2014年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(山東卷)文

1、1 / 11 2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(山東卷) 數(shù)學(xué)(文科) 本試卷分第卷和第卷兩部分.滿分 150 分.考試用時(shí) 120 分鐘. 參考公式:如果事件 a,b互斥,那么 p(a+b)=p(a)+p(b). 第卷(共 50 分) 一、選擇題:本大題共 10 小題,每小題 5 分,共 50 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的. 1.(2014 山東,文 1)已知 a,br,i 是虛數(shù)單位,若 a+i=2-bi,則(a+bi)2=( ). a.3-4i b.3+4i c.4-3i d.4+3i 答案:a 解析:a+i=2-bi,a+bi=2-i. 即(a+bi)

2、2=(2-i)2=4-4i-1=3-4i. 2.(2014 山東,文 2)設(shè)集合 a=x|x2-2x0,b=x|1x4,則 ab=( ). a.(0,2 b.(1,2) c.1,2) d.(1,4) 答案:c 解析:由已知可得 a=x|0 x2. 又b=x|1x4,ab=x|1x 0, 0. x2,f(x)的定義域?yàn)?2,+). 4.(2014 山東,文 4)用反證法證明命題“設(shè) a,b 為實(shí)數(shù),則方程 x3+ax+b=0 至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是( ). 2 / 11 a.方程 x3+ax+b=0 沒有實(shí)根 b.方程 x3+ax+b=0 至多有一個(gè)實(shí)根 c.方程 x3+ax+b=0

3、至多有兩個(gè)實(shí)根 d.方程 x3+ax+b=0 恰好有兩個(gè)實(shí)根 答案:a 解析:“至少有一個(gè)”的否定為“沒有”. 5.(2014 山東,文 5)已知實(shí)數(shù) x,y 滿足 axay(0ay3 b.sin xsin y c.ln(x2+1)ln(y2+1) d.12+112+1 答案:a 解析:0a1,axy.x3y3. 6.(2014 山東,文 6)已知函數(shù) y=loga(x+c)(a,c 為常數(shù),其中 a0,a0)的圖象如圖,則下列結(jié)論成立的是( ). a.a1,c1 b.a1,0c1 c.0a1 d.0a1,0c1 答案:d 解析:由圖象可知 y=loga(x+c)的圖象是由 y=logax 的

4、圖象向左平移 c 個(gè)單位得到的,其中 0c1.再根據(jù)單調(diào)性易知 0a1. 7.(2014 山東,文 7)已知向量 a=(1,3),b=(3,m),若向量 a,b 的夾角為6,則實(shí)數(shù) m=( ). a.23 b.3 c.0 d.-3 答案:b 解析:cos=|, cos6=3+3m232+2,解得 m=3. 8.(2014 山東,文 8)為了研究某藥品的療效,選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn).所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位:kpa)的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組,第二組,第五3 / 11 組.如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的

5、頻率分布直方圖.已知第一組與第二組共有 20 人,第三組中沒有療效的有 6 人,則第三組中有療效的人數(shù)為( ). a.6 b.8 c.12 d.18 答案:c 解析:設(shè)樣本容量為 n,由題意得 n(0.24+0.16)=20, n=50. 第三組的頻數(shù)為 500.36=18 人. 則第三組中有療效的人數(shù)為 18-6=12. 9.(2014 山東,文 9)對(duì)于函數(shù) f(x),若存在常數(shù) a0,使得 x 取定義域內(nèi)的每一個(gè)值,都有 f(x)=f(2a-x),則稱 f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)中是準(zhǔn)偶函數(shù)的是( ). a.f(x)= b.f(x)=x2 c.f(x)=tan x d.f(x)=cos

6、(x+1) 答案:d 解析:由 f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù)的定義可知,若 f(x)的圖象關(guān)于 x=a(a0)對(duì)稱,則 f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù),在 d 中 f(x)=cos(x+1)的圖象關(guān)于 x=k-1(kz)對(duì)稱,故選 d. 10.(2014 山東,文 10)已知 x,y 滿足約束條件-1 0,2-3 0,當(dāng)目標(biāo)函數(shù) z=ax+by(a0,b0)在該約束條件下取到最小值 25時(shí),a2+b2的最小值為( ). a.5 b.4 c.5 d.2 答案:b 解析:約束條件-1 0,2-3 0滿足可行域如圖所示. 由圖可知目標(biāo)函數(shù) z=ax+by(a0,b0)取最小值時(shí),最優(yōu)解為(2,1), 4 / 11 即 2

