn)為f(2,0)如圖所示.根據(jù)題意,由y=3x,x=2,得a(2,23).同理可得b(2,-23).所以|ab|=43,故選d.8.(2015四川,文8)某食品的保鮮時(shí)間y(單位:小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位:)滿足函數(shù)關(guān)系y=ekx+b(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù),k,b為常數(shù)).若該食品在0 的保鮮時(shí)間是192小時(shí),在22 的保鮮時(shí)間是48小時(shí)

6、,則該食品在33 的保鮮時(shí)間是()a.16小時(shí)b.20小時(shí)c.24小時(shí)d.28小時(shí)答案:c解析:由題意,得(0,192)和(22,48)是函數(shù)y=ekx+b圖象上的兩個(gè)點(diǎn).所以192=eb,48=e22k+b. 由得,48=e22k·eb,把代入得e22k=48192=14,即(e11k)2=14,所以e11k=12.所以當(dāng)儲(chǔ)藏溫度為33 時(shí),保鮮時(shí)間y=e33k+b=(e11k)3·eb=18×192=24(小時(shí)).9.(2015四川,文9)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足2x+y10,x+2y14,x+y6,則xy的最大值為()a.252b.492c.12d.16答案:a解析

7、:作出可行域,如圖所示.令t=xy,則y=tx,由圖可知,當(dāng)曲線y=tx與線段ab相切時(shí),t最大,由x+2y=14,2x+y=10,得a(2,6),由x+y=6,2x+y=10,得b(4,2),由y=tx,得y'=-tx2.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),則2x0+y0=10,y0=tx0,-tx02=-2,解得x0=522,4,y0=5,t=252.所以xy的最大值為252.10.(2015四川,文10)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于a,b兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)m.且m為線段ab的中點(diǎn),若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是()a.(1,3)b.(

8、1,4)c.(2,3)d.(2,4)答案:d解析:如圖所示,設(shè)a(x1,y1),b(x2,y2),m(x0,y0),則y12=4x1,y22=4x2,兩式相減,得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2).當(dāng)l的斜率不存在,即x1=x2時(shí),符合條件的直線l必有兩條.當(dāng)l的斜率k存在,即x1x2時(shí),有2y0(y1-y2)=4(x1-x2),即k=2y0.由cmab,得kcm=y0x0-5=-y02,即x0=3.因?yàn)辄c(diǎn)m在拋物線內(nèi)部,所以y02<4x0=12,又x1x2,所以y1+y20,即0<y02<12.因?yàn)辄c(diǎn)m在圓上,所以(x0-5)2+y02=r2,即r2=y02+4

9、.所以4<r2<16,即2<r<4,故選d.第卷(非選擇題共100分)注意事項(xiàng):必須使用0.5毫米黑色墨跡簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區(qū)域內(nèi)作答.作圖題可先用鉛筆繪出,確認(rèn)后再用0.5毫米黑色墨跡簽字筆描清楚.答在試題卷、草稿紙上無效.第卷共11小題.二、填空題:本大題共5小題,每小題5分,共25分.11.(2015四川,文11)設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)i-1i=. 答案:2i解析:i-1i=i-(-i)=2i.12.(2015四川,文12)lg 0.01+log216的值是. 答案:2解析:lg 0.01+log216=lg 10-2+log22

10、4=-2+4=2.13.(2015四川,文13)已知sin +2cos =0,則2sin cos -cos2的值是. 答案:-1解析:由sin +2cos =0,得tan =-2.所以原式=2sincos-cos2sin2+cos2=2tan-1tan2+1=2×(-2)-1(-2)2+1=-55=-1.14.(2015四川,文14)在三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90°,其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形,俯視圖是直角邊的長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,設(shè)點(diǎn)m,n,p分別是棱ab,bc,b1c1的中點(diǎn),則三棱錐p-a1mn的體積是. 答案:124解析

11、:由題意,可得直三棱柱abc-a1b1c1如圖所示.其中ab=ac=aa1=bb1=cc1=a1b1=a1c1=1.m,n,p分別是棱ab,bc,b1c1的中點(diǎn),mn=12,np=1.smnp=12×12×1=14.點(diǎn)a1到平面mnp的距離為am=12,vp-a1mn=va1-mnp=13×14×12=124.15.(2015四川,文15)已知函數(shù)f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中ar).對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,設(shè)m=f(x1)-f(x2)x1-x2,n=g(x1)-g(x2)x1-x2.現(xiàn)有如下命題:對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有m&

