太原理工大學(xué)2007年《高等代數(shù)》攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題

1、.太原理工大學(xué)2007年攻讀碩士學(xué)位研究生入學(xué)試題（180分鐘，總分150分）高 等 代 數(shù)一、選擇題（每題4分，共24分）1. 設(shè)為級矩陣，已知命題：只有零解； 有唯一解；的行向量組線性無關(guān)；的列向量組線性無關(guān). 則有 (A) . （B） . (C) . (D) . 2. 設(shè)矩陣，其中可逆，則等于 （A） （B） （C） （D）3. 設(shè)三級矩陣，若的伴隨矩陣的秩為1，則有 （A）或（B）或（C）且（D）且4. 設(shè)A, B是線性空間的線性變換，且AB-BA=E，則 (A) A2B-BA2=2A ;(B) A3B-BA3=3A3 ;(C) A2B-BA2=0 ;(D) A4B-BA4=2AB .

2、5. 和矩陣 正交相似的矩陣為 (A) (B) (C) (D) 6. 若矩陣有一個不變因子為，則下列結(jié)論正確的是 (A) 相似于對角矩陣; (B) 是非奇異矩陣;(C) 的初等因子都是的冪或的冪; (D) 是奇異矩陣.二、填空題（每題6分，共36分）1. 設(shè)為級矩陣，考慮四個命題：1）與有相同的特征值與特征向量；2）若與等價, 則與有相同的特征值與特征向量；3）若與有相同的特征值，則與一定相似于同一個對角矩陣；4）若與有相同的特征值，則秩.在這四個命題中成立的個數(shù)有 個.2. 已知 -2是矩陣的特征值，其中為不等于零的任意常數(shù)，則= .3. 已知實二次型的正負慣性指數(shù)都是1，則= .4. 設(shè)行

3、列式，則第四行各元素余子式之和的值為 。5. 若是級非零矩陣，且，則的Jordan標(biāo)準形中Jordan塊的最大級數(shù)是 .6. 已知3維歐氏空間中有一組基，其度量矩陣為，向量，則 .三、計算與證明題（前五題每題12分，后三題每題10分，共90分）1. 設(shè)為四維列向量組，且線性無關(guān)，. 已知方程組有無窮多解，(1)求的值；(2) 用基礎(chǔ)解系表示該方程組的全部解.2. 設(shè)，為四維列向量組，求(1)為何值時，該向量組線性無關(guān)？并在此時將向量用線性表出；(2)為何值時，該向量組線性相關(guān)？并在此時求出它的秩和一個極大線性無關(guān)組.3. 已知、為3級矩陣，且滿足，其中是3級單位矩陣。(1)證明：矩陣可逆； (2)若，求矩陣.4. 設(shè)是三級矩陣的三個特征值，其對應(yīng)的特征向量依次為 證明：(1) , (2) 把用線性表出，并求.5. 已知三維向量組（I）線性無關(guān)，（）線性無關(guān)。(1) 證明：存在向量，即可由線性表示，也可由線性表示。(2) 當(dāng)時，求（1）中的。6. 設(shè)是級實對稱矩陣，是正定矩陣，證明是可逆矩陣。7. 設(shè)是復(fù)數(shù)域上的維線性空間，而線性變換在基下的矩陣是一若當(dāng)塊。證明中任一非零子空間都包含。8. 設(shè)是實數(shù)域上所有次數(shù)小于4的一元多項式全體組成的集