空氣動力學(xué)基礎(chǔ)--環(huán)量與渦

1、空氣動力學(xué)基礎(chǔ)空氣動力學(xué)基礎(chǔ)沈陽航空航天大學(xué)航空航天工程學(xué)院飛機設(shè)計教研室2014年3月2.1 2.1 描述流體運動的方法描述流體運動的方法2.2 2.2 流體微團(tuán)運動的分析流體微團(tuán)運動的分析2.3 2.3 理想流體運動微分方程組理想流體運動微分方程組2.3.1 2.3.1 連續(xù)方程連續(xù)方程2.3.2 Euler2.3.2 Euler運動微分方程組運動微分方程組 2.3.3 Bernoulli2.3.3 Bernoulli積分及其物理意義積分及其物理意義2.3.4 Bernoulli2.3.4 Bernoulli方程的應(yīng)用方程的應(yīng)用2.4 2.4 流體運動積分方程組流體運動積分方程組 2.4.

2、1 Lagrange2.4.1 Lagrange型積分方程型積分方程2.4.2 Reynolds2.4.2 Reynolds輸運方程輸運方程2.4.3 Euler2.4.3 Euler型積分方程型積分方程 2.5 2.5 環(huán)量與渦環(huán)量與渦 2.4.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念研究流動的問題，還有兩面?zhèn)€極重要的概念，一研究流動的問題，還有兩面?zhèn)€極重要的概念，一個叫個叫環(huán)量環(huán)量，一個叫做，一個叫做渦渦。l速度環(huán)量：速度環(huán)量：在流場中任取一條在流場中任取一條封閉曲線封閉曲線，速度速度沿該沿該封閉曲線的封閉曲線的線積分線積分稱為該封閉曲線的稱為該封閉曲線的速度環(huán)量速度環(huán)量。速度環(huán)量速度環(huán)量的符號決

3、定于的符號決定于流場的速度方向和流場的速度方向和繞行方向繞行方向規(guī)定積分時規(guī)定積分時逆時針繞行方向為正逆時針繞行方向為正，即封閉曲線所包圍的，即封閉曲線所包圍的區(qū)域總在區(qū)域總在行進(jìn)方向的左側(cè)行進(jìn)方向的左側(cè)。如果把一個速度向量分成三個如果把一個速度向量分成三個坐標(biāo)軸方向的三個分量坐標(biāo)軸方向的三個分量u,v,w ,把線段把線段ds也分解成也分解成dx, dy, dz 三三個方向的三個線段，有：個方向的三個線段，有：wdzvdyudxsdVLLdsVsdVcos(a) 沿曲線AB作速度的線積分(b) 沿閉曲線速度的線積分 于是環(huán)量表達(dá)式為：于是環(huán)量表達(dá)式為：Lwdzvdyudx)( 2.5.1 環(huán)量

4、與渦的概念環(huán)量與渦的概念如果流動是無旋的，如果流動是無旋的， 存在位函數(shù)存在位函數(shù)， 那末上式那末上式中的中的 u ,v ,w 都可以用都可以用 的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)：的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)： zwyvxu 說明在說明在無旋無旋流動中，沿著任意一條封閉曲線的速度環(huán)流動中，沿著任意一條封閉曲線的速度環(huán)量均等于零。但是對有旋流動，上述結(jié)論并不成立，量均等于零。但是對有旋流動，上述結(jié)論并不成立，繞任意一條封閉曲線的速度環(huán)量一般不等于零。繞任意一條封閉曲線的速度環(huán)量一般不等于零。0)(LLLddzzdyydxxsdV 2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念在三維流里，流體微團(tuán)可以有三個方向的角速度在三維流里，流體微團(tuán)

