重慶大學(xué)碩士課程——齒輪嚙合原理

1、碩士學(xué)位課程考試試卷考試科目： 齒輪嚙合原理 考生姓名： 考生學(xué)號： 學(xué) 院： 專 業(yè)： 考 生 成 績： 任課老師 (簽名) 考試日期：2012 年 6月 日 至 月 日齒輪嚙合原理一、 基本概念（每題4分，共計(jì)32分）1 解釋齒輪的瞬心線？答：兩個(gè)構(gòu)件1和2相對于一個(gè)固定參考標(biāo)架f做平面運(yùn)動（如圖1），在固定坐標(biāo)系中，兩構(gòu)件在某點(diǎn)的相對速度等于零，該點(diǎn)就是瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心I，而瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心I在坐標(biāo)系 Si（i =1,2）中的軌跡就是齒輪的瞬心線。 圖1.1即Si繞Oi轉(zhuǎn)動時(shí)，點(diǎn)I（它沿O1O2運(yùn)動，或處于靜止?fàn)顟B(tài)）會描繪出瞬心線傳動比m21=(2)1，當(dāng)m21是常數(shù)時(shí)，兩瞬心線是半徑分別為1

2、和2的兩個(gè)圓，當(dāng)m21不是常數(shù)時(shí)，瞬心線是非圓形曲線，成封閉的或不封閉的。2 解釋齒輪的瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸？ 答：瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸是齒輪對另一齒輪相對運(yùn)動中的角速度的作用線。如圖1.2所示瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸（OI）是齒輪1對齒輪2（或齒輪2對齒輪1）相對運(yùn)動中的角速度(12)的作用線，有(12)=(1)-(2)同理(21)=(2)-(1)圖1.23 解釋齒輪的瞬軸面？ 答：齒輪的瞬軸面是指瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸在與回轉(zhuǎn)齒輪剛性固接的動參考標(biāo)架中的軌跡。在兩相交軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動進(jìn)行傳遞的情況下，瞬軸面是兩個(gè)頂角為1和2的圓錐（如圖1.3）.這兩個(gè)圓錐稱作節(jié)錐，它們的切觸線是OI，并且其相對運(yùn)動是純滾動繞OI運(yùn)動。當(dāng)節(jié)錐2處于靜止

3、時(shí)，角速度(12)=(1)-(2)表示繞OI轉(zhuǎn)動的節(jié)錐1的角速度。圖1.34 解釋平面曲線的曲率？答：如圖1.4，在平面曲線上的兩點(diǎn)M、N，當(dāng)點(diǎn)N趨近于點(diǎn)M時(shí)，比值/s的極限稱為平面曲線在點(diǎn)M處的曲率（記為K）。即K=lims。圖1.45 解釋共軛齒形？ 答：共軛齒形是兩齒輪在接觸點(diǎn)處的公法線與回轉(zhuǎn)中心線O1O2相交(如圖1.5)，并且該線分為O1I和O2I兩線段有如下的關(guān)系式：O2IO1I=(1)(2)=m12 (O1I+O2I=E)這里，m12=m12()；（1）對于非圓齒形是規(guī)定的齒輪傳動比函數(shù)，（2）對于圓形齒輪是常數(shù)。圖1.5常用共軛齒形是漸開線齒形。6 解釋嚙合面？ 答：嚙合面是表

4、示在與機(jī)架剛性固接的固定坐標(biāo)系Sf中的瞬時(shí)接觸線族。嚙合面用如下方程表示：rf=rfu, fu,=0式中rf=Mf1r1，Mf1描述從S1到Sf的坐標(biāo)變換。7 解釋齒廓漸屈線？ 答：如圖1.6所示，假定平面曲線I是給定的。各線段MiNi（i=1,2，n）是曲線I在點(diǎn)Mi的曲率半徑，而點(diǎn)Ni是曲率中心。曲率中心Ni的軌跡是曲線I的漸屈線E。圖1.68 寫出Euler的方程式？答：Euler方程式為：Kn=Kcos2q+Ksin2q式中q是由矢量MN和單位矢量e構(gòu)成的夾角（如圖5）。矢量MN表示曲面的切面上選取的方向，而Kn是曲面在這個(gè)方向上的法曲率。單位矢量e和e沿著這兩個(gè)主方向，而K和K是主曲

