一元二次方程的應(yīng)用(一)

1、學(xué)習(xí)文檔僅供參考3.8 一元二次方程的應(yīng)用一 知識(shí)梳理 一、知識(shí)結(jié)構(gòu)二、知識(shí)要點(diǎn)歸納1.數(shù)學(xué)應(yīng)用題由實(shí)際情景加工整理成抽象實(shí)際的問題，通過數(shù)學(xué)化變成數(shù)學(xué)問題.經(jīng) 過求解、檢驗(yàn)、修正改良等進(jìn)而產(chǎn)生的問題稱為數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，數(shù)學(xué)應(yīng)用題是經(jīng)過加工的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題，是呈現(xiàn)在我們中學(xué)生面前的數(shù)學(xué)應(yīng)用問題. 從數(shù)學(xué)應(yīng)用問題到數(shù)學(xué)應(yīng)用題作了以下幾個(gè)方面的“加工”. （ 1）加工“背景”：讓背景材料為學(xué)生所熟悉的材料；讓背景材料較為簡潔. （ 2）加 工 “ 數(shù) 學(xué) ” ： 讓 “ 數(shù) 學(xué) 化 ” 的 過 程 較 為 簡 單 ， 讓 各 環(huán) 節(jié) 中 使 用 的 數(shù) 學(xué) 思 想 、 方法和知識(shí)都是學(xué)生所能接受的.

2、（ 3）加 工 “ 檢 驗(yàn) ” ： 在 問 題 中 的 檢 驗(yàn) 和 討 論 “ 實(shí) 際 化 ” 即 檢 驗(yàn) 數(shù) 學(xué) 結(jié) 果 是 否 合 乎 實(shí) 際問題，有驗(yàn)證的意識(shí)就可以了. 1.解一元二次方程的數(shù)學(xué)應(yīng)用題的一般步驟（ 1）找找出題中的等量關(guān)系（ 2）設(shè)設(shè)未知數(shù)（ 3）列列出方程，即根據(jù)找出的等量關(guān)系列出含有未知數(shù)的等式（ 4）解解出所列的方程（ 5）驗(yàn)將方程的解代入方程中檢驗(yàn)，回到實(shí)際問題中檢驗(yàn)（ 6）答作答下結(jié)論三、中考改革趨勢(shì)一元二次方程的應(yīng)用是中考數(shù)學(xué)重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，它的試題背景與二元一次方程組的應(yīng)用、簡單分式方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用一樣，隨著改革的繼續(xù)而更富有時(shí)代的氣息，更

3、宣于生活化，更貼近學(xué)生的實(shí)際. 解題指導(dǎo) 例 1.將進(jìn)貨單價(jià)為40 元 的商品按50 元售出時(shí)， 就能賣出500 個(gè) .已知這種商品每個(gè)漲價(jià)1 元，其銷售量就減少10 個(gè) ，問為了賺得8000 元 的利潤，售價(jià)應(yīng)定為多少？這時(shí)應(yīng)進(jìn)貨多少個(gè)？分析：如果按單價(jià)50 元售出，每個(gè)利潤是10 元，賣出500 個(gè)，只能賺得5000 元 .為了賺得學(xué)習(xí)文檔僅供參考8000只 .只 能漲價(jià)，但 要適度，否則銷售量就少得太多.其中 的等量關(guān) 系是：每個(gè)商品的利潤銷售量=8000 元.這里的關(guān)鍵是如何表示出每個(gè)商品的利潤和銷售量的問題. 解 ： 設(shè) 商 品 的 單 價(jià) 是)50(x元 ， 則 每 個(gè) 商 品 的

4、 利 潤 是40)50(x元 ， 銷 售 量 是)10500(x個(gè) . 由題意列方程為.8000)10500(40)50(xx整理，得0300402xx. 解方程，得30,1021xx. 故商品的的單價(jià)可定為50+10=60元或50+30=80元 . 當(dāng)商品每個(gè)單價(jià)為60 元時(shí)，其進(jìn)貨量只能是500- 1010=400個(gè)，當(dāng)商品每個(gè)單價(jià)為80元時(shí)，其進(jìn)貨量只能是500- 1030=200個(gè) . 答：售價(jià)定為60 元時(shí)，進(jìn)貨是400 個(gè)，售價(jià)定為80 元時(shí)，進(jìn)貨是200 個(gè) . 點(diǎn)評(píng)： 此題屬于能力要求較高的一元二次方程應(yīng)用題.關(guān)鍵在于表示出兩個(gè) “動(dòng)態(tài)” 的量：每個(gè)商品的利潤、銷售的量. 例