5、可以有三個方向的角速度 x ,y ,z ,三者合為一個合角速度是：三者合為一個合角速度是：旋轉(zhuǎn)軸線都按右手定則確定。合角速度是個向量，旋轉(zhuǎn)軸線都按右手定則確定。合角速度是個向量，它的三個方向余弦是它的三個方向余弦是x/,y/ ,z/。 kjizyx222zyxVVrot2渦量可寫為：渦量概念渦量概念 是指流場中任何一點微團(tuán)角速度之二倍，是指流場中任何一點微團(tuán)角速度之二倍，如平面問題中的如平面問題中的2z ， 稱為渦量，渦量是個純運稱為渦量，渦量是個純運動學(xué)的概念。動學(xué)的概念。 2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念像流線一樣，在同一瞬時，如在流場中有一條曲像流線一樣，在同一瞬時，如在流場中有

6、一條曲線，該線上每一點的渦軸線都與曲線相切，這條線，該線上每一點的渦軸線都與曲線相切，這條曲線叫曲線叫渦線渦線。渦線的微分方程是（給定時刻，。渦線的微分方程是（給定時刻，t為參量）：為參量）：zyxdzdydx渦線給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）給定瞬間，通過某一曲線（本身不是渦線）的所有渦線構(gòu)成的曲面稱為的所有渦線構(gòu)成的曲面稱為渦面渦面。由封閉渦面組成的管狀渦面稱為由封閉渦面組成的管狀渦面稱為渦管渦管。渦面渦管 2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念SzdS2渦量在一個截面上的面積分稱為渦通量，在平面渦量在一個截面上的面積分稱為渦通量，在平面問題中，渦通量就是：問題中，渦通量就是：在

7、三維空間問題中，在三維空間問題中，渦通量就是：渦通量就是：SSdSSdcos22式中的式中的S S 是任意形狀空間曲面，是任意形狀空間曲面，是曲面上微面積是曲面上微面積 dS dS 的法線和的法線和的軸線之間的夾角。的軸線之間的夾角。ndS空間問題的渦通量zSdS平面問題的渦通量渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強度渦線是截面積趨于零的渦管。渦線和渦管的強度都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環(huán)量。都定義為繞渦線或渦管的一條封閉圍線的環(huán)量。 2.5.1 2.5.1 環(huán)量與渦的概念環(huán)量與渦的概念在有旋流動中，速度環(huán)量與渦量存在著十分密切在有旋流動中，速度環(huán)量與渦量存在著十分密切的聯(lián)系。為說明

8、這個聯(lián)系，首先考察二維流場。的聯(lián)系。為說明這個聯(lián)系，首先考察二維流場。 2.5.2 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系在二維流場中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線在二維流場中，任取封閉曲線，然后把該封閉曲線所圍成的面積用兩組坐標(biāo)的平行線分割成一系列微所圍成的面積用兩組坐標(biāo)的平行線分割成一系列微小面積，做每一塊微小面積的速度環(huán)量并求和，得小面積，做每一塊微小面積的速度環(huán)量并求和，得到總的速度環(huán)量。對于微元到總的速度環(huán)量。對于微元ABCDABCD，速度環(huán)量為，速度環(huán)量為dxdydxdyyuxvdydyyvvdxdxxudyyuudydyyvdxxvvdxdxxuusdVdzABCDA2

9、22 22 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系繞整個封閉曲線的速度環(huán)量為（上圖中微元矩形繞整個封閉曲線的速度環(huán)量為（上圖中微元矩形塊的重合部分做線積分時因正負(fù)號相反而相消）塊的重合部分做線積分時因正負(fù)號相反而相消）上式即為二維問題中的格林公式。上式即為二維問題中的格林公式。dSdSyuxvvdyudxsdVszLsL2)()(表明：表明：沿平面上一封閉圍線沿平面上一封閉圍線 l l 做速度的線積分，所做速度的線積分，所得的環(huán)量等于曲線所圍面積上每個微團(tuán)角速度的得的環(huán)量等于曲線所圍面積上每個微團(tuán)角速度的2 2倍倍乘以微團(tuán)面積之和，即等于通過面積乘以微團(tuán)面積之和，即等于通過面積S S的渦