5、率。 Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之間的關(guān)系。圖1.5二、 采用數(shù)學(xué)軟件推導(dǎo)微分的方法（16分）要求：舉實(shí)例詳細(xì)說明，并作圖及列出程序。MATLAB是許多學(xué)科的解題工具，將MATLAB融入其它課程的學(xué)習(xí)中，可以大大提高運(yùn)算效率和準(zhǔn)確性。隨著計(jì)算機(jī)的普及和國民整體素質(zhì)的提高，科學(xué)計(jì)算將會更加的普及。MATLAB在矩陣及數(shù)值計(jì)算、多項(xiàng)式和線形代數(shù)、符號數(shù)學(xué)的基本方法等方面都有較好的應(yīng)用，下面的例子為運(yùn)用MATLAB求解微分方程。實(shí)例：已知一個(gè)二階線性系統(tǒng)的微分方程為： 其中a=2，繪制系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)曲線和相平面圖。解：令x2=x,x1=x' ，則得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 建立一個(gè)函

6、數(shù)文件sys.m： function xdot=sys(t,x) %建立函數(shù)文件xdot=-2*x(2);x(1); % xdot的表達(dá)式取t0=0,tf=20,求微分方程;t0=0;tf=20; %確定t的值t,x=ode45('sys',t0,tf,1,0); %求數(shù)值解t,x %輸出結(jié)果subplot(1,2,1);plot(t,x(:,2); %以子圖形式繪出解的曲線 subplot(1,2,2);plot(x(:,2),x(:,1); %以子圖形式繪出相平面曲線 axis equal運(yùn)行結(jié)果為：ans = 0 1.0000 0 0.0001 1.0000 0.0001

7、 0.0001 1.0000 0.0001 0.0002 1.0000 0.0002 0.0002 1.0000 0.0002 0.0005 1.0000 0.0005 0.0007 1.0000 0.0007 0.0010 1.0000 0.00100.0012 1.0000 0.0012 19.1332 -0.3498 0.661819.2670 -0.5196 0.603619.4007 -0.6708 0.523819.5344 -0.7980 0.425319.6681 -0.8968 0.311619.7511 -0.9422 0.235219.8340 -0.9747 0.155

8、619.9170 -0.9937 0.073820.0000 -0.9991 -0.0090方程的時(shí)間相應(yīng)及相平面曲線如圖2.1所示。三、 推導(dǎo)方程（1題8分，2題12分，共計(jì)20分）1. 坐標(biāo)系S1(x1,y1,z1)和S2(x2,y2,z2) 剛性固接到齒輪1和齒輪2，兩齒輪傳遞平行軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動（圖1）。齒輪的兩回轉(zhuǎn)角1和2 用方程:21=12 聯(lián)系著，式中1和2是兩瞬線的半徑。E是兩轉(zhuǎn)動軸線之間的最短距離。固定坐標(biāo)系Sf 剛性固接到齒輪箱體上。Sp 是輔助坐標(biāo)系，它也剛性固接到齒輪箱體上。 圖3.1推導(dǎo)：1) 從S2到S1的坐標(biāo)變換方程。2) 從S1到S2的坐標(biāo)變換方程。解：1）從S

9、2到S1的坐標(biāo)變換從S2到S1的坐標(biāo)變換基于矩陣方程r1=M12r2=M1fMfpMp2r2 (3.1.1)式中M1f和Mp2是轉(zhuǎn)動矩陣，而Mfp是移動矩陣。 r2=x2y2z21 Mp2=cos2sin2-sin2cos200000 00 01001r1=x1y1z11 M1f=cos1sin1-sin1cos100000 00 01001 （3.1.2） Mfp=1001000E00001001從方程（3.1.2）可導(dǎo)出 M12=cos(1+2)sin(1+2)-sin(1+2cos(1+2)0Esin10Ecos10 00 01 00 1 (3.1.3)利用方程（3.1.1）和（3.1.

