2022年平面向量(1)

1、優(yōu)秀學(xué)習(xí)資料歡迎下載概念、方法、題型、易誤點(diǎn)及應(yīng)試技巧總結(jié)平面對(duì)量一向量有關(guān)概念 ：1. 向量的概念 ：既有大小又有方向的量，留意向量和數(shù)量的區(qū)分；向量常用有向線段來(lái)表示，留意 不能說(shuō)向量就是有向線段 ，為什么？（向量可以平移） ；如：已知 a（1,2），b（ 4,2），就把向量 ab 按向量 a （ 1,3）平移后得到的向量是 （答：（ 3,0 ）2. 零向量：長(zhǎng)度為 0 的向量叫零向量，記作： 0 ，留意零向量的方向是任意的 ；3. 單位向量 ：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量 與 ab 共線的單位向量是ab ；| ab |4. 相等向量 ：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等

2、向量有傳遞性；5. 平行向量（也叫共線向量） ：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，記作： a b ，規(guī)定零向量和任何向量平行 ；提示：相等向量肯定是共線向量，但共線向量不肯定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合；平行向量無(wú)傳遞性 ?。ㄓ捎谟?0 ；三點(diǎn) a、b、c 共線ab、ac 共線；6. 相反向量 ：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量；a 的相反向量是 a ；如以下命題：（ 1）如 ab ，就 ab ；（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同；（ 3）如 abdc ，就 abcd 是

3、平行四邊形；（4）如 abcd 是平行四邊形，就 abdc ；（5）如abb,二向量的表示方法 ：c，就 ac ；（6）如 a / b,b/c，就 a / c ；其中正確選項(xiàng) （答：（4）（5）1. 幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如ab ，留意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2. 符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來(lái)表示，如a ， b ， c 等；3. 坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i ，j 為基底，就平面內(nèi)的任一向量 a 可表示為axiy jx, y ，稱x, y 為向量 a 的坐標(biāo)， a x, y 叫做向量 a 的坐標(biāo)表示； 假如向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)

4、，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同；三平面對(duì)量的基本定理 ：假如 e1 和 e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量 a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1 、 2 ，使 a= 1 e1 2 e2；如（1） ） 如a1,1,b1, 1, c 1,2 ，就 c （答： 1 a3 b ）；22（2） ） 以下向量組中，能作為平面內(nèi)全部向量基底的是a. e1c. e10,0, e23,5, e21, 26,10b. e1d.e1 1,2, e22,3,e25,713,24（3） ）已知ad, be 分別是abc 的邊bc, ac 上的中線 ,且（答： b）；ada, beb ,就 bc 可用向

5、量a, b 表示為 （答： 2 a4 b ）；（4） ）已知 abc 中，點(diǎn) d 在 bc 邊上，且值是 cd2 db， cdr ab33s ac ，就rs 的（答： 0）四實(shí)數(shù)與向量的積 ：實(shí)數(shù) 與向量 a 的積是一個(gè)向量，記作a ，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下： 1aa , 2當(dāng) >0 時(shí)，a 的方向與 a 的方向相同，當(dāng)<0 時(shí)，a 的方向與 a 的方向相反，當(dāng)0 時(shí)，a五平面對(duì)量的數(shù)量積 ：0 ，留意： a 0；1. 兩個(gè)向量的夾角 ：對(duì)于非零向量 a ， b ，作 oaa,obb ， aob0稱為向量 a ， b 的夾角，當(dāng) 0 時(shí)， a ， b 同向，當(dāng) 時(shí)， a ， b 反

6、向，當(dāng) 時(shí)， a ， b 垂直；22. 平面對(duì)量的數(shù)量積 ：假如兩個(gè)非零向量 a ， b ，它們的夾角為，我們把數(shù)量| a | b | cos叫做 a 與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積） ，記作： ab ，即 ab a b cos；規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，留意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量；如（1） abc 中， | ab |3 ， | ac |4 ， | bc |5 ，就 abbc （答： 9）；（2） 已知 a111, , b0, cakb , dab ， c 與d 的夾角為，就 k 等于 224（答： 1）；（3） 已知 a2, b5,a b3 ，就 ab 等于 （答： 23

7、）；（4） 已知a, b 是兩個(gè)非零向量，且abab ，就 a與ab 的夾角為 （答： 30 ）3. b 在a 上的投影 為|b | cos，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不肯定大于0；如已知| a |3 ， | b |5 ，且 a b12 ，就向量 a 在向量 b 上的投影為 （答：12 ）54. ab 的幾何意義 ：數(shù)量積 ab 等于 a 的模 | a |與b 在 a 上的投影的積；5. 向量數(shù)量積的性質(zhì) ：設(shè)兩個(gè)非零向量 a ， b ，其夾角為，就： abab0 ；2當(dāng)a ， b 同向時(shí)， ab a b ，特殊地， a22aaa, aa；當(dāng) a 與b 反向時(shí)， ab a b ；當(dāng) 為銳角時(shí)， ab 0