10、通量的渦通量。 2.5.2 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系如果圍線內(nèi)沒有渦通量，那末沿圍線的環(huán)量必是如果圍線內(nèi)沒有渦通量，那末沿圍線的環(huán)量必是零。如果把圍線放大一些，盡管面積放大了，但零。如果把圍線放大一些，盡管面積放大了，但只要包進(jìn)去的面積里沒有渦通量，那么環(huán)量值并只要包進(jìn)去的面積里沒有渦通量，那么環(huán)量值并不會改變。沿任何圍線只要速度環(huán)量等于零，就不會改變。沿任何圍線只要速度環(huán)量等于零，就說明圍線內(nèi)無渦通量。說明圍線內(nèi)無渦通量。推廣到三維空間中的封閉曲線推廣到三維空間中的封閉曲線L L上，計算的速度環(huán)上，計算的速度環(huán)量仍等于二倍角速度乘圍線所包的面積，但這面量仍等于二倍角速度乘

11、圍線所包的面積，但這面積應(yīng)取其在與渦線相垂直的平面上的投影值。沿積應(yīng)取其在與渦線相垂直的平面上的投影值。沿一塊有限大的曲面一塊有限大的曲面 S S 的圍線的圍線 L L的環(huán)量仍等于的環(huán)量仍等于 S S 面上各點的二倍角速度與面積面上各點的二倍角速度與面積 點積：點積：Sd 2.5.2 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系SSLSdVrotSdsdV2dSznyuxvynxwzuxnzvywwdzvdyudxsL),cos()(),cos()(),cos()()(dxdyyuxvdzdxxwzudydzzvywS)()()(展開即：展開即： 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系其

12、實這就是是其實這就是是斯托克斯公式斯托克斯公式，描述曲線積分與曲面，描述曲線積分與曲面積分之間的關(guān)系。積分之間的關(guān)系。三維流中環(huán)量與渦的關(guān)系 nv表明：表明：沿空間封閉曲線沿空間封閉曲線 L 的環(huán)量，等于穿過張在的環(huán)量，等于穿過張在L上任意曲面上任意曲面 S上的渦通量上的渦通量，渦通量的數(shù)值與所張，渦通量的數(shù)值與所張的曲面形狀無關(guān)，只跟圍線所包含的渦量有關(guān)，的曲面形狀無關(guān)，只跟圍線所包含的渦量有關(guān)，無旋時渦通量為零從而沿封閉曲線的速度環(huán)量也無旋時渦通量為零從而沿封閉曲線的速度環(huán)量也為零。為零。對于無旋流動還有：對于無旋流動還有：說明位函數(shù)差的意義是沿線段的速度線積分。說明位函數(shù)差的意義是沿線段

13、的速度線積分。BAABwdzvdyudx)( 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系一條強度為一條強度為 的渦線的一段的渦線的一段 dS 對線外的一點對線外的一點P會會產(chǎn)生一個誘導(dǎo)速度，情況正像電流會產(chǎn)生磁力的產(chǎn)生一個誘導(dǎo)速度，情況正像電流會產(chǎn)生磁力的一樣。表達(dá)渦段所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度的公式是：一樣。表達(dá)渦段所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度的公式是：sin42rdsdV 渦與誘導(dǎo)速度 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系這個這個 dV 是一個垂直于線段是一個垂直于線段 dS 與受擾點與受擾點P所組成所組成的平面的速度（如圖），其值正比于渦強的平面的速度（如圖），其值正比于渦強 和渦和渦段長度段長度d

