正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì) (2)ppt課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 一、區(qū)間估計(jì)的概念一、區(qū)間估計(jì)的概念 假設(shè) 是未知參數(shù) 的一個(gè)點(diǎn)估計(jì),那么一旦獲得樣本值 ,估計(jì)值 就給出了一個(gè)確定的數(shù),這個(gè)數(shù)給我們一個(gè)關(guān)于該參數(shù)的明確的數(shù)量概念.但是,我們必需留意到,點(diǎn)估計(jì)值只是 的一個(gè)近似值,它本身并沒(méi)有反映這種近似值的精度,也就是說(shuō)它并沒(méi)有給出近似值的誤差范圍.),(21nXXX nxxx,21),(21nxxx 更進(jìn)一步的更進(jìn)一步的, , 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中僅僅知道誤差范圍在數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中僅僅知道誤差范圍 也是不夠的也是不夠的, ,由于樣本的隨機(jī)性由于樣本的隨機(jī)性, ,這個(gè)誤差這個(gè)誤差范圍是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間范圍是一個(gè)隨機(jī)區(qū)間, ,于是就連它能否包含于是就連它能否

2、包含 的真值都的真值都成了疑問(wèn)成了疑問(wèn). .因此因此, ,我們還必需建立一種統(tǒng)計(jì)推斷的方法我們還必需建立一種統(tǒng)計(jì)推斷的方法, ,希望經(jīng)過(guò)它能確定這個(gè)區(qū)間包含希望經(jīng)過(guò)它能確定這個(gè)區(qū)間包含 真值的概率真值的概率. . ),( 為了彌補(bǔ)點(diǎn)估計(jì)的缺乏,本節(jié)討論區(qū)間估計(jì)的概念. 區(qū)間估計(jì)是一種重要的統(tǒng)計(jì)推斷方法, 它是由奈曼(J.Neyman)在1934年開(kāi)場(chǎng)的一系列任務(wù)中引入的,這種思想從確立之日起就引起了眾多統(tǒng)計(jì)學(xué)家的注重. 點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)估計(jì)是用一個(gè)點(diǎn)( (即一個(gè)數(shù)即一個(gè)數(shù)) )去估計(jì)未知參數(shù)，去估計(jì)未知參數(shù)，而區(qū)間估計(jì)，就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知參數(shù)而區(qū)間估計(jì)，就是用一個(gè)區(qū)間去估計(jì)未知參數(shù).

3、. ，），（nxxx2111 ，），（nxxx2122 ,1)(21 P使使.,21和和置置信信上上限限分分別別稱(chēng)稱(chēng)為為置置信信下下限限 置信區(qū)間的含義置信區(qū)間的含義: :固定樣本容量固定樣本容量n,n,然后進(jìn)展多次然后進(jìn)展多次抽樣抽樣, ,每次抽樣得到一個(gè)區(qū)間每次抽樣得到一個(gè)區(qū)間, , 由大數(shù)定律由大數(shù)定律, ,當(dāng)抽樣的當(dāng)抽樣的次數(shù)足夠多時(shí)次數(shù)足夠多時(shí), ,包含包含 的真值的區(qū)間大約的真值的區(qū)間大約占占 . . 即我們能以概率即我們能以概率 的可信程度保證的可信程度保證, , 由樣本值代入由樣本值代入 中所得的區(qū)間包含中所得的區(qū)間包含 的真值的真值. . )%1(100 )1( ),(21

4、區(qū)間區(qū)間.那么稱(chēng)區(qū)間那么稱(chēng)區(qū)間 為為 的的 ,21 1置信程度為置信程度為的的置信置信定義定義，給給定定是是總總體體的的一一個(gè)個(gè)未未知知參參數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)10 , 確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量尋覓未知參數(shù)尋覓未知參數(shù)的置信區(qū)間的根本步驟：的置信區(qū)間的根本步驟：(1)(1)選取一個(gè)樣本的函數(shù)選取一個(gè)樣本的函數(shù) ，);,(21 nXXXZZ (2)(2)對(duì)于給定的置信度對(duì)于給定的置信度 , , 定出常定出常數(shù)數(shù) , , 使得使得 1ba,， 1);,(1bXXZaPn普通利用普通利用);,(21 nZXXZZ 所服從分布的分位數(shù)所服從分布的分位數(shù)它只含待估參數(shù)它只含待估參數(shù) , ,而不含其他未知參數(shù)而不