12、gt;0;對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,都有n>0;對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=n;對(duì)于任意的a,存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n.其中的真命題有(寫出所有真命題的序號(hào)). 答案:解析:對(duì)于,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x單調(diào)遞增,所以m=f(x1)-f(x2)x1-x2>0,故該命題正確;對(duì)于,函數(shù)g(x)=x2+ax的對(duì)稱軸為x=-a2,故函數(shù)在-,-a2上單調(diào)遞減,在-a2,+上單調(diào)遞增.所以當(dāng)x1,x2-,-a2時(shí),n=g(x1)-g(x2)x1-x2<0.所以該命題錯(cuò)誤.對(duì)于,若存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=n,即f

13、(x1)-f(x2)x1-x2=g(x1)-g(x2)x1-x2,整理得f(x1)-g(x1)=f(x2)-g(x2),設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)-g(x),則h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax的圖象與平行于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn).h'(x)=2xln 2-2x-a,記p(x)=h'(x),則p'(x)=2x(ln 2)2-2,令p'(x)=0,解得2x=2(ln2)2,故x=log22(ln2)2=1-2log2(ln 2),記為x0.當(dāng)x(-,x0)時(shí),p'(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)x(x0,+)時(shí),p'(x)>0,

14、函數(shù)單調(diào)遞增,所以p(x)p(x0).顯然當(dāng)p(x0)0時(shí),h'(x)p(x0)0,此時(shí)函數(shù)h(x)在r上單調(diào),函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=2x-x2-ax的圖象與平行于x軸的直線只有一個(gè)交點(diǎn),即此時(shí)h(x)的圖象與平行于x軸的直線不可能有兩個(gè)交點(diǎn).所以該命題錯(cuò)誤.對(duì)于,若存在不相等的實(shí)數(shù)x1,x2,使得m=-n,即f(x1)-f(x2)x1-x2=-g(x1)-g(x2)x1-x2,整理得f(x1)+g(x1)=f(x2)+g(x2),設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),則q(x)=f(x)+g(x)=2x+x2+ax的圖象與平行于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn).q'(x)=

15、2xln 2+2x+a,顯然q'(x)在r上單調(diào),設(shè)q'(x)=0的解為t,則當(dāng)x(-,t)時(shí),q'(x)<0,函數(shù)q(x)單調(diào)遞減,x(t,+)時(shí),q'(x)>0,函數(shù)q(x)單調(diào)遞增.所以函數(shù)q(x)=2x+x2+ax的圖象與平行于x軸的直線可能有兩個(gè)交點(diǎn).所以該命題正確.綜上,正確的命題為.三、解答題:本大題共6小題,共75分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16.(本小題滿分12分)(2015四川,文16)設(shè)數(shù)列an(n=1,2,3,)的前n項(xiàng)和sn滿足sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;

16、(2)設(shè)數(shù)列1an的前n項(xiàng)和為tn,求tn.解:(1)由已知sn=2an-a1,有an=sn-sn-1=2an-2an-1(n2),即an=2an-1(n2).從而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因?yàn)閍1,a2+1,a3成等差數(shù)列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(a1+1),解得a1=2.所以,數(shù)列an是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.故an=2n.(2)由(1)得1an=12n.所以tn=12+122+12n=121-12n1-12=1-12n.17.(本小題滿分12分)(2015四川,文17)一輛小客車上有5個(gè)座位,其座位號(hào)為1,2,3,4,5,乘客p1,p2,p3

17、,p4,p5的座位號(hào)分別為1,2,3,4,5,他們按照座位號(hào)從小到大的順序先后上車,乘客p1因身體原因沒有坐自己的1號(hào)座位,這時(shí)司機(jī)要求余下的乘客按以下規(guī)則就坐:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位;如果自己的座位已有乘客就坐,就在這5個(gè)座位的剩余空位中任意選擇座位.(1)若乘客p1坐到了3號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就坐,則此時(shí)共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法.請(qǐng)?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號(hào)填入表中空格處);(2)若乘客p1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就坐,求乘客p5坐到5號(hào)座位的概率.乘客p1p2p3p4p5座位號(hào)3214532451解:(1)余下兩種坐法如下表所示:乘客p1p2

