河海大學(xué) 材料力學(xué) ppt 第三章扭 轉(zhuǎn)

1、扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 變變 形形 概述概述扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的切應(yīng)力 圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和超靜定問題圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和超靜定問題 扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的力學(xué)性質(zhì)扭轉(zhuǎn)時(shí)材料的力學(xué)性質(zhì)圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算圓桿扭轉(zhuǎn)時(shí)的強(qiáng)度和剛度計(jì)算 非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第三章第三章 扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 外力是外力是，作用在與桿軸線，作用在與桿軸線垂直的平面內(nèi)垂直的平面內(nèi) 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 所有橫截面繞桿軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，任所有橫截面繞桿軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，任意兩橫截面之間產(chǎn)生意兩橫截面之間產(chǎn)生 以扭轉(zhuǎn)以扭轉(zhuǎn)變形為主要變形的桿件稱為變形為主要變形的桿件稱為橫截面為橫截面為圓的扭轉(zhuǎn)桿件通常稱

2、為圓的扭轉(zhuǎn)桿件通常稱為一、扭矩的計(jì)算一、扭矩的計(jì)算扭轉(zhuǎn)軸扭轉(zhuǎn)軸橫截面上的橫截面上的內(nèi)力內(nèi)力 扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定：扭矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定： 按右手螺旋法則，四個(gè)手指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，按右手螺旋法則，四個(gè)手指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，大拇指大拇指橫截面為橫截面為，橫截面為橫截面為。Mx T二、扭矩圖二、扭矩圖 以以的坐標(biāo)軸為橫坐標(biāo)軸，其的坐標(biāo)軸為橫坐標(biāo)軸，其上各點(diǎn)表示橫上各點(diǎn)表示橫截面的位置；截面的位置； 的的扭矩扭矩畫在橫坐標(biāo)的畫在橫坐標(biāo)的，的畫在的畫在。 以以的的縱坐標(biāo)表示橫縱坐標(biāo)表示橫截面截面上扭矩的大小，上扭矩的大小， 畫出的圖畫出的圖線即為線即為。 例例1：已知：已知 TA2.3 kNm，TB1 kNm，T

3、C0.6 kNm，TD0.7 kNm，試畫扭矩圖。，試畫扭矩圖。解：解：BACDBBAD內(nèi)力按內(nèi)力按假設(shè)假設(shè)Mx（kNm）最大扭矩最大扭矩Mxmax1.3 kNm，發(fā)生在發(fā)生在 AC 段。段。BACDMx1TB1 kNmMx2TBTA1.3 kNmMx3TD0.7 kNmBACD 扭轉(zhuǎn)桿件某一扭轉(zhuǎn)桿件某一截面上的截面上的扭矩，等扭矩，等于于桿上桿上。外力偶矩矢外力偶矩矢該截面取該截面取， 該截面取該截面取。例例2：畫扭矩圖：畫扭矩圖。解：三個(gè)控制截面，分兩段研究。解：三個(gè)控制截面，分兩段研究。ABCMx（kNm）最大扭矩最大扭矩Mxmax2 kNm，發(fā)生在發(fā)生在 BC 段。段。 扭轉(zhuǎn)桿件上扭轉(zhuǎn)

4、桿件上作作用處用處，左、右，左、右截面上的截面上的有有，突變值就，突變值就等于等于該該集中集中外外力力偶偶矩矩的大小的大小。 與與 和和 的關(guān)系：的關(guān)系： n ( )T = 9.55P ( )( )三、三、傳動(dòng)軸外力偶矩的計(jì)算傳動(dòng)軸外力偶矩的計(jì)算 變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面，并如同變形前為平面的橫截面，變形后仍為平面，并如同剛片一樣繞桿軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。剛片一樣繞桿軸線作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。一、橫截面上的應(yīng)力一、橫截面上的應(yīng)力 ( ) = dd xq =dd x桿的桿的令令31(b、c) 扭轉(zhuǎn)桿件上扭轉(zhuǎn)桿件上作用處，左、作用處，左、右截面上的扭矩值有右截面上的扭矩值有，突變值就等于該，突變值就等