8、，且 a、b 不同向， a b0 是 為銳角的必要非充分條件 ；當(dāng) 為鈍角時(shí)， ab 0，且 a、b 不反向， a b充分條件 ；0 是為鈍角的必要非非零向量 a ， b 夾角的運(yùn)算公式： cosaba b； | ab | | a | b | ；如（1） 已知 a,2 ， b3 ,2，假如 a 與 b 的夾角為銳角，就的取值范疇是（答：4 或0 且1 ）；（2） 已知ofq 的面積為 s ，且 offq取值范疇是 1，如 1s233 ，就 of , fq 23夾角 的（答： , 4 ）；3（ 3） 已 知acoxs,xs biny, a與yb之 間 有 關(guān) 系 式kab 3的大小a其, 中kb

9、，0用kk 表示 a b ；求 a b 的最小值，并求此時(shí) a 與b 的夾角六向量的運(yùn)算 ：1. 幾何運(yùn)算 ：（答： a bk 21 k4k0 ；最小值為1 ，60 ）2向量加法：利用“平行四邊形法就”進(jìn)行，但“平行四邊形法就”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法仍可利用“三角形法就”：設(shè)叫做 a 與b 的和，即 ababbcac ；aba, bcb ，那么向量 ac向量的減法：用“三角形法就” ：設(shè) aba, acb,那么ababacca ，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)；留意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同；如（ 1） 化 簡(jiǎn)： abbccd abcd acbd ； abaddc ；

10、（2） 如正方形 abcd 的邊長(zhǎng)為 1，（答： ad ； cb ； 0 ）； aba, bcb, acc ，就| abc | （答： 22 ）；（3） 如 o 是 abc 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿意的外形為 obocoboc2oa ，就 abc（答：直角三角形）；（ 4 ） 如 d 為 abc 的 邊 bc 的 中 點(diǎn) ， abc 所 在 平 面 內(nèi)有 一 點(diǎn) p ， 滿 足p ab pc p0 ，設(shè) | ap | pd |，就 的值為 （答： 2）；（5）如點(diǎn) o 是abc 的外心，且oaobco0 ，就 abc 的內(nèi)角 c 為 （答： 120 ）；2. 坐標(biāo)運(yùn)算 ：設(shè) ax1, y1 ,b

11、x2, y2 ，就：向量的加減法運(yùn)算 ： abx1x2 ， y1y2 ；如（1） 已知點(diǎn)a2,3, b5,4， c 7,10 ，如apabacr ，就當(dāng) 時(shí)，點(diǎn)p 在第一、三象限的角平分線上（答： 1 ）；2（2） 已知a2,3, b1,4, 且 1 ab2sin x,cos y ， x, y, ，就 xy 22（答：或）；62（3） 已知作用在點(diǎn)的終點(diǎn)坐標(biāo)是a1,1的三個(gè)力 f13,4, f22,5, f33,1 ，就合力ff1f2f3實(shí)數(shù)與向量的積 ：ax1 , y1x1,y1 ；（答：（9,1）如 a x1, y1, b x2, y2 ，就 abx 2x 1 ,y 2y 1，即一個(gè)向量的

12、坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)；如設(shè) a2,3, b1,5 ，且 ac1 ab ， ad33ab ，就 c、d 的坐標(biāo)分別是 平面對(duì)量數(shù)量積 ： abx1x2y1 y2 ；如11（答：1,7,9 ）；3已知向量 a （ sinx，cosx） , b （ sinx，sinx）,c （ 1，0）；（1）如 x ，3求向量 a 、c 的夾角；（2）如 x 3, ，函數(shù)84f xa b 的最大值為1 ，求 的值2向量的模 ： | a |x2y2 , a2| a |2x2y2 ；如（答：1150;21 或21 ）；2已知a,b 均為單位向量，它們的夾角為 60 ，那么 | a3b

13、| （答：13 ）；兩點(diǎn)間的距離 ：如a x1, y1, b x2, y2，就 | ab |2x2x12y2y1；如如圖，在平面斜坐標(biāo)系 xoy 中，xoy60 ，平面上任一點(diǎn) p關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的： 如opxe1ye2，其中 e1, e2 分別為與 x 軸、y 軸同方向的單位向量，就 p 點(diǎn)斜坐標(biāo)為 x, y ；（1）如點(diǎn) p 的斜坐標(biāo)為（ 2， 2），求 p 到 o 的距離 po；（2）求以 o 為圓心， 1 為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 xoy 中的方程；（答：（1）2；（2） x2y2xy10 ）；七向量的運(yùn)算律 ：1. 交換律： abba ，aa ， abba ；2. 結(jié)合律：