18、p3p4p5座位號(hào)3241532541(2)若乘客p1坐到了2號(hào)座位,其他乘客按規(guī)則就坐,則所有可能的坐法可用下表表示為:乘客p1p2p3p4p5座位號(hào)2134523145234152345123541243152435125341于是,所有可能的坐法共8種.設(shè)“乘客p5坐到5號(hào)座位”為事件a,則事件a中的基本事件的個(gè)數(shù)為4.所以p(a)=48=12.答:乘客p5坐到5號(hào)座位的概率是12.18.(本小題滿分12分)(2015四川,文18)一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請(qǐng)將字母f,g,h標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說明理由);(2)判斷平面beg與平面ach的

19、位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)證明:直線df平面beg.(1)解:點(diǎn)f,g,h的位置如圖所示.(2)解:平面beg平面ach.證明如下:因?yàn)閍bcd-efgh為正方體,所以bcfg,bc=fg,又fgeh,fg=eh,所以bceh,bc=eh,于是bche為平行四邊形.所以bech.又ch平面ach,be平面ach,所以be平面ach.同理bg平面ach.又bebg=b,所以平面beg平面ach.(3)證明:連接fh.因?yàn)閍bcd-efgh為正方體,所以dh平面efgh.因?yàn)閑g平面efgh,所以dheg.又egfh,egfh=o,所以eg平面bfhd.又df平面bfhd,所以dfeg.同理

20、dfbg.又egbg=g,所以df平面beg.19.(本小題滿分12分)(2015四川,文19)已知a,b,c為abc的內(nèi)角,tan a,tan b是關(guān)于x的方程x2+3px-p+1=0(pr)的兩實(shí)根.(1)求c的大小;(2)若ab=3,ac=6,求p的值.解:(1)由已知,方程x2+3px-p+1=0的判別式=(3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40.所以p-2,或p23.由韋達(dá)定理,有tan a+tan b=-3p,tan atan b=1-p.于是1-tan atan b=1-(1-p)=p0,從而tan (a+b)=tana+tanb1-tanatanb=-3pp=-3.所以t

21、an c=-tan (a+b)=3,所以c=60°.(2)由正弦定理,得sin b=acsincab=6sin60°3=22,解得b=45°,或b=135°(舍去).于是a=180°-b-c=75°.則tan a=tan 75°=tan (45°+30°)=tan45°+tan30°1-tan45°tan30°=1+331-33=2+3.所以p=-13(tan a+tan b)=-13(2+3+1)=-1-3.20.(本小題滿分13分)(2015四川,文20)如圖,

22、橢圓e:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率是22,點(diǎn)p(0,1)在短軸cd上,且pc·pd=-1.(1)求橢圓e的方程;(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)p的動(dòng)直線與橢圓交于a,b兩點(diǎn).是否存在常數(shù),使得oa·ob+pa·pb為定值?若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.解:(1)由已知,點(diǎn)c,d的坐標(biāo)分別為(0,-b),(0,b).又點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0,1),且pc·pd=-1,于是1-b2=-1,ca=22,a2-b2=c2.解得a=2,b=2.所以橢圓e方程為x24+y22=1.(2)當(dāng)直線ab的斜率存在時(shí),設(shè)直線ab的方程為y=kx+

23、1,a,b的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2).聯(lián)立x24+y22=1,y=kx+1,得(2k2+1)x2+4kx-2=0.其判別式=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,x1+x2=-4k2k2+1,x1x2=-22k2+1.從而,oa·ob+pa·pb=x1x2+y1y2+x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=(-2-4)k2+(-2-1)2k2+1=-12k2+1-2.所以,當(dāng)=1時(shí),-12k2+1-2=-3.此時(shí),oa·ob+pa·pb=-3為定值.當(dāng)直線ab斜率不存在時(shí),直線ab即為直線cd.此時(shí),oa·ob+pa·pb=oc·od+pc·pd=-2-1=-3.故存在常數(shù)=1,使得oa·ob+pa·pb為定值-3.21.(本小題滿分14分)(2015四川,文21)已知函數(shù)f(