5、于該集中外力偶矩的大小。集中外力偶矩的大小。扭矩圖的特征：扭矩圖的特征：某段上某段上作用，扭矩為作用，扭矩為。 某段上某段上作用，扭矩作用，扭矩。 GG 材料常數(shù)材料常數(shù)在彈性范圍內(nèi)在彈性范圍內(nèi)剪切虎克定律剪切虎克定律 = Gdd x切應(yīng)力沿半徑切應(yīng)力沿半徑A d A= Mxdd x=MxG IpIp =A 2 d A截面的截面的 =Mx Ip圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的當(dāng)當(dāng) max 時(shí)，時(shí)， max max =MxWpWp = maxIp扭扭 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn) 截截 面面 系系 數(shù)數(shù) =Mx IpIp =A 2 d AWp = maxIpIp d 432Wp d 316Ip D 432( 1

6、 4 ) = d / D圓環(huán)截面圓環(huán)截面Wp D 316( 1 4 )薄壁圓環(huán)截面薄壁圓環(huán)截面 Ip 2r0 d3Wp 2r0 d2 例例1 1：直徑：直徑d100 mm的實(shí)心圓軸的實(shí)心圓軸，兩端受力偶兩端受力偶矩矩T10 kNm作用而扭轉(zhuǎn)作用而扭轉(zhuǎn)，求橫截面上的最大切應(yīng)求橫截面上的最大切應(yīng)力力。若改用內(nèi)若改用內(nèi)、外直徑比值為外直徑比值為0.5的空的空心圓軸心圓軸，且橫且橫截面面積和以上實(shí)心軸橫截面面積相等，問最大切截面面積和以上實(shí)心軸橫截面面積相等，問最大切應(yīng)力是多少？應(yīng)力是多少？ P5151 例例3-23-2圓截面上的最大切應(yīng)力比圓截面上的最大切應(yīng)力比圓截面上的小。圓截面上的小。從兩方面考

7、慮：從兩方面考慮： 解解163PdW 33)10100(1634m1096. 1PmaxWMx431096. 11010MPa0 .51Pa100 .516MPa2 .35PmaxWMx)(442122dDdA5 . 0/1Dd)1 (1643PDWmm5 .115Dmm8 .571d34m1084. 2返回返回ABCDABCD d xd yd z = 單單 元元 體體 過一點(diǎn)的過一點(diǎn)的的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必然必然，且數(shù)值，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩相等，兩者都垂直于兩個(gè)平面的交線，方向則個(gè)平面的交線，方向則或或這這一交線。一交線。的的扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角的的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角相對(duì)扭轉(zhuǎn)角G

8、Ip dd x=MxG Ip =Mx lG IpMx、G、Ip為為時(shí)時(shí) 例例2 2：圖示鉆桿橫截面直徑為：圖示鉆桿橫截面直徑為20 mm，旋旋轉(zhuǎn)時(shí)轉(zhuǎn)時(shí) BC 段受均勻分布的力偶矩段受均勻分布的力偶矩 m 作用，已作用，已 知使其轉(zhuǎn)動(dòng)的外力偶矩知使其轉(zhuǎn)動(dòng)的外力偶矩 T120 Nm，材料的切，材料的切 變模量變模量G80 GPa, ,求求鉆鉆 桿兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。桿兩端的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。ABC200100CxmT m BC 0M x m xmx （0，0.1 m） AB T ABG IP BC M x d xG IP00.1 AC AB + BC 0.0239 radABC200100TmMx (Nm

9、) 例：兩端固定的等截面圓桿例：兩端固定的等截面圓桿AB，在，在C 截面截面承受外力矩承受外力矩T 作用，試求兩端的約束力。作用，試求兩端的約束力。abABCabABCCABTATBT00CBACABP)(GIaTTBACPGIbTBCBMxbaTbTAbaTaTB0)(bTaTTBB33、7扭轉(zhuǎn)桿件橫截扭轉(zhuǎn)桿件橫截面上的面上的切應(yīng)力切應(yīng)力沿半徑沿半徑PIMxPmaxWMx兩截面的兩截面的PGIlMx橫截面上橫截面上 r0 l T2r0 d2 l r0 d02 r0r xMp ：S ：b ：試驗(yàn)試驗(yàn)和理論和理論：G E2 (1+n n )： u S ： u b（失效應(yīng)力、極限應(yīng)力）（失效應(yīng)力、

