實(shí)驗(yàn)1 測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理

1、測(cè)量誤差與數(shù)據(jù)處理物理實(shí)驗(yàn)是以測(cè)量為基礎(chǔ)的。測(cè)量任何物理量，由于測(cè)量條件不能盡善盡美、儀器的分度值不可能無(wú)限小，所得結(jié)果都不會(huì)是絕對(duì)精確的。對(duì)測(cè)量結(jié)果精確度的評(píng)價(jià)是一門專門科學(xué)，涉及面非常廣泛。對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理和測(cè)量誤差的分析估算能力，是科學(xué)實(shí)驗(yàn)技能的一個(gè)重要方面，在物理實(shí)驗(yàn)課中，對(duì)有關(guān)知識(shí)作初步介紹，并通過(guò)具體實(shí)驗(yàn)進(jìn)行最基本的訓(xùn)練。一、 測(cè)量與誤差1、物理量的測(cè)量在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)中，所有的物理量都是通過(guò)測(cè)量得到的。測(cè)量是為確定被測(cè)對(duì)象的數(shù)值多少而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)過(guò)程。在這個(gè)過(guò)程中通常借助專門的工具、儀器，把被測(cè)對(duì)象直接或間接地與同類標(biāo)準(zhǔn)量進(jìn)行比較，得出用數(shù)值和單位共同表示的測(cè)量結(jié)果。所謂測(cè)量就是將

2、被測(cè)物理量與作為標(biāo)準(zhǔn)的同類物理量進(jìn)行比較，從而獲得被測(cè)物理量的量值為目的的全部操作。測(cè)量各種物理量的具體方法有多種多樣。根據(jù)獲取測(cè)量數(shù)據(jù)的方式不同，可將測(cè)量分為直接測(cè)量和間接測(cè)量；根據(jù)測(cè)量條件的不同，可分為等精度測(cè)量和不等精度測(cè)量。(1)直接測(cè)量 待測(cè)物理量可以從量具或儀器上直接讀取的方式叫直接測(cè)量。如用米尺測(cè)量長(zhǎng)度，用天平測(cè)量質(zhì)量，電表測(cè)量電壓等都是直接測(cè)量。(2)間接測(cè)量 待測(cè)物理量不能由測(cè)量?jī)x器直接讀出，而是需要用一些原理和公式由直接測(cè)量得到的各物理量推算出來(lái)的方式叫間接測(cè)量。如測(cè)量圓管的體積V，先要測(cè)量圓管的高度h、外徑D和內(nèi)徑d，然后通過(guò)公式計(jì)算求得圓管的體積V，這就是間接測(cè)量。在工

3、程技術(shù)中，能直接測(cè)量的物理量是很少的，大部分物理量的測(cè)量是采用間接測(cè)量。然而，一個(gè)物理量的測(cè)量需用直接測(cè)量還是用間接測(cè)量并不是絕對(duì)的，通常與儀器的選擇有關(guān)。如測(cè)量液體的比重，選用量筒和天平作為測(cè)量工具為間接測(cè)量，選用比重計(jì)作為測(cè)量工具則為直接測(cè)量。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展，將有更多、更精密儀器設(shè)備以滿足對(duì)更多物理量進(jìn)行直接測(cè)量。(3)等精度測(cè)量 在相同測(cè)量條件下對(duì)某一物理量重復(fù)n次測(cè)量，得出的數(shù)值為，這幾個(gè)數(shù)值中我們沒(méi)有理由認(rèn)為其中某一次測(cè)量比另一次測(cè)量更準(zhǔn)確些或不準(zhǔn)確些，即每次測(cè)量的精度是相同的，這種測(cè)量稱為等精度測(cè)量，比如在完全相同的條件下，用螺旋測(cè)微器對(duì)鋼珠的直徑進(jìn)行n次的測(cè)量即為等精度

4、測(cè)量。測(cè)量條件是指一切能影響測(cè)量結(jié)果，本質(zhì)上又可控制的全部因素。測(cè)量條件包括：進(jìn)行測(cè)量的人、測(cè)量方法、測(cè)量?jī)x器及其調(diào)整方法、環(huán)境條件等。環(huán)境條件是指測(cè)量過(guò)程中環(huán)境的溫度、濕度、大氣壓力、氣流、振動(dòng)、輻射強(qiáng)度等。(4)不等精度測(cè)量 測(cè)量條件中只要其中一個(gè)發(fā)生了變化，就變?yōu)椴坏染葴y(cè)量。如在不同的環(huán)境溫度下測(cè)量電阻就是不等精度測(cè)量，因?yàn)殡娮枋请S溫度的變化而變化的物理量。等精度測(cè)量與不等精度測(cè)量的數(shù)據(jù)，在處理方法上是不同的，在以下的討論中所涉及的測(cè)量數(shù)據(jù)均為等精度測(cè)量的情況。2、測(cè)量誤差在確定的條件下，反映任何物質(zhì)（物體）物理特性的物理量所具有的客觀真實(shí)數(shù)值，稱為真值。測(cè)量的目的就是力圖獲得真值。但

