高中數(shù)學(xué)必修2

1、 數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié) 一、直線與方程 （1）直線的傾斜角 定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180° （2）直線的斜率 定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k 表示。即tank?。斜率反映直線與軸的傾斜程度。 當(dāng)?90,0?時，0?k； 當(dāng)?180,90?時，0?k； 當(dāng)? 90?時，k不存在。 過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：)(211212xxxxyyk? 注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng)21xx?時，公式右邊無意義，直線的

2、斜率不存在，傾斜角為90°； (2)k與P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得； (4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。 （3）直線方程 點(diǎn)斜式：)(11xxkyy?直線斜率k，且過點(diǎn)?11,yx 注意：當(dāng)直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。 當(dāng)直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：bkxy? ? ，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b 兩點(diǎn)式：112121yyxxyyxx?（1212,xxyy?）直

3、線兩點(diǎn)?11,yx，? ?22,yx 截矩式：1xyab? 其中直線l與x軸交于點(diǎn)(,0)a,與y軸交于點(diǎn)(0,)b,即l與x軸、y軸的截距分別為,ab。 一般式：0?CByAx（A，B不全為0） 注意：1各式的適用范圍 2特殊的方程如： 平行于x軸的直線：by?（b為常數(shù)）； 平行于y軸的直線：ax?（a為常數(shù)）； （5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線 （一）平行直線系 平行于已知直線0000?CyBxA（00,BA是不全為0的常數(shù)）的直線系：000?CyBxA（C為常數(shù)） （二）過定點(diǎn)的直線系 （）斜率為k的直線系：?00xxkyy?，直線過定點(diǎn)?00,yx； （）過兩條直線0:11

4、11?CyBxAl，0:2222?CyBxAl的交點(diǎn)的直線系方程為 ?0222111?CyBxACyBxA?（?為參數(shù)），其中直線2l不在直線系中。 （6）兩直線平行與垂直 當(dāng)111:bxkyl?，222:bxkyl?時， 212121,/bbkkll?；12121?kkll 注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。 （7）兩條直線的交點(diǎn) 0:1111?CyBxAl 0:2222?CyBxAl相交 交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組?00222111CyBxACyBxA的一組解。 方程組無解21/ll? ； 方程組有無數(shù)解?1l與2l重合 （8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)1122(,),AxyBxy

5、，（）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個點(diǎn)， 則222121|()()ABxxyy? （9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)?00,yxP到直線0:1?CByAxl 的距離2200BACByAxd? （10）兩平行直線距離公式 在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。 二、圓的方程 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。 2、圓的方程 （1）標(biāo)準(zhǔn)方程?222rbyax?，圓心?ba,，半徑為r； （2）一般方程022?FEyDxyx 當(dāng)0422?FED 時，方程表示圓，此時圓心為?2,2ED ，半徑為FEDr42122? 當(dāng)0422?FED時，表示一個

6、點(diǎn)； 當(dāng)0422?FED時，方程不表示任何圖形。 （3）求圓方程的方法： 一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個圓需要三個獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)； 另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。 3、直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷： （1）設(shè)直線0:?CByAxl，圓?222:rbyaxC?，圓心?baC,到l的距離 為22BACBbAad?，則有相離與Clrd?；相切與Clrd?；相交與Clrd? （2）設(shè)直線0:?CByAxl，圓?22

7、2:rbyaxC?，先將方程聯(lián)立消元，得到一個一元二次方程之后，令其中的判別式為?，則有 相離與Cl?0；相切與Cl?0；相交與Cl?0 注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式200ryyxx?去解直線與圓相切的問題，其中?00,yx表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r表示半徑。 (3)過圓上一點(diǎn)的切線方程： 圓x2+y2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為200ryyxx? (課本命題) 圓(x-a)2+(y-b)2=r2，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 (課本命題的推廣) 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓

8、心距（d）之間的大小比較來確定。 設(shè)圓?221211:rbyaxC?，?222222:RbyaxC? 兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 當(dāng)rRd?時兩圓外離，此時有公切線四條； 當(dāng)rRd?時兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條； 當(dāng)rRdrR?時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線； 當(dāng)rRd?時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線； 當(dāng)rRd?時，兩圓內(nèi)含； 當(dāng)0?d時，為同心圓。 三、立體幾何初步 1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相