14、 abcabc, abcabc ， ababab ；3. 安排律：aaa,abab ， abcacbc ；如以下命題中：a bc a bac ；a b c a bc ； ab2| a |22 | a | | b | b |2 ； 如a b0 ，就 a0 或 b220 ；如 a bc b, 就ac ； aa ；a bb 2；a b2222ab ； ab22a2a bb ；其中正確選項(xiàng) aa（答：）提示：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)分：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向

15、量不能相除 相約 ；（ 2）向量的“乘法”不滿意結(jié)合律 ，即abcabc ，為什么？八向量平行 共線 的充要條件 ： a / baba b 2| a |b |2x1 y2y1 x2 0；如(1) 如向量 ax,1,b4, x ，當(dāng) x 時(shí)a 與b 共線且方向相同（答： 2）；（2） 已知 a1,1,b4, x ， ua2b ， v2ab ，且 u / v ，就 x （答： 4）；（3） 設(shè)pak ,12, pb4,5, pc10,k ，就 k時(shí)， a,b,c 共線（答： 2 或 11）九 向量垂直的充要條件： aba babacabac0| ab | |ab |x1x2y1 y20. 特殊地；

16、如abacabac1 已知 oa 1,2, ob3, m ，如 oaob ，就 m（答： 3 ）；2（2） ） 以原點(diǎn) o 和 a4,2 為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形oab， 坐標(biāo)是 b90，就點(diǎn) b 的（3） ） 已知 n（答： 1,3或（ 3， 1）； a, b, 向量 nm ，且 nm ，就 m 的坐標(biāo)是 十線段的定比分點(diǎn) ：（答： b,a) 或b, a ）1. 定比分點(diǎn)的概念 ：設(shè)點(diǎn) p 是直線 p1 p 2 上異于 p1 、p 2 的任意一點(diǎn)，如存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使 p1ppp2 ，就 叫做點(diǎn) p 分有向線段以定比為 的定比分點(diǎn)；p1p2所成的比， p 點(diǎn)叫做有向線段p1p2 的2. 的符

17、號(hào)與分點(diǎn) p 的位置之間的關(guān)系 ：當(dāng) p 點(diǎn)在線段 p1 p 2 上時(shí)>0；當(dāng) p點(diǎn)在線段 p1 p2 的延長(zhǎng)線上時(shí)< 1；當(dāng) p點(diǎn)在線段 p 2 p1 的延長(zhǎng)線上時(shí)10 ；如點(diǎn) p 分有向線段p1p2 所成的比為，就點(diǎn) p 分有向線段p p 所成的比為 1 ；如2 1如點(diǎn) p 分 ab 所成的比為 34，就 a分 bp 所成的比為 （答： 7 ）33. 線段的定比分點(diǎn)公式 ：設(shè) p1 x1, y1、 p2 x2 , y2 ， px, y 分有向線段p1p2所成的比x為，就yx1x21y1y21，特殊地，當(dāng) 1 時(shí)，就得到線段 p1 p 2x的中點(diǎn)公式y(tǒng)x1x2 2y1y2 ；2在

18、使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確 x, y ， x1, y1 、 x2 , y2 的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)；在詳細(xì)運(yùn)算時(shí)應(yīng)依據(jù)題設(shè)條件，敏捷地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并依據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比；如（1）如 m （-3，-2），n（ 6， -1），且 mp1 mn，就點(diǎn) p 的坐標(biāo)為 3（答：6,7 ）；3（2） 已知于 aa,0, b3,2a ，直線 y1 ax 與線段 ab 交于 m ，且 am22mb ，就 a 等（答：或）十一平移公式 ：假如點(diǎn)p x, y 按向量ah, k 平移至px , y ，就 xxh ；曲yyk線 f x,y0 按向量ah,k平移得曲線f xh,yk 0 .留意：（ 1） 函數(shù)按向量平移與平?！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？ （2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊！如（1） ） 按向量 a 把 2,3 平移到 1, 2 ，就按向量 a 把點(diǎn) 7,2 平移到點(diǎn) （答：（，）；（2） ） 函數(shù) ysin 2 x 的圖象按向量 a 平移后，所得函數(shù)的解析式是ycos 2 x1，就a 12、向量中一些常用的結(jié)論 ：（1） 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要留意運(yùn)用；（答： ,1 ）4（2） | a | b | | ab | | a |b |，特殊地，當(dāng) a、b 同向或有 0| ab | | a | b | a