5、含其他未知參數(shù), ,它的分布知且它的分布知且不依賴于任何未知參數(shù)不依賴于任何未知參數(shù)( (當(dāng)然也不包含參數(shù)當(dāng)然也不包含參數(shù) 本身本身) )； 來(lái)確定；來(lái)確定；(3)(3)利用不等式變形利用不等式變形, , 求得未知參數(shù)求得未知參數(shù) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間, , 假設(shè)假設(shè) bXXZan );,(1 ),(),( 1211nnXXXX 那么區(qū)那么區(qū)間間)(21 ，即為所求置信區(qū)間即為所求置信區(qū)間.二、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)二、正態(tài)總體均值的區(qū)間估計(jì)1. 1. 知時(shí)知時(shí) 的區(qū)間估計(jì)的區(qū)間估計(jì)2 此時(shí)選取樣本的函數(shù)為此時(shí)選取樣本的函數(shù)為nXU/ ，)1 , 0( N為什么為什么這樣??？這樣?。?1 對(duì)給

6、定的置信程度對(duì)給定的置信程度按規(guī)范正態(tài)分布的按規(guī)范正態(tài)分布的 程度雙側(cè)分位數(shù)的定義程度雙側(cè)分位數(shù)的定義, ,查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得,2 u).,(2 NX服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布設(shè)設(shè)總總體體nuXnuXunX 2/2/2/ |/| ， 1| 2unXPnXU/ ，)1 , 0( N，),(22nuXnuX 于是所求于是所求 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 有時(shí)簡(jiǎn)記為有時(shí)簡(jiǎn)記為. )(2/nuX 1. 1. 知時(shí)知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2 xO)(x 2/ u2/ 12/ 2/ u 例例1 1解解( (1 1) ) 估估計(jì)計(jì)這這批批滾滾珠珠的的直直徑徑均均值值 ； )05. 0( ( (1 1

7、) ) 06.15 x， (2) (2) 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 , ) , (2/2/nuXnuX ,05. 0 ,96. 12/ u所以所以 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 )605. 096. 106.15( . )24.15 , 88.14( ，),(22nuXnuX 注注xO)(x 2/ u2/ 12/ 2/ u 解解 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 , ) , (2/2/nuXnuX ,05. 0 ,96. 12/ u所所以以 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 例例2 2 對(duì)對(duì)5050名大學(xué)生的午餐費(fèi)進(jìn)展調(diào)查名大學(xué)生的午餐費(fèi)進(jìn)展調(diào)查, ,得樣本均值為得樣本均值為4.104.10元元, ,假設(shè)總體的規(guī)

8、范差為假設(shè)總體的規(guī)范差為1.751.75元元, , 求大學(xué)生的午求大學(xué)生的午餐費(fèi)餐費(fèi) 的的0.950.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間. .,49. 05075. 196. 196. 1 n .59. 4,61. 349. 010. 4,49. 010. 4）（）（ ., 5 . 195. 0, 求樣本容量求樣本容量的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度的置信區(qū)間的置信區(qū)間的置信水平是的置信水平是為使為使在上例中在上例中 L 解解例例3 3,75. 1,96. 105. 0025. 0 u，,5 . 175. 196. 12 nL.219 .20)5 . 175. 196. 12(2 n，如如取取1 . 0 ,41. 0507

9、5. 164. 164. 1 n ,64. 12/ u置信區(qū)間的長(zhǎng)度是置信區(qū)間的長(zhǎng)度是0.82, 0.82, 比較短比較短. .在在通通常常情情況況下下, ,2 都都是是未未知知的的. . 利利用用樣樣本本方方差差2S代代替替2 ， 上一章已證得上一章已證得 , )1(/ ntnSXT 由由給給定定的的 , ,查查表表得得分分位位數(shù)數(shù))1(2/ nt , ,使使 .1) 1(|/|2/ ntnSXP2. 2. 未知時(shí)未知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2 ).,(2 NX服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布設(shè)設(shè)總總體體xO)1(2/ nt 2/ 12/ )1(2/ nt 即即得得 的的置置信信概概率率為為 1的的