7、a+b=25,b=25-2a. a2+b2=a2+(25-2a)2=5a2-85a+20=(5a-4)2+4. 當(dāng) a=455時(shí),a2+b2取最小值為 4. 第卷(共 100 分) 二、填空題:本大題共 5 小題,每小題 5 分,共 25 分. 11.(2014 山東,文 11)執(zhí)行下面的程序框圖,若輸入的 x 的值為 1,則輸出的 n 的值為 . 答案:3 解析:輸入 x=1,12-4+30,執(zhí)行是,x=2,n=1; 返回 22-8+30,執(zhí)行是,x=3,n=2; 返回 32-12+30,執(zhí)行是,x=4,n=3; 返回 42-16+30,執(zhí)行否,輸出 n=3. 12.(2014 山東,文 1

8、2)函數(shù) y=32sin 2x+cos2x 的最小正周期為 . 答案: 解析:原式=32sin 2x+1+cos22=sin(2 +6) +12. 周期 t=22=. 13.(2014 山東,文 13)一個(gè)六棱錐的體積為 23,其底面是邊長(zhǎng)為 2 的正六邊形,側(cè)棱長(zhǎng)都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為 . 答案:12 解析:根據(jù)題意得底面正六邊形面積為 63,設(shè)六棱錐的高為 h,則 v=13sh, 1363h=23,解得 h=1. 設(shè)側(cè)面高為 h, 則 h2+(3)2=h2,h=2. 5 / 11 正六棱錐的側(cè)面積為 61222=12. 14.(2014 山東,文 14)圓心在直線 x-2y=0 上的

9、圓 c 與 y 軸的正半軸相切,圓 c 截 x 軸所得弦的長(zhǎng)為 23,則圓 c的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 答案:(x-2)2+(y-1)2=4 解析:圓心在直線 x-2y=0 上, 可設(shè)圓心為(2a,a). 圓 c 與 y 軸正半軸相切,a0,半徑 r=2a. 又圓 c 截 x 軸的弦長(zhǎng)為 23, a2+(3)2=(2a)2,解得 a=1(a=-1 舍去). 圓 c 的圓心為(2,1),半徑 r=2. 圓的方程為(x-2)2+(y-1)2=4. 15.(2014 山東,文 15)已知雙曲線2222=1(a0,b0)的焦距為 2c,右頂點(diǎn)為 a,拋物線 x2=2py(p0)的焦點(diǎn)為 f,若雙曲線截拋物線的

10、準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為 2c,且|fa|=c,則雙曲線的漸近線方程為 . 答案:y= x 解析:由已知得|oa|=a,|af|=c, |of|=|2-|oa|2= 2-2= 2=b, b=2. 拋物線的準(zhǔn)線 y=-2=-b. 把 y=-b 代入雙曲線2222=1 得 x2=2a2, 直線 y=-2被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為 22a,從而 22a=2c. c=2a,a2+b2=2a2,a=b, 漸近線方程為 y= x. 三、解答題:本大題共 6 小題,共 75 分. 16.(本小題滿分 12 分)(2014 山東,文 16)海關(guān)對(duì)同時(shí)從 a,b,c 三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè),從各地區(qū)進(jìn)口此種

11、商品的數(shù)量(單位:件)如下表所示.工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取 6 件樣品進(jìn)行檢測(cè). 6 / 11 地區(qū) a b c 數(shù)量 50 150 100 (1)求這 6 件樣品中來自 a,b,c 各地區(qū)商品的數(shù)量; (2)若在這 6 件樣品中隨機(jī)抽取 2 件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè),求這 2 件商品來自相同地區(qū)的概率. 分析:(1)利用分層抽樣在各層中的抽樣比等于在總體中的抽樣比求解.(2)先利用列舉法求出在這 6 件樣品中隨機(jī)抽取 2 件的總的基本事件個(gè)數(shù)及所抽取的 2 件商品來自相同地區(qū)的基本事件個(gè)數(shù),進(jìn)而利用古典概型的概率公式即可求解. 解:(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是