5、2.某電腦公司2000 年的各項(xiàng)經(jīng)營收入中，經(jīng)營電腦配件的收入為600 萬元，占全年經(jīng)營總收入的40% ，該公司預(yù)計(jì)2002 年經(jīng)營總收入要到達(dá)2160 萬元，且計(jì)劃從2000 年到2002 年，每年經(jīng)營總收入的年增長率相同，問2001 年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為多少萬元？分析：運(yùn)用基本關(guān)系式：基數(shù)1+平均增長率n=實(shí)際數(shù).當(dāng)然首先要求或表示出基數(shù)： =600 40%. 解：設(shè)2001 年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為x萬元，每年經(jīng)營總收入的年增長率為a. 根據(jù)題意，得.2160)1(%406002a解方程，得2,11 (2.11aa不合題意，舍去，.2.11a.18001.240%600)1%(40600ax答：

6、 2001 年預(yù)計(jì)經(jīng)營總收入為1800 萬元 . 點(diǎn)評(píng)：此題是有關(guān)增長率問題，它的基本關(guān)系式是：基數(shù)n）1(平均增長率=實(shí)際數(shù). 例 3. 某市供電公司規(guī)定，本公司職工，每戶一個(gè)月用電量假設(shè)不超過a千瓦時(shí)，則一個(gè)月的電費(fèi)只要交10 元，假設(shè)超過a千瓦時(shí)，則除了交10 元外，超過部分每千瓦/ 時(shí)還要交100a元 . 一戶職工三月份用電80 千瓦時(shí)，交電費(fèi)25 元；四月份用電5 千瓦時(shí)，交電費(fèi)10 元，試求a的值 . 分析：此題需先判斷a的范圍，再建立等量關(guān)系：超過a千瓦時(shí)所交的錢+10 元 =25 元 . 以此來作為解決問題的突破口. 解：由題意，可知a 45. 且有2510100)80(aa.

7、 解得501a千瓦時(shí)，302a不合題意，舍去. 學(xué)習(xí)文檔僅供參考答：a的值為50 千瓦時(shí). 自我測試 一、基礎(chǔ)驗(yàn)收題1. 已知兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積是168 ，則較大的偶數(shù)為 a.12 b.14 c.16 d.18 2. 某型號(hào)的連續(xù)兩次降價(jià)，每個(gè)售價(jià)由原來的1 185元降到了580 元 . 設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x，則列出方程正確的選項(xiàng)是 a.1185)1 (5802x b.580)1 (11852x c.1185)1(2802x d.580)1(11852x3. 某工廠計(jì)劃經(jīng)過兩年的時(shí)間將某種產(chǎn)品的產(chǎn)量從每年144 萬臺(tái)提高到169 萬臺(tái)， 則每年平均約增長a.5% b.8% c.10% d.

8、15% 4. 三個(gè)連續(xù)奇數(shù)，兩兩相乘后再相加，其和為359 ，求這三個(gè)數(shù). 5. 某工廠今年1 月份產(chǎn)品數(shù)是50 萬件，要求3 月份到達(dá)72 萬件，求這個(gè)工廠2 月份和3 月份的月平均增長率. 6. 王先生將三年前購置的一輛當(dāng)時(shí)售價(jià)為28 萬元的汽車在汽車交易市場出售，得款17.5 萬元含交易手續(xù)費(fèi)及稅金，已知第一年的折舊率為20%，求后兩年的平均折舊率是多少？精確到0.1% 7. 某企業(yè)向銀行貸款200 萬元開發(fā)新產(chǎn)品，一年后還貸款100 萬元，第二年后共還貸款及付息 132 萬元 . 貸款均按一年期計(jì)算，年利率不變. 求這種貸款的年利率. 8. 某人將2000 元人民幣按一年定期存入銀行，

9、到期后支取1000 元購物， 剩下1000 元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，假設(shè)存款利率不變，到期后得本金和利息共1320 元，求這種存款方式的年利率. 9. 某商店進(jìn)了一批服裝，進(jìn)價(jià)為每件50 元 . 按每件60 元出售時(shí)，可銷售800 件；假設(shè)單價(jià)每提高1 元，則其銷售量就減少20 件 . 今商店計(jì)劃獲利12000 元，問銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)應(yīng)進(jìn)多少件服裝？二、綜合能力測試題1. 在一次慶典上，幾個(gè)老同學(xué)互送紀(jì)念品一件，共送出72 件紀(jì)念品，這些老同學(xué)共有幾人？2.某百貨商店服裝柜在銷售中發(fā)現(xiàn)：“寶樂”牌童裝平均每天可售出20 件，每件盈利40 元 .為了迎接“六一”國際兒 童