14、S，但反比于距離但反比于距離 r 的平方，另外還要乘的平方，另外還要乘上上 r 與與 ds 的夾角的的夾角的 的正弦。這個公式在形式的正弦。這個公式在形式上和電磁學(xué)的電磁感應(yīng)的比奧上和電磁學(xué)的電磁感應(yīng)的比奧薩瓦公式一樣，薩瓦公式一樣，仍叫仍叫比奧比奧薩瓦薩瓦公式。公式?；颍夯颍?4rrSdVd 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系現(xiàn)在把一條強度為現(xiàn)在把一條強度為的直渦線對線外一點所產(chǎn)生的直渦線對線外一點所產(chǎn)生的誘導(dǎo)速度寫一下。參看下圖。的誘導(dǎo)速度寫一下。參看下圖。AB是渦線，是渦線，P為為線外一點，線外一點，P到到AB的距離是的距離是h。令任意微段。令任意微段 ds 與與P的連線和的連

15、線和AB垂線垂線PN之間夾角為之間夾角為，則則 直線渦的誘導(dǎo)速度ds2()secdsd h tghddhdVcos4cos)sin(sincoshPSr 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系ds再令再令PA與與AB的夾角為的夾角為；PB與與BA的夾角為的夾角為。上。上式積分，式積分， 由由 到到 得：得：22)cos(cos4hV這個誘導(dǎo)速度是垂直于紙面的，按圖示這個誘導(dǎo)速度是垂直于紙面的，按圖示的方向，的方向，它向外指。如果渦線一頭是無限長的，那就有：它向外指。如果渦線一頭是無限長的，那就有：)cos1 (4hV 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系如果渦線是半無限長，且如果

16、渦線是半無限長，且P點至渦線之垂直足點至渦線之垂直足N與與渦線的一端重合，則：渦線的一端重合，則： hV4如果渦線兩頭都伸展到無限遠(yuǎn)，則：如果渦線兩頭都伸展到無限遠(yuǎn)，則：hV2渦線和環(huán)量的概念在空氣動力學(xué)中十分重要。凡渦線和環(huán)量的概念在空氣動力學(xué)中十分重要。凡是升力的問題都和渦及環(huán)量有關(guān)。是升力的問題都和渦及環(huán)量有關(guān)。 2.5.2 環(huán)量與渦量的關(guān)系環(huán)量與渦量的關(guān)系2.5.3 理想流中的渦定理理想流中的渦定理描述理想流體中的渦線或渦管有三條定理：描述理想流體中的渦線或渦管有三條定理：定理定理1 沿渦線或渦管渦強不變沿渦線或渦管渦強不變。見圖，在渦管上兩條圍線見圖，在渦管上兩條圍線PQR和和PQR

17、作兩條重合的連線作兩條重合的連線PP和和RR,沿沿PPQRRQP 這樣一條圍線計算環(huán)量，由于所張曲面就是原這樣一條圍線計算環(huán)量，由于所張曲面就是原來渦管的一部分，沒有渦線穿過，故總的環(huán)量為零：來渦管的一部分，沒有渦線穿過，故總的環(huán)量為零：0PQRRRPQRPPPQPQRRPRRPPRQPPQR得：得：RQPPQR這就是說沿渦管任何地方計算它的環(huán)量（渦強）其值都是相同這就是說沿渦管任何地方計算它的環(huán)量（渦強）其值都是相同的。這條定理稱為海姆霍茲第一定理，或簡稱第一渦定理。的。這條定理稱為海姆霍茲第一定理，或簡稱第一渦定理。渦管強度守恒（左圖）和渦管可能存在的形式（右圖）定理定理1的推廣：的推廣：