10、極限應(yīng)力）材料的材料的： un材料材料材料材料 塑性材料制成的桿件沿塑性材料制成的桿件沿被剪斷，脆性材料被剪斷，脆性材料制成的桿件在與軸線約成制成的桿件在與軸線約成45度的度的上發(fā)生斷裂。上發(fā)生斷裂。？max MxmaxWp q max MxmaxG Ipq 例例1：階梯軸受外力偶：階梯軸受外力偶作用，已知作用，已知 T1 = 4 kNm，T2 = 1.5 kNm，AB、BC段直徑分別為段直徑分別為 d175 mm和和 d260 mm ，容許切應(yīng)力，容許切應(yīng)力 60 MPa，容許單位，容許單位扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 q q 0.6 O/m ，切變模量，切變模量 G80 GPa，求：，求：校核軸的強(qiáng)度；校

11、核軸的強(qiáng)度； C 截面相對(duì)截面相對(duì) A 截面的扭轉(zhuǎn)角；截面的扭轉(zhuǎn)角； 校校核軸的剛度。核軸的剛度。800100ABC1.52.5Mx ( kNm )max Mx maxWpAB 段：段：max 30.2 MPaBC 段：段：max 35.4 MPa軸：軸：max 35.4 MPa 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 ！800100ABC Mx lGIp AB 8.0481103 rad 0.4611 BC 1. 4737103 rad 0.0844 AC AB BC 0.37671.52.5Mx ( kNm )800100ABCq MxGIp剛度條件剛度條件 ！1.52.5Mx ( kNm )800100ABC

12、AB 段：段：q AB 0.5764 / mBC 段：段：q BC 0.8443 / mq max 0.8443 / m q maxqqq7 .405 例例2：空心圓軸內(nèi)外徑之比：空心圓軸內(nèi)外徑之比 d :D1 : 2，受外力偶，受外力偶T=1.98 kNm 作用，材料的容許切應(yīng)力作用，材料的容許切應(yīng)力 =100 MPa，容許單位扭轉(zhuǎn)角容許單位扭轉(zhuǎn)角 q q 2 / m，切變模量，切變模量 G80 GPa，試設(shè)計(jì)軸的直徑。試設(shè)計(jì)軸的直徑。343P25615)1(16DDW444P51215)1(32DDID47.6 mm d 23.8 mmD52.7 mmd 26.35 mm D52.7 mm

13、 d 26.35 mm 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持平面而非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面不再保持平面而發(fā)生發(fā)生。 若橫截面的翹曲受到限制，則橫截面上存在和。 若橫截面的翹曲沒受到限制，則橫截面上只存在 。 可忽略不計(jì)；可忽略不計(jì)； 不能忽略。不能忽略。約束扭轉(zhuǎn)問題中：約束扭轉(zhuǎn)問題中：薄壁結(jié)構(gòu)力學(xué)薄壁結(jié)構(gòu)力學(xué)自自由由扭扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)橫截面橫截面各點(diǎn)處的切應(yīng)力各點(diǎn)處的切應(yīng)力于周邊。于周邊。切應(yīng)力為零。切應(yīng)力為零。 最大切應(yīng)力最大切應(yīng)力max 發(fā)生在截面發(fā)生在截面，而，而處的切應(yīng)力處的切應(yīng)力1也有相也有相當(dāng)大的數(shù)值。當(dāng)大的數(shù)值。max MxWTq MxG IT1 maxWT b3 ， IT bb4、b、 與與

14、 m = hb有關(guān)有關(guān)P59 表表3-13-1q 3 MxG hb3截面截面（m 10） = b m / 3WT h b2 / 3max 3 Mxh b2IT hb3 / 3312、15 截面桿、截面桿、截面桿截面桿開口薄壁橫截面開口薄壁橫截面若干若干矩形截面組成矩形截面組成 Mx：橫截面上的總扭矩，：橫截面上的總扭矩，Mx i：第：第 i 個(gè)個(gè)狹長(zhǎng)矩形截面上的扭矩。狹長(zhǎng)矩形截面上的扭矩。 扭轉(zhuǎn)后，開口薄壁截面桿扭轉(zhuǎn)后，開口薄壁截面桿的橫截面雖然翹曲，但橫截面的橫截面雖然翹曲，但橫截面的的在其變形前平面上在其變形前平面上的的。試驗(yàn)觀察試驗(yàn)觀察Mx i ？剛周邊假設(shè)剛周邊假設(shè)q=q1=q2 =qnixiiGIMTqTGIMxqixxiIIMMTTixIIMTTiIITTixIIMTTxixMMmax3max31ddiixhM331iix