12、650+150+100=150, 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是: 50150=1,150150=3,100150=2. 所以 a,b,c 三個(gè)地區(qū)的商品被選取的件數(shù)分別為 1,3,2. (2)設(shè) 6 件來自 a,b,c 三個(gè)地區(qū)的樣品分別為:a;b1,b2,b3;c1,c2. 則抽取的這 2 件商品構(gòu)成的所有基本事件為:a,b1,a,b2,a,b3,a,c1,a,c2,b1,b2,b1,b3,b1,c1,b1,c2,b2,b3,b2,c1,b2,c2,b3,c1,b3,c2,c1,c2,共 15 個(gè). 每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的. 記事件 d:“抽取的

13、這 2 件商品來自相同地區(qū)”, 則事件 d 包含的基本事件有b1,b2,b1,b3,b2,b3,c1,c2,共 4 個(gè). 所以 p(d)=415,即這 2 件商品來自相同地區(qū)的概率為415. 17.(本小題滿分 12 分)(2014 山東,文 17)abc 中,角 a,b,c 所對(duì)的邊分別為 a,b,c.已知 a=3,cos a=63,b=a+2. (1)求 b 的值; (2)求abc 的面積. 分析:(1)在abc 中,已知 cos a=63,b=a+2,相當(dāng)于已知角 a,b,又已知邊 a,故可利用sin=sin求 b.(2)由已知及(1)可知 a,b,故根據(jù) sabc=12absin c,

14、只需求 sin c,在abc 中,由 c=-(a+b),可求 sin c. 解:(1)在abc 中, 由題意知 sin a=1-cos2a =33, 又因?yàn)?b=a+2, 所以 sin b=sin( +2)=cos a=63. 7 / 11 由正弦定理可得 b=sinsin=36333=32. (2)由 b=a+2得 cos b=cos( +2)=-sin a=-33. 由 a+b+c=,得 c=-(a+b), 所以 sin c=sin-(a+b)=sin(a+b) =sin acos b+cos asin b =33 (-33) +6363=13. 因此abc 的面積 s=12absin c

15、=12332 13=322. 18.(本小題滿分 12 分)(2014 山東,文 18)如圖,四棱錐 p-abcd 中,ap平面 pcd,adbc,ab=bc=12ad,e,f分別為線段 ad,pc 的中點(diǎn). (1)求證:ap平面 bef; (2)求證:be平面 pac. 分析:(1)要證 ap平面 bef,由線面平行的判定定理知,只需在平面 bef 內(nèi)找到一條直線與 ap平行即可,而已知 f為 pc 的中點(diǎn).“由中點(diǎn)找中點(diǎn)”,故考慮利用三角形的中位線定理求解,即找 ac 的中點(diǎn),由已知可通過證明四邊形 abce為菱形而達(dá)到目的.(2)要證 be平面 pac,由線面垂直的判定定理知:只需證 b

16、e垂直于平面 pac內(nèi)的兩條相交直線即可.由(1)可知 beac.又已知 ap平面 pcd,則 ap垂直于平面 pcd 內(nèi)的所有直線,即apcd,故考慮通過證明 becd 來證明 bepa,則由 beac 且 bepa,可證 be平面 pac. 證明:(1)設(shè) acbe=o,連接 of,ec. 由于 e為 ad 的中點(diǎn),ab=bc=12ad,adbc, 所以 aebc,ae=ab=bc, 因此四邊形 abce 為菱形, 所以 o 為 ac 的中點(diǎn). 又 f為 pc 的中點(diǎn), 因此在pac 中,可得 apof. 8 / 11 又 of平面 bef,ap平面 bef, 所以 ap平面 bef. (

17、2)由題意知 edbc,ed=bc. 所以四邊形 bcde為平行四邊形, 因此 becd. 又 ap平面 pcd, 所以 apcd,因此 apbe. 因?yàn)樗倪呅?abce 為菱形, 所以 beac. 又 apac=a,ap,ac平面 pac, 所以 be平面 pac. 19.(本小題滿分 12 分)(2014 山東,文 19)在等差數(shù)列an中,已知公差 d=2,a2是 a1與 a4的等比中項(xiàng). (1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式; (2)設(shè) bn=(+1)2,記 tn=-b1+b2-b3+b4-+(-1)nbn,求 tn. 分析:(1)已知等差數(shù)列an的公差 d,要求其通項(xiàng)公式,只需求首項(xiàng) a1即可,