18、 一根渦管在流體里不可能中斷，一根渦管在流體里不可能中斷，可以伸展到無限遠(yuǎn)去，可以自相連接成一個渦環(huán)可以伸展到無限遠(yuǎn)去，可以自相連接成一個渦環(huán)（不一定是圓環(huán)），也可以止于邊界，固體的邊（不一定是圓環(huán)），也可以止于邊界，固體的邊界或自由邊界（如自由液面）界或自由邊界（如自由液面）。這條定理可以用第一定理的結(jié)論推演而得這條定理可以用第一定理的結(jié)論推演而得到證明。第一定理說，渦強沿渦管不變。到證明。第一定理說，渦強沿渦管不變。如果渦管到某處突然中止了，那末渦強也如果渦管到某處突然中止了，那末渦強也就應(yīng)該隨之變?yōu)榱?，而這是違反第一定理就應(yīng)該隨之變?yōu)榱悖@是違反第一定理的，所以是不可能的。的，所以是不

19、可能的。 2.5.3 理想流中的渦定理理想流中的渦定理此定理稱為海姆霍茲第二定理，或簡稱第二渦定理。此定理稱為海姆霍茲第二定理，或簡稱第二渦定理。上述渦管的三種存在形式，都有實際的例子。吸香煙的人上述渦管的三種存在形式，都有實際的例子。吸香煙的人會吐出煙圈來，煙圈是一種自相連接的渦環(huán)。三維機翼上會吐出煙圈來，煙圈是一種自相連接的渦環(huán)。三維機翼上的渦線（與翼展同向的）在左右兩端折轉(zhuǎn)向后，成為尾渦，的渦線（與翼展同向的）在左右兩端折轉(zhuǎn)向后，成為尾渦，向后伸展到無限遠(yuǎn)的后方去。在二維風(fēng)洞中做機翼的實驗向后伸展到無限遠(yuǎn)的后方去。在二維風(fēng)洞中做機翼的實驗時，機翼上的渦線（翼展方向的）止于兩側(cè)的洞壁。時，

20、機翼上的渦線（翼展方向的）止于兩側(cè)的洞壁。l渦線保持定理：渦線保持定理：在某時刻構(gòu)成渦線和渦管的流體在某時刻構(gòu)成渦線和渦管的流體質(zhì)點，在以后運動過程中仍將構(gòu)成渦線和渦管。質(zhì)點，在以后運動過程中仍將構(gòu)成渦線和渦管。l渦線和渦管隨著構(gòu)成它的流體質(zhì)點一起運動渦線和渦管隨著構(gòu)成它的流體質(zhì)點一起運動2.5.3 理想流中的渦定理理想流中的渦定理定理定理3 在理想流中，渦的強度不隨時間變化，既在理想流中，渦的強度不隨時間變化，既不會增強，也不會削弱或消失。不會增強，也不會削弱或消失。 實際流體都是有粘性的，渦強是會隨時間變化實際流體都是有粘性的，渦強是會隨時間變化的。不過空氣的粘性很小，機翼上的渦隨著氣流流

21、的。不過空氣的粘性很小，機翼上的渦隨著氣流流下去，離機翼很遠(yuǎn)之后它對機翼的作用就趨于零了，下去，離機翼很遠(yuǎn)之后它對機翼的作用就趨于零了，而在離機翼不太遠(yuǎn)的范圍內(nèi)，粘性使渦強的衰減并而在離機翼不太遠(yuǎn)的范圍內(nèi)，粘性使渦強的衰減并不很顯著，所以計算渦對機翼的作用時，可以不必不很顯著，所以計算渦對機翼的作用時，可以不必考慮粘性的衰減作用，當(dāng)作它在理想流中強度不衰考慮粘性的衰減作用，當(dāng)作它在理想流中強度不衰減去處理就行了。減去處理就行了。2.5.3 理想流中的渦定理理想流中的渦定理本章基本要求本章基本要求了解兩種描述流場的方法的區(qū)別與特點，重點掌握了解兩種描述流場的方法的區(qū)別與特點，重點掌握Euler法