10、2），則可以得到x1=x2cos1+2+y2sin1+2+Esin1 y1=-x2sin1+2+y2cos1+2+Ecos1 z1=z22) 從S1到S2的坐標(biāo)變換方程逆矩陣M21=M12-1可以通過M12的各元素表達(dá)如下M21=cos(1+2)-sin(1+2)sin(1+2cos(1+2)0Esin10-Ecos10 00 01 00 1 (3.1.4)逆坐標(biāo)變換基于矩陣方程r2=M21r1從該方程可導(dǎo)出x2=x1cos1+2-y1sin1+2+Esin1y1=x1sin1+2+y1cos1+2-Ecos1 z2=z12. 坐標(biāo)系 S1 , S2 和 Sf分別與齒條刀具、被加工的直齒外齒輪

11、和機(jī)架剛性固接（圖2）。齒條刀具的齒形是直線，該直線用方程x1=usina y1=ucosa （ -u1<u<u2 ）表示在S1 中。這里，a 是齒形角（壓力角）；u 是變參數(shù)，該參數(shù)用來確定齒條刀具齒形上的流動點(diǎn)位置（對于點(diǎn)M，u>0 ；對于點(diǎn)M'，u<0）。瞬時(shí)回轉(zhuǎn)中心為 。齒輪的瞬心線是半徑為r的圓，而齒條刀具的瞬心線與x1 軸重合（圖2）。齒條刀具的位移 和齒輪的轉(zhuǎn)角 有如下關(guān)系式s=r 圖3.2求： 1）推導(dǎo)嚙合方程。2）導(dǎo)出齒條刀具和被加工齒輪在嚙合中的嚙合線方程。3）導(dǎo)出被加工齒輪的齒形方程。4）確定齒條刀具的極限安裝位置，這種安裝位置將使齒輪的被

12、加工齒形避免根切，并作圖說明。解：（1）由于曲面1和2在其切觸點(diǎn)處的公法線通過瞬時(shí)回轉(zhuǎn)軸線，則有方程：X1-x1Nx1-Y1-y1Ny1=0 （3.2.1）式中，X1=r Y1=0 是表示在S1中的I的坐標(biāo)。N1=T1×k1=cos-sin0T （3.2.2）式中T1和N1是產(chǎn)形齒形的切線矢量和法線矢量，k1是z1軸的單位矢量。由式3.2.1和3.2.2可以導(dǎo)出嚙合方程的下列表達(dá)式fu,= u-rsin=0 (3.2.3)（2）由（1）的條件可得，嚙合線方程rf=Mf1r1 fu,= u-rsin=0 (3.2.4)表示。這樣可以得到xf=usin -r yf=ucos +r u-r

13、sin=0 (3.2.5)從方程(3.2.5)可導(dǎo)出 xf=-rcos2 yf=r+rsincos (3.2.6)嚙合線LK（如圖3.2.2）是通過I的一條直線，并且與xf軸構(gòu)成夾角（-）。線段IK上的個(gè)高點(diǎn)對應(yīng)于0；線段IL上的各個(gè)點(diǎn)對應(yīng)于0。圖3.2.1（3）利用（1）的條件，利用微分幾何中提出的方法導(dǎo)出被加工尺形的方程利用矩陣方程r2=M21r1 (3.2.7)將被加工齒形族的方程表示在坐標(biāo)系S2中。從方程（3.2.7）和題中條件可以導(dǎo)出x2=usin+r(sin-cos) (3.2.8)y2=ucos (+)+r(cos+sin)導(dǎo)出嚙合方程r2u×k2r2=0 (3.2.9

