2022年分段函數(shù)的幾種常見(jiàn)題型及解法2

1、本卷第 1頁(yè)（共 5頁(yè)）分段函數(shù)的幾種常見(jiàn)題型及解法分段函數(shù)是指自變量在兩個(gè)或兩個(gè)以上不同的范圍內(nèi), 有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù), 它是一個(gè)函數(shù), 卻又常常被學(xué)生誤認(rèn)為是幾個(gè)函數(shù); 它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集, 其值域也是各段函數(shù)值域的并集. 由于它在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考察上有較好的作用, 時(shí)常在高考試題中 “閃亮” 登場(chǎng) , 筆者就幾種具體的題型做了一些思考, 解析如下：1求分段函數(shù)的定義域和值域例 1求函數(shù)1222 1,0;( )(0,2);32,);xxf xxxx的定義域、值域 . 【解析】作 圖 , 利 用 “ 數(shù) 形 結(jié) 合 ” 易 知( )f x的

2、定 義 域 為 1,), 值域?yàn)? 1,3. 2求分段函數(shù)的函數(shù)值例 2 （05 年浙江理）已知函數(shù)2|1|2,(| 1)( )1,(| 1)1xxf xxx求12( )f f. 【解析】因?yàn)?11222( )|1|2f, 所以312223214( )()1()13fff. 3求分段函數(shù)的最值例 3求函數(shù)43 (0)( )3(01)5 (1)xxf xxxxx的最大值 . 11o322-1yx-1精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - -

3、 - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -本卷第 2頁(yè)（共 5頁(yè)）【解析】當(dāng)0 x時(shí), max( )(0)3fxf, 當(dāng)01x時(shí) , max( )(1)4fxf, 當(dāng)1x時(shí), 51 54x, 綜上有max( )4fx. 4求分段函數(shù)的解析式例 4在同一平面直角坐標(biāo)系中, 函數(shù)( )yf x和( )yg x的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱(chēng), 現(xiàn)將( )yg x的圖象沿x軸向左平移2 個(gè)單位 , 再沿y軸向上平移1 個(gè)單位 , 所得的圖象是由兩條線段組成的折線（如圖所示）, 則函數(shù)( )f x的表達(dá)式為（）222 ( 10).( )2(02)xxxaf xx

4、222 ( 10).( )2(02)xxxbf xx222 (12).( )1(24)xxxcf xx226 (12).( )3(24)xxxdf xx【解析】當(dāng) 2,0 x時(shí), 121yx, 將其圖象沿x軸向右平移2 個(gè)單位 , 再沿y軸向下平移1個(gè) 單位, 得解析式為1122(2)1 11yxx, 所以( )22 ( 1,0)f xxx, 當(dāng)0,1x時(shí), 21yx, 將其圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位 , 再沿y軸向下平移1 個(gè)單位 , 得解析式2(2)1 124yxx, 所以12( )2 (0, 2)f xxx, 綜上可得222( 10)( )2(02)xxxf xx, 故選a. 5作分段函

5、數(shù)的圖像例 5函數(shù)|ln |1|xyex的圖像大致是（）-12131o-2yx精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -本卷第 3頁(yè)（共 5頁(yè)）a11oyxbyx11ocyxo11dyxo116求分段函數(shù)得反函數(shù)例 6 已知( )yf x是定義在r上的奇函數(shù), 且當(dāng)0 x時(shí) , ( )31xf x, 設(shè)( )f x得反函數(shù)為( )yg x, 求(

6、)g x的表達(dá)式 . 【解析】設(shè)0 x, 則0 x, 所以()31xfx, 又因?yàn)? )f x是定義在r上的奇函數(shù) , 所以()( )fxf x, 且(0)0f, 所以( )13xf x, 因此31 (0)( )0(0)13(0)xxxf xxx, 從而可得33log (1)(0)( )0(0)log (1)(0)xxg xxxx. 7判斷分段函數(shù)的奇偶性例 7判斷函數(shù)22(1)(0)( )(1)(0)xxxf xxxx的奇偶性 . 【解析】當(dāng)0 x時(shí) , 0 x, 22()() (1)(1)( )fxxxxxf x, 當(dāng)0 x時(shí) , ( 0)(0)0ff, 當(dāng)0 x, 0 x, 22()()

7、 (1)(1)( )fxxxxxf x精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -本卷第 4頁(yè)（共 5頁(yè)）因此 , 對(duì)于任意xr都有()( )fxfx, 所以( )fx為偶函數(shù) . 8判斷分段函數(shù)的單調(diào)性例 8判斷函數(shù)32(0)( )(0)xx xf xxx的單調(diào)性 . 【解析】顯然( )f x連續(xù) . 當(dāng)0 x時(shí), 2( )311fxx恒成立 ,

8、所以( )f x是單調(diào)遞增函數(shù), 當(dāng)0 x時(shí) , ( )20fxx恒成立 , ( )fx也是單調(diào)遞增函數(shù), 所以( )f x在r上是單調(diào)遞增函數(shù); 或畫(huà)圖易知( )f x在r上是單調(diào)遞增函數(shù). 例 9寫(xiě)出函數(shù)( )|12 | 2|f xxx的單調(diào)減區(qū)間. 【解析】121231 ()( )3(2)31 (2)xxf xxxxx, 畫(huà)圖易知單調(diào)減區(qū)間為12(,. 9解分段函數(shù)的方程例 10（01 年上海）設(shè)函數(shù)812(,1( )log(1,)xxf xx x, 則滿(mǎn)足方程1( )4f x的x的值為【解析】若142x, 則222x, 得2(,1x, 所以2x（舍去） , 若1814logx, 則14

9、81x, 解得3(1,)x, 所以3x即為所求 . 10解分段函數(shù)的不等式例11 設(shè) 函 數(shù)1221 (0)( )(0)xxf xxx, 若yx52o-1252xy1-11精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 5 頁(yè) - - - - - - - - -本卷第 5頁(yè)（共 5頁(yè)）0()1f x, 則0 x得取值范圍是（）.( 1,1)a.( 1,)b. (, 2)(0,)c. (, 1)(

10、1,)d【解析 1】首先畫(huà)出( )yf x和1y的大致圖像, 易知0()1f x時(shí), 所對(duì)應(yīng)的0 x的取值范圍是(, 1)(1,). 【解析 2】因 為0()1f x, 當(dāng)00 x時(shí) , 021 1x, 解 得01x, 當(dāng)00 x時(shí) , 1201x, 解得01x, 綜上0 x的取值范圍是(, 1)(1,). 故選 d. 例 12 設(shè)函數(shù)2(1)(1)( )41 (1)xxf xxx, 則使得( )1f x的自變量x的取值范圍為（）a(, 20,10 b. (, 20,1c. (, 21,10 d. 2,01,10【解析】當(dāng)1x時(shí) , 2( )1(1)120f xxxx或, 所 以21xx或0, 當(dāng)1x時(shí) , ( )14111310f xxxx, 所以110 x, 綜上所述 , 2x或010 x, 故選 a項(xiàng). 【點(diǎn)評(píng)： 】以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中, 不難得到一種解題的重要途徑, 若能畫(huà)出其大致圖像, 定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性等問(wèn)題就會(huì)迎刃而解, 方程、不等式等可用數(shù)形結(jié)合思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)討論思想及函數(shù)思想來(lái)解