9、平行，由這些面所圍成的幾何體。 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE?或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱'AD 幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。 （2）棱錐 定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等 表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐'''&#

10、39;'EDCBAP? 幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到 截面距離與高的比的平方。 （3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分 分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等 表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺'''''EDCBAP? 幾何特征：上下底面是相似的平行多邊形 側(cè)面是梯形 側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn) （4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；

11、側(cè)面展開圖是一個矩形。 （5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征：底面是一個圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個扇形。 （6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分 幾何特征：上下底面是兩個圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個弓形。 （7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征：球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。 2、空間幾何體的三視圖 定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、 俯視圖（從上向下） 注：正視圖

12、反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。 3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法 斜二測畫法特點(diǎn)：原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變； 原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。 4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積 （1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。 （2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，'h為斜高，l為母線） chS?直棱柱側(cè)面積 rhS?2?圓柱側(cè) '21chS?正棱錐側(cè)面積 rlS?圓錐側(cè)

13、面積 ')(2121hccS?正棱臺側(cè)面積 lRrS?)(?圓臺側(cè)?lrrS?2圓柱表 ?lrrS?圓錐表 ?22RRlrlrS?圓臺表 （3）柱體、錐體、臺體的體積公式 VSh?柱 2VShrh?圓柱 13VSh?錐 hrV231?圓錐 ''1()3VSSSSh?臺 ''2211()()33VSSSShrrRRh?圓臺 （4）球體的表面積和體積公式：V球 =343R? ； S球面=24R? 4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系 （1）平面 平面的概念： A.描述性說明； B.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫在一個銳角內(nèi)）

14、； 也可以用兩個相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面?內(nèi)，記作A?；點(diǎn)A不在平面?內(nèi)，記作A? 點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：Al； 點(diǎn)A在直線l外，記作A?l； 直線與平面的關(guān)系：直線l在平面內(nèi)，記作l?；直線l不在平面內(nèi)，記作l?。 （2）公理1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。 （即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線） 應(yīng)用：檢驗桌面是否平； 判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號語言表示公理1：,AlBlABl? （3）公理2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。 推論：一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平

15、面；兩平行直線確定一平面。 公理2及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù) 它是證明平面重合的依據(jù) （4）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 符號：平面和相交，交線是a，記作a。 符號語言：,PABABlPl?II 公理3的作用： 它是判定兩個平面相交的方法。 它說明兩個平面的交線與兩個平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。 它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個點(diǎn)共線的重要依據(jù)。 （5）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 （6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判

16、定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a'a，b'b，則把直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。 說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理 （2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。 求異面直線所成角步驟： A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩

17、條同時平移到某個特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。 B、證明作出的角即為所求角 C、利用三角形來求角 （7）等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。 （8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn) 三種位置關(guān)系的符號表示：a? aA a （9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點(diǎn)； 相交有一條公共直線。b 5、空間中的平行問題 （1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì) 線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行?線面平行 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相

18、交， 那么這條直線和交線平行。線面平行?線線平行 （2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個平面平行的判定定理 （1）如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行 （線面平行面面平行）， （2）如果在兩個平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行。 （線線平行面面平行）， （3）垂直于同一條直線的兩個平面平行， 兩個平面平行的性質(zhì)定理 （1）如果兩個平面平行，那么某一個平面內(nèi)的直線與另一個平面平行。（面面平行線面平行） （2）如果兩個平行平面都和第三個平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行） 7、空間中的垂直問題 （1）線線、面面、線面垂直的定義 兩條異

19、面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。 線面垂直：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個平面垂直。 平面和平面垂直：如果兩個平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個平面垂直。 （2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相

20、垂直。 性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個平面。 9、空間角問題 （1）直線與直線所成的角 兩平行直線所成的角：規(guī)定為?0。 兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。 兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線ba?,，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。 （2）直線和平面所成的角 平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為?0。 平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為?90。 平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角。 求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計算”。 在“作角”時依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線， 在解題時，注意挖掘題設(shè)中兩個主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。