14、)矢積r2u×k2表示S2中的產(chǎn)形齒形的法線矢量，并且r2與v2（12）共線。經(jīng)變換后，方程（3.2.8）和（3.2.9）將給出嚙合方程fu,= u-rsin=0被加工齒形方程 x2=usin+r(sin-cos) y2=ucos (+)+r(cos+sin) （3.2.10） fu,= u-rsin=0（4）齒條刀具齒形的界限點(diǎn)在齒輪的齒形上形成奇異點(diǎn)。齒條刀具的界限點(diǎn)可以用嚙合方程fu,= u-rsin=0 （3.2.11）和根切方程Fu,=0 （3.2.12）確定，后一方方程可以用方程x1uvx1(12)fufddt=y1uvy1(12)fufddt=0 (3.2.13)由題中

15、條件和方程(3.2.11)、(3.2.13)可以導(dǎo)出 x1uvx1(12)fufddt=sinucos1-rsin=0 （3.2.14）則可以得到u的界限值為u=-rtansin （3.2.15）同理可得y1uvy1(12)fufddt=cos(-usin+r)1-rsin=0 （3.2.16）圖3.2.2圖解說明了齒條刀具的極限安裝位置，此時(shí)點(diǎn)F形成齒輪齒形上的奇異點(diǎn)。圖3.2.2四、綜述及分析？（16分）采用齒輪嚙合原理的基本理論和方法，結(jié)合工程實(shí)際或列舉實(shí)例，綜合、分析齒輪嚙合原理的應(yīng)用及說明其意義。答：齒輪機(jī)構(gòu)是在各種機(jī)構(gòu)中應(yīng)用最為廣泛的一種傳動機(jī)構(gòu)。它依靠齒輪齒廓直接傳遞空間任意兩軸

16、間的運(yùn)動和動力，并具有傳遞功率范圍大、傳動效率高、使用壽命長、工作可靠，那么采用齒輪嚙合原理的基本理論和方法對其研究有著實(shí)際的意義，下面以生成面齒輪齒面為例說明齒輪嚙合的運(yùn)用及其意義。 面齒輪傳動是一種新型齒輪傳動，具有許多獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)： 1)小齒輪為漸開線齒輪時(shí)，其軸向移動產(chǎn)生的誤差對傳動性能幾乎沒有影響。2)面齒輪傳動比普通錐齒輪傳動具有較大的重合度。3)小齒輪為直齒圓柱齒輪時(shí)，小齒輪上無軸向力作用。4)對于點(diǎn)接觸面齒輪傳動，在理論上仍然能保證定傳動比傳動。5)面齒輪用于傳動裝置時(shí)傳動振動小和噪音低。 生成面齒輪齒面首先要建立坐標(biāo)系（如圖4.1、4.2）圖4.1圖4.2在推導(dǎo)面齒輪齒面時(shí)，選

17、擇了四個(gè)坐標(biāo)系:兩個(gè)固定坐標(biāo)系Sm(xm，ym，zm)和Sp(xp，yp，zp，兩個(gè)動坐標(biāo)系Ss(xs，ys，zs)和S2(x2，y2，z2)。固定坐標(biāo)系Sm和Sp分別建立在刀具齒輪支架和面齒輪支架上，它們的坐標(biāo)原點(diǎn)重合在刀具軸線和面齒輪軸線的交點(diǎn)上，如圖4.1所示為固定坐標(biāo)系之間的位置關(guān)系，它們的x軸重合。動坐標(biāo)系Ss和S2分別與刀具齒輪和面齒輪固連，它們坐標(biāo)原點(diǎn)也在兩軸線的交點(diǎn)上，如圖4.2所示(xm和(xp軸重合，圖中分開為便于表示)，zm和zp軸交角為m=180°-，初始時(shí)坐標(biāo)系Ss和Sm、S2和Sp，重合，動坐標(biāo)系Ss，S2各繞其:軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)角分別為s,2。面齒輪和刀具齒輪