10、節(jié)，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，擴(kuò)大銷售量，增加盈利，減少庫存. 經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：如果每件童裝每降價(jià)4 元，那么平均每天就可多售出8 件 .要想平均每天在銷售這種童裝上盈利1200 元，那么每件童裝應(yīng)降價(jià)多少元？3. 每件商品的成本是120 元，試銷了一階段后，發(fā)現(xiàn)每件售價(jià)元與產(chǎn)品的日銷售量件始終存在下表中的數(shù)量關(guān)系，但每天的盈利元 卻不一樣. 為找到每件產(chǎn)品的最正確定價(jià)，商場經(jīng)理請(qǐng)一位營銷策劃員通過計(jì)算，在不改變每件售價(jià)元與日銷售量件之間數(shù)量關(guān)系的情況下，每件定價(jià)為m元時(shí)，每日盈利可到達(dá)最正確數(shù)1600 元 . 假設(shè)請(qǐng)你做這位營銷策劃員，m的值應(yīng)是幾？每件售價(jià)元130 150 165 每日銷

11、售件70 50 35 學(xué)習(xí)文檔僅供參考 3.9 一元二次方程的應(yīng)用二 解題指導(dǎo) 例 1. 如圖 3-9-1所示 , 某小區(qū)規(guī)劃在一個(gè)長為40 米 , 寬為26 米的矩形 場 地abcd上 修 建 三 條 同 樣寬 的 甬 路 , 使 其 中 兩 條與ab平 行 , 另 一 條與ab垂直 , 其余部分種草, 假設(shè)使每一塊草坪的面積都為144 米2, 求甬路的寬度? 分析 : 為了使問題簡化, 不妨把種小塊矩形草坪平移后拼成一大塊矩形草整體思考, 問題便顯得輕而易舉. 解 : 可設(shè)甬路寬為x米 , 依題意, 得6144)26)(240(xx, 解得44, 221xx( 不合題意, 舍去 ). 答

12、: 甬路的寬度為2 米 . 例 2. 如圖3-9-2所示要建一個(gè)面積為150m2的長方形養(yǎng)雞場 , 為 了 節(jié) 約 材 料 , 雞 場 的 一 邊 靠 著 原 有 的 一 條 墻 , 墻 長 為am,另三邊用竹籬笆圍成, 已知籬笆總長為35m. (1) 求雞場的長與寬各為多少米? (2) 題中的墻長度am對(duì)題目的解起著怎樣的作用? 分析 : 從幾何圖形建立 等量關(guān)系式. 從所列得 的方程的解、分類討論a的不同取值所產(chǎn)生的影響. 解： 1設(shè)雞場的寬為xm，則長為)235(xm.依題意列方程為150)235(xx. 整理，得01503522xx. 解方程，得5 .7,1021xx. 所以當(dāng)10 x

13、時(shí)，20235x. 答：當(dāng)雞場的寬為10m 時(shí)，長為15m；當(dāng)雞場寬為7.5m 時(shí)，長為20m. 2由 1解得結(jié)果可知：題中墻長am 對(duì)題 目的解起嚴(yán)格的限制作用. 當(dāng)15a時(shí)，問題無解；當(dāng)2015a時(shí)，問題只有一解，即可建寬為10m，長為15m 的一種雞場；當(dāng)20a時(shí)，問題有兩解. 點(diǎn)評(píng)：應(yīng)注意討論a對(duì)題目的解起的關(guān)鍵作用. 例3.已知：如圖3-9-3所 示，在abc中，cm7cm,5,90bcabb. 點(diǎn)p從 點(diǎn)a開 始 沿ab邊 向 點(diǎn)b以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)q從點(diǎn)b開始沿bc邊向點(diǎn)c以2cm/s的速度移動(dòng). 1如果qp,分別從ba,同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，pbq的面積等于4cm2？