10、置置信信區(qū)區(qū)間間為為 )1( , )1(2/2/nSntXnSntX 注注有時(shí)簡(jiǎn)記為有時(shí)簡(jiǎn)記為.)1(2/ ntnSX 1) 1(|/|2/ntnSXP例例4 4解解,516. 5 X,07765. 0 S,05. 0 .7764. 2)4(2/ t所所以以 的的 9 95 5% %的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 ) )1(2/nSntX ) 507765. 07764. 2516. 5( . )612. 5 , 420. 5( 三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)三、正態(tài)總體方差的區(qū)間估計(jì)).,(2 NX服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布設(shè)設(shè)總總體體思索隨機(jī)變量思索隨機(jī)變量 )1()1(222 nSnW xO2/ )

11、(xf) 1(22/ n ) 1(22/1 n 2/ , )1( 2211 n 記記,1 21 WP則則, )1(222 n ，即即 1)1()1( 12222SnSnP得得2 的的置置信信度度為為 1的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 ).) 1(,) 1(1222 SnSn 測(cè)測(cè)得得重重量量分分別別為為袋袋隨隨機(jī)機(jī)抽抽查查其其重重量量服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布，粉粉某某自自動(dòng)動(dòng)包包裝裝機(jī)機(jī)包包裝裝洗洗衣衣,12, 9999981002996100010041000999997100310041001).05. 0( 準(zhǔn)準(zhǔn)差差的的置置信信區(qū)區(qū)間間求求這這批批洗洗衣衣粉粉重重量量的的標(biāo)標(biāo),816. 311

12、2975. 0 ）（ ,92.21112025. 0 ）（ ,25.76) 1(2 Sn 816. 325.76,92.2125.76 )1()1(,)1()1(22/1222/2nSnnSn . )98.19,48. 3( . )47. 4 ,87. 1(95. 0的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為的的所以所以95. 02 例例5 5解解* *四、兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)四、兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)下面引見(jiàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì)下面引見(jiàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值差和方差比的區(qū)間估計(jì). . 分分別別抽抽取取樣樣本本),(121nXXX

13、和和),(221nYYY， 各各自自的的樣樣本本均均值值和和樣樣本本方方差差分分別別記記為為,YX.,22YXSS 1. 1. 與與 知時(shí)知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間21 22 21 由上一章知，由上一章知， )1 , 0()()(22212121NnnYXU 1. 1. 與與 知時(shí)知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間21 22 21 由上一章知，由上一章知， )1 , 0()()(22212121NnnYXU 所以所以21 的置信水平為的置信水平為 1的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 ),(2221212/2221212/nnuYXnnuYX 2. 2. 未知時(shí)未知時(shí) 的置信區(qū)間的置信區(qū)間22221 21 由上

14、一章知，由上一章知， 所以所以21 的置信水平為的置信水平為 1的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 )2(11)(212121 nntnnSYXTw）（ 其中其中.2)1()1(2122212 nnSnSnSYXw 21212/11)2(nnSnntYXw 例例6 6 某工廠一條消費(fèi)燈泡的流水線某工廠一條消費(fèi)燈泡的流水線, ,在工藝改動(dòng)前在工藝改動(dòng)前后分別抽檢假設(shè)干件產(chǎn)品的壽命后分別抽檢假設(shè)干件產(chǎn)品的壽命, ,得數(shù)據(jù)為得數(shù)據(jù)為 解解改動(dòng)前：改動(dòng)前： ;156,1364, 621 XSXn改動(dòng)后：改動(dòng)后： .172,1407, 922 YSYn假定燈泡壽命服從正態(tài)分布假定燈泡壽命服從正態(tài)分布, ,且工藝改