22、下加法下加速度的表達(dá)和意義速度的表達(dá)和意義掌握流體微團(tuán)的幾種變形和運動及其數(shù)學(xué)表達(dá)，掌握流體微團(tuán)的掌握流體微團(tuán)的幾種變形和運動及其數(shù)學(xué)表達(dá)，掌握流體微團(tuán)的運動分解與剛體運動的異同；運動分解與剛體運動的異同；了解系統(tǒng)分析方法與控制體分析方法的區(qū)別與聯(lián)系，掌握了解系統(tǒng)分析方法與控制體分析方法的區(qū)別與聯(lián)系，掌握Reynolds輸運方程的表達(dá)及意義；輸運方程的表達(dá)及意義； 空氣動力學(xué)基本方程是本章重點，積分形式方程要掌握質(zhì)量方程空氣動力學(xué)基本方程是本章重點，積分形式方程要掌握質(zhì)量方程、動量方程和能量方程的表達(dá)和意義，并會用它們解決實際工程、動量方程和能量方程的表達(dá)和意義，并會用它們解決實際工程問題；微

23、分形式方程要重點掌握連續(xù)方程、問題；微分形式方程要重點掌握連續(xù)方程、Euler方程和能量方方程和能量方程的表達(dá)和意義；掌握微元控制體分析方法；掌握程的表達(dá)和意義；掌握微元控制體分析方法；掌握Bernoulli方程方程的表達(dá)、意義、條件和應(yīng)用；的表達(dá)、意義、條件和應(yīng)用；重點需要掌握的概念：流線、流量、散度、旋度、位函數(shù)、流函重點需要掌握的概念：流線、流量、散度、旋度、位函數(shù)、流函數(shù)、環(huán)量與渦的表達(dá)、意義及其相互之間的關(guān)系；數(shù)、環(huán)量與渦的表達(dá)、意義及其相互之間的關(guān)系；小測驗（小測驗（1010分鐘）分鐘）1.寫出Euler法中三個方向加速度的表達(dá)，并說明各項的意義。2.分別寫出積分形式的質(zhì)量方程和動

24、量方程，并說明方程的物理意義和應(yīng)用條件。3.寫出Bernoulli方程并說明其應(yīng)用條件。4.問下面的流動能否代表一平面定常不可壓縮流動？如能夠代表，試求該流動的：變形率和角速度，該流動是否有位函數(shù)？如有則求出。又流函數(shù)為何？xvyu,解答：1.右端第一項為當(dāng)?shù)丶铀俣?，由流場的不定常性引起，第二項為遷移加速度，由流場的空間不均勻性引起，遷移加速度中的任何一項都是速度分量與同一方向的導(dǎo)數(shù)之乘積，因此只有上述兩項都不為零才可能存在遷移加速度。0)(dsnVdts.,zuwyuvxuutuDtDu2. 積分形式的質(zhì)量方程為：積分形式的質(zhì)量方程為：其意義是：其意義是：控制體中質(zhì)量的增加率等于凈流入控制面

25、的質(zhì)量流量?？刂企w中質(zhì)量的增加率等于凈流入控制面的質(zhì)量流量。應(yīng)用條件：應(yīng)用條件：積分形式的質(zhì)量方程描述流體應(yīng)滿足的運動學(xué)關(guān)系，與流積分形式的質(zhì)量方程描述流體應(yīng)滿足的運動學(xué)關(guān)系，與流體是否受力，是否有粘性，是否可壓均無關(guān)，它描述控制體中及其控體是否受力，是否有粘性，是否可壓均無關(guān)，它描述控制體中及其控制面上的關(guān)系，并且允許控制體包含流動不連續(xù)的區(qū)域。制面上的關(guān)系，并且允許控制體包含流動不連續(xù)的區(qū)域。積分形式的動量方程為：dsVVdVtFsndsVuudtFdfdsxnpsnsxxs),cos(其意義為：其意義為：控制體中流體所受合外力等于控制體中流體動量的增加率控制體中流體所受合外力等于控制體中流體動量的增加率加上凈流出控制面的動量流量。加上凈流出控制面的動量流量。上述形式的動量方程常常運用于第一類控制體（即內(nèi)流