18、的傳動比為：i12=21=NsN2.(4.1)圖4.3如圖4.3所示面齒輪齒面可以分為兩部分，工作齒面和齒根過渡區(qū)域，它們中間的交線為過渡曲線，下面介紹如何得出這樣一個(gè)完整的齒面 設(shè)面齒輪和傳動直齒輪嚙合時(shí)嚙合點(diǎn)為P，在刀具坐標(biāo)系Ss中，點(diǎn)P的矢量為rs(s)，刀具的回轉(zhuǎn)角速度矢為s(s)，因此點(diǎn)P在Ss中的速度矢為vs(s)=s(s)×rs(s) (4.2)設(shè)s(s)為 s(s)= 00sT (4.3)同樣在面齒輪坐標(biāo)系Ss中，點(diǎn)P的矢量為rs(s)，面齒輪的回轉(zhuǎn)角速度矢為2(2)，點(diǎn)P在Ss中的速度矢為v2(2)=2(2)×r2(2) (4.4)設(shè)2(2)為 2(2)=

19、 002T (4.5)其中2=i2ss （4.6）將 22)轉(zhuǎn)換到刀具坐標(biāo)系Ss中為 2(s)= Ms22(2)=s i2ssinmsinsi2ssinmcossi2scosmT （4.7）其中Ms2為從面齒輪坐標(biāo)系S2到刀具坐標(biāo)系Ss的轉(zhuǎn)換矩陣，為Ms2=cosscos2+cosmsinssin2-cosssin2+cosmsinscos2-sinscos2+cosmcosssin2sinssin2+cosmcosscos2sinmsin20sinmcos20-sinmsin2-sinmcos200cosm 00 1 （4.8）并且2=i2ss （4.9）因此可得在刀具坐標(biāo)系Ss中嚙合點(diǎn)P處

20、兩齒面的相對運(yùn)動速度為vs2(2)=(ss-22)×rss=s-ys1-i2scosm-zsi2ssinmcossxs1-i2scosm+zsi2ssinmsins-i2ssinm(coss-yssins)（4.10）其中xs，ys:和zs分別為刀具齒面在刀具坐標(biāo)系Ss中的各坐標(biāo)分量。根據(jù)嚙合原理在嚙合點(diǎn)處齒面相對運(yùn)動速度矢在公法線上的投影為零，得到嚙合方程為 fus,s,s=vs22nss=rbs1-i2scosm-usi2ssinmcos(s+Os+s) （4.11）由此得到了嚙合方程，再根據(jù)坐標(biāo)變換，將嚙合點(diǎn)從刀具坐標(biāo)系Ss轉(zhuǎn)換到面齒輪坐標(biāo)系S2中，得到面齒輪工作齒面方程為fu

21、s,s,s=Or22us,s,s=M2s(s)rssus,s (4.12)五、學(xué)習(xí)心得體會？（16分）學(xué)習(xí)本門課程的具體詳細(xì)收獲及體會。答：盡管齒輪嚙合原理課程即將要結(jié)束，但它帶給了我很多的收獲與思考。（一）、本門課程給予的收獲。（1）齒輪傳動是機(jī)器和儀器中用得最廣的一種機(jī)械傳動。齒輪機(jī)構(gòu)可以傳遞平行軸、相交軸和相錯(cuò)軸之間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動，換句話說，它可以傳遞機(jī)器設(shè)計(jì)中已經(jīng)應(yīng)用的、任意配置的、兩軸間的回轉(zhuǎn)運(yùn)動。正因?yàn)辇X輪傳動的應(yīng)用的廣泛性，研究齒輪嚙合具有重要的意義。（2）齒輪嚙合原理這門課主要內(nèi)容有：坐標(biāo)、曲面和曲線的曲率的詳細(xì)研究；齒輪運(yùn)動學(xué)、齒輪分析和研究；各種齒輪的嚙合分析和加工研究；飛刀的設(shè)計(jì)加工；利用計(jì)算機(jī)數(shù)控機(jī)床加工齒面的研究；滾針（滾珠）測量法；齒輪實(shí)際齒面的坐標(biāo)測量和偏差的最小化。（3）齒輪嚙合原理是一門對數(shù)學(xué)要求很高的課，在學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)方面的知識的同時(shí)，也應(yīng)努力掌握一兩款數(shù)學(xué)分析軟件才能提高數(shù)學(xué)