15、動(dòng)前后方差不變且工藝改動(dòng)前后方差不變, ,試求工藝改動(dòng)前后平均壽命之差的試求工藝改動(dòng)前后平均壽命之差的95%95%的置信區(qū)間的置信區(qū)間. . ,88.1213172815652)1()1(212221 nnSnSnSYXw,05. 0 ,16. 2)13(2/ t,43 XY,7 .14916188.1216. 2 ,43 XY,7 .14916188.1216. 2 所以所以12 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 11)13(212/nnStXYw )7 .1443 , 7 .1443( . )3 .57 , 3 .28( 例例7 7 某大學(xué)從某大學(xué)從 A A、B B 兩市招收新生中分別抽兩市招收新

16、生中分別抽 5 5名、名、 6 6名男生，測(cè)得身高名男生，測(cè)得身高 解解1705 .1721685 .1761711741751745 .180178172市：市：市：市：BA, ),(),(2221 NN從從設(shè)設(shè)兩兩市市學(xué)學(xué)生生身身高高分分別別服服.%9521的的置置信信區(qū)區(qū)間間的的求求 ,42 .45,9 .175211 SX,55 .45,172222 SX, 9 . 321 XX,17. 3 wS,262. 2)9(,05. 02/05. 0 t ,374. 411)9(212/05. 0 nnStw)374. 49 . 3,374. 49 . 3( 所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為. )

17、274. 8,474. 0( 3.3.兩個(gè)總體方差比兩個(gè)總體方差比 的置信區(qū)間的置信區(qū)間2221 由上一章知，由上一章知， )1, 1(21222122 nnFSSFYX 記記) 1, 1(212/11 nnF , )1, 1(212/2 nnF xO2/ )(xf2 1 2/ ,)1, 1(1122/ nnF 由由 121FP, )1, 1(212/2 nnF ,)1, 1(1122/1 nnF 由由,121 FP222122 YXSSF ,11 11222221222 YXYXSSSSP 22122/22212/)1, 1( , )1, 1(1YXYXSSnnFSSnnF 得得所所以以22

18、21 的的置置信信水水平平為為 1的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 例例8 8解解2221 的的置置信信區(qū)區(qū)間間為為 22122/22212/)1, 1( , )1, 1(1YXYXSSnnFSSnnF 3273. 2176. 1 , 4523. 2176. 1. )737. 2 , 347. 0( 例例9 9 某大學(xué)從某大學(xué)從 A A、B B 兩市招收新生中分別抽兩市招收新生中分別抽 5 5名、名、 6 6名男生，測(cè)得身高名男生，測(cè)得身高 解解1705 .1721685 .1761711741751745 .180178172市：市：市：市：BA, ),(),(2221 NN從從設(shè)設(shè)兩兩市市學(xué)學(xué)生生

19、身身高高分分別別服服.%95/2221的置信區(qū)間的置信區(qū)間的的方差比方差比求求 所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為,39. 7)5 , 4(025. 0 F,36. 91)4 , 5(1)5 , 4(025. 0975. 0 FF)1 . 93 .1136. 9,1 . 93 .1139. 71(. )62.11,17. 0( ,1 . 955 .45,3 .1142 .452221 SS(1) 建建立立yx 的的 0.95置置信信區(qū)區(qū)間間； 例例10 10 用兩種工藝或原料用兩種工藝或原料A A和和B B消費(fèi)同一種橡膠消費(fèi)同一種橡膠制品為比較兩種工藝下產(chǎn)品的耐磨性，從兩種工制品為比較兩種工藝下產(chǎn)品的耐磨性，從兩種工藝的產(chǎn)品中各隨意抽取了假設(shè)干件，測(cè)得如下數(shù)據(jù)：藝的產(chǎn)品中各隨意抽取了假設(shè)干件，測(cè)得如下數(shù)據(jù)： 工藝工藝 A A：185.82, 175.10, 217.30, 213.86, 198.40185.82, 175.10, 217.30, 213.86, 198.40工藝工藝 B B：152.10, .89, 121.50, 129.96, 154.82, 152.10, .89,