18、由已知22=a1a4可求 a1.(2)由(1)中所求 an,可求 bn,由 tn的特點(diǎn),故考慮研究 bn+1-bn的通項(xiàng).又(-1)n表示各項(xiàng)的符號(hào),故需對(duì) n 的奇偶性進(jìn)行討論. 解:(1)由題意知(a1+d)2=a1(a1+3d), 即(a1+2)2=a1(a1+6), 解得 a1=2, 所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為 an=2n. (2)由題意知 bn=(+1)2=n(n+1), 所以 tn=-12+23-34+(-1)nn(n+1). 因?yàn)?bn+1-bn=2(n+1), 可得當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí), tn=(-b1+b2)+(-b3+b4)+(-bn-1+bn)=4+8+12+2n=2(4+2n

19、)2=(+2)2, 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí),tn=tn-1+(-bn)=(-1)(+1)2-n(n+1)=-(+1)22. 所以 tn=-(+1)22,n 為奇數(shù),(+2)2,n 為偶數(shù). 9 / 11 20.(本小題滿分 13 分)(2014 山東,文 20)設(shè)函數(shù) f(x)=aln x+-1+1,其中 a 為常數(shù). (1)若 a=0,求曲線 y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程; (2)討論函數(shù) f(x)的單調(diào)性. 分析:(1)由已知可求切點(diǎn)坐標(biāo),故只需利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率;則可求切線方程. (2)先求出函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù) f(x).通過判斷 f(x)的符號(hào)來求 f(x)的單調(diào)區(qū)

20、間.由于導(dǎo)數(shù)中含有參數(shù) a,所以要判斷其符號(hào),需要對(duì)參數(shù) a 進(jìn)行分類討論.同時(shí),應(yīng)注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子區(qū)間,故需在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性. 解:(1)由題意知當(dāng) a=0 時(shí),f(x)=-1+1,x(0,+). 此時(shí) f(x)=2(+1)2. 可得 f(1)=12,又 f(1)=0, 所以曲線 y=f(x)在(1,f(1)處的切線方程為 x-2y-1=0. (2)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?0,+). f(x)=+2(+1)2=2+(2a+2)x+a(+1)2. 當(dāng) a0 時(shí),f(x)0,函數(shù) f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增. 當(dāng) a0 時(shí),令 g(x)=ax2+(2a+2)x+a,

21、由于 =(2a+2)2-4a2=4(2a+1), 當(dāng) a=-12時(shí),=0,f(x)=-12(x-1)2(+1)20,函數(shù) f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減. 當(dāng) a-12時(shí),0,g(x)0,f(x)0,函數(shù) f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減. 當(dāng)-12a0. 設(shè) x1,x2(x10, 所以 x(0,x1)時(shí),g(x)0,f(x)0,f(x)0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞增, x(x2,+)時(shí),g(x)0,f(x)0,函數(shù) f(x)單調(diào)遞減. 綜上可得: 當(dāng) a0 時(shí),函數(shù) f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增; 當(dāng) a-12時(shí),函數(shù) f(x)在(0,+)上單調(diào)遞減; 10 / 11 當(dāng)-12ab0)的離心率為

22、32,直線y=x 被橢圓 c 截得的線段長(zhǎng)為4105. (1)求橢圓 c 的方程; (2)過原點(diǎn)的直線與橢圓 c 交于 a,b兩點(diǎn)(a,b不是橢圓 c 的頂點(diǎn)).點(diǎn) d 在橢圓 c 上,且 adab,直線 bd 與 x軸、y 軸分別交于 m,n 兩點(diǎn). 設(shè)直線 bd,am 的斜率分別為 k1,k2,證明存在常數(shù) 使得 k1=k2,并求出 的值; 求omn 面積的最大值. 分析:(1)要求橢圓方程,只需求 a,b,由 e=32可得2-2=32.又直線 y=x 被橢圓 c 截得的線段長(zhǎng)為4105,故聯(lián)立 y=x與22+22=1 求線段長(zhǎng),由線段長(zhǎng)等于4105,可得 a,b 的另一關(guān)系式,故可求 a,b,則橢圓方程可求. (2)要求 的值,需求 k1,k2,而直線 bd 的斜率 k1由 b,d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定,直線 am 的斜率 k2由 a,m 兩點(diǎn)的坐標(biāo)確定,且 a,b關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.m 點(diǎn)是直線 bd 與 x 軸的交點(diǎn),故本題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是 a,d,故只需設(shè)出 a,d 兩點(diǎn)坐標(biāo),將