14、2如果qp,分別從ba,同時(shí)出發(fā)，那么幾秒后，pq的長度等于5cm？ 3在 1中，pqb的面積能否等于7cm2?說明理由. 分析：設(shè)出未知數(shù)后，關(guān)鍵是用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與問題有關(guān)的線段、面積等. 解 1 設(shè)xs 后，pbq的面積等于4cm2， 此時(shí)，cm)5(,cmxbpxap，cm2xbq. 學(xué)習(xí)文檔僅供參考由,421bqbp得42)5(21xx. 整理，得0452xx. 解方程，得4, 121xx. 當(dāng)4x時(shí)，782x, 說明此時(shí)點(diǎn)q越過點(diǎn)c，不合要求. 答： 1s 后，pbq的面積等于4cm2. 2仿 1 ，由2225bqbp得2225)2()5(xx. 整理，得022xx解方程，得

15、01x不合，舍去，22x. 答： 2s 后，pq的長度等于5cm. 3仿 1 ，得72)5(21xx整理，得0752xx容易判斷此方程無解. 答：pqb的面積不可能等于7cm2. 點(diǎn)評(píng)：較為復(fù)雜的一元二次方程在幾何圖形上的應(yīng)用，往往要借用一些幾何知識(shí)，如：面積公式；勾股定理；其它乘積關(guān)系的幾何定理等等. 觀察圖形，尋找等量關(guān)系，列出方程是解這類問題的關(guān)鍵. 自我測試 一、基礎(chǔ)驗(yàn)收題1. 直角三角形的面積是30 ，兩直角邊的和是17 ，則斜邊長為 a.17 b.26 c.30 d.13 2. 在一幅長80cm，寬50cm 的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成 一 幅 矩 形 掛 圖 ， 如 圖

16、3-9-4所 示 ， 如 果 要 使 整 個(gè) 掛 圖 的 面 積 是5400cm2，設(shè)金色紙邊的寬為xcm, 那么x滿足的方程是 a.014001302xx b.0350652xx c.014001302xx c.0350652xx3.把 一 個(gè) 正 方 形 的 一 邊 增 加2cm ， 另 一 邊 增 加1cm ， 所 得 的 長 方 形 面 積 比 正 方 形 面 積 增 加14cm2,那么原來正方形的邊長應(yīng)是a.3cm b.5cm c.4cm d.6cm 4.如圖3-9-5 ，從一塊長 80 厘米，寬60 厘米的鐵片中間截去一個(gè)小長方形，使剩下的長方框四周的寬度一樣，并且小長方形的面積是

17、原來鐵片面積的一半，求這個(gè)寬度. 5. 小娟家有一塊矩形花園，他爸爸想把它改建成正方形如圖3-9-6 ，這樣就必須將長減少3m，寬增加2m，同時(shí)面積減少5m2. 問改建后的花園面積為多少m2. 學(xué)習(xí)文檔僅供參考6. 李叔叔家房子前面有一塊長方形荒地，準(zhǔn)備 把它建成一座花園. 但中央修兩條互相垂直的等寬小路，正好將荒地分成四個(gè)面積相等的小長方形 . 如圖3-8-7 ，已知原長方形的長為30米，寬20 米，要使每個(gè)小長方形面積不少于126m2. 則每條小路寬至少為多少米?7.等腰梯形上、下底及高之比為1 4 2，它的腰與高之差為1cm，求梯形的面積. 8. 在一塊長是寬的2 倍的長方形的中央開辟一

18、個(gè)面積最大的圓形花園，這塊長方形土地的剩余面積是180m2，求這塊長方形土地的長和寬？結(jié)果可保留9. 如圖3-9-8，梯形abcd中，cdabbcad,/，ae是高，假設(shè)6adae. 求ac的長 . 二、綜合能力測試題1. 如圖3-9-9，長方形鋁皮的長40cm, 寬 30cm, 在四角截去相同的四個(gè)小正方形后，折起來做成一個(gè)沒有蓋子的盒子. 已知盒子的底面面積是原長方形面積的一半，求盒子的高. 2. 如圖3-9-10，等腰rt abc中，cm8bcab，動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)a出發(fā)，沿ab向點(diǎn)b移動(dòng) . 通過點(diǎn)p引平行于bc、ac的直線與ac、bc分 別 交 于 點(diǎn)r、q， 問 ：ap等 于 多 少 厘 米 時(shí) ， 平行 四邊 形pqcr的面積等于16cm2？3. 如圖3-9-11， 一張矩形報(bào)紙abcd的長cmaab， 寬cmbbc.e、f分 別 是ab、cd的 中 點(diǎn) ， 將 這 張 報(bào) 紙 沿 著 直 線e