5、是，由于受儀器靈敏度和分辨率、實(shí)驗(yàn)原理的近似性、環(huán)境的不穩(wěn)定性以及測(cè)量者自身因素的局限，測(cè)量總是得不到真值，測(cè)量值只能是真值不同程度的近似值。測(cè)量值與真值之間的差異叫測(cè)量誤差。如果用表示測(cè)量值，表示真值，測(cè)量誤差為： （1）因?yàn)榕c具有相同的單位，故又稱為絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，測(cè)量誤差可以被控制得越來(lái)越小。但實(shí)踐證明，任何實(shí)驗(yàn)的誤差都不能降為零，誤差始終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，這個(gè)結(jié)論稱為誤差公理。也就是說(shuō)，從測(cè)量的角度來(lái)講，真值不可能確切獲得。因此，將測(cè)量的實(shí)際值、已修正過(guò)的算術(shù)平均值等被認(rèn)為充分接近真值，可用來(lái)替代真值，用來(lái)替代真值的量值稱為約定真值。這樣一來(lái)，絕對(duì)誤差就是測(cè)

6、量結(jié)果與約定真值之差。誤差既然是客觀存在，那么就有必要研究、分析誤差的來(lái)源和性質(zhì)。(1)誤差的分類根據(jù)誤差產(chǎn)生的原因及性質(zhì)，可將誤差分為兩類。a系統(tǒng)誤差 在確定條件下多次測(cè)量同一物理量時(shí)，測(cè)量值總是有規(guī)律地朝著某一方向偏離真值，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是誤差的數(shù)值和符號(hào)基本保持恒定，或在條件改變時(shí)按一定規(guī)律而變化。系統(tǒng)誤差的主要來(lái)源有：實(shí)驗(yàn)裝置誤差。由于儀器本身的缺陷，或者由于測(cè)量前沒(méi)有很好地調(diào)節(jié)儀器所引起的誤差。比如天平兩臂不等長(zhǎng)，儀表零點(diǎn)不準(zhǔn)等。方法或理論誤差。由于測(cè)量原理、方法不完善而引起的誤差。比如測(cè)量體積時(shí)未考慮到膨脹因素，溫度變化對(duì)儀器本身影響太大等。環(huán)境誤差。由于外界

7、影響而引起的誤差。比如溫度發(fā)生變化，電磁場(chǎng)干擾等。人員誤差。由于測(cè)量者在操作經(jīng)驗(yàn)、分辨能力、反應(yīng)速度、讀數(shù)習(xí)慣與偏向引起的誤差。比如有的人讀數(shù)總是偏大或偏小等。系統(tǒng)誤差服從因果規(guī)律，任何一種系統(tǒng)誤差，都有其確定的發(fā)生原因。在一定的測(cè)量條件下，只要找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因，采取一定的措施都能消除或減小系統(tǒng)誤差。發(fā)現(xiàn)、減小或消除系統(tǒng)誤差，常取決于實(shí)驗(yàn)者的經(jīng)驗(yàn)和素質(zhì)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中要積累這方面的感性知識(shí)，結(jié)合實(shí)驗(yàn)具體情況對(duì)系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析和討論。b隨機(jī)誤差 在同一物理量的多次測(cè)量過(guò)程中，以不可預(yù)知方式變化的測(cè)量誤差稱為隨機(jī)誤差。隨機(jī)誤差的產(chǎn)生是由許多偶然因素造成的，因而也叫偶然誤差。它的特征是誤差的

8、大小和符號(hào)表面看來(lái)沒(méi)有任何規(guī)律性。隨機(jī)誤差起因于一些隨時(shí)隨地都會(huì)發(fā)生的微小的不可控制的因素，如無(wú)規(guī)則的溫度變化，氣壓起伏，地基、桌面的振動(dòng)，電磁場(chǎng)的干擾，光線的閃動(dòng)，電壓、電流的波動(dòng)，以及觀察者感官（聽(tīng)覺(jué)、視覺(jué)、觸覺(jué)）分辨能力的微小變化，以及最小讀數(shù)的估計(jì)產(chǎn)生的誤差等等。這些因素既不可控制，又無(wú)法預(yù)測(cè)和消除。某次測(cè)量的隨機(jī)誤差往往是由多種隨機(jī)因素共同造成的。 隨機(jī)誤差表面上看來(lái)似乎毫無(wú)規(guī)律，純屬偶然。然而對(duì)多次等精度測(cè)量結(jié)果的分析可以發(fā)現(xiàn)隨機(jī)誤差具有以下一些內(nèi)在規(guī)律性： 對(duì)某一物理量進(jìn)行了多次等精度測(cè)量，每次測(cè)量值的誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)某一限度，這個(gè)特性稱為有界性；誤差數(shù)值越大者出現(xiàn)的次數(shù)越少

9、，誤差數(shù)值越小者出現(xiàn)的次數(shù)越多，這個(gè)特性稱為單峰性；絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相等，這個(gè)特性稱為對(duì)稱性；誤差的算術(shù)平均值隨測(cè)量的次數(shù)的增加而減小。當(dāng)測(cè)量次數(shù)無(wú)限增加時(shí)，隨機(jī)誤差的算術(shù)平均值將趨于零，即： （2）這個(gè)特性稱為抵償性。將（1）式代入上式得： （3）即僅存在隨機(jī)誤差的情形下，測(cè)量次數(shù)無(wú)限多時(shí)的算術(shù)平均值就是真值。當(dāng)測(cè)量次數(shù)為有限次時(shí)，算術(shù)平均值最接近真值，因此，在本課程中，我們以算術(shù)平均值作為最佳測(cè)定值。(2)儀器的誤差儀器的誤差即國(guó)家計(jì)量局規(guī)定的該項(xiàng)儀器的出廠公差或允差，是一種系統(tǒng)誤差。用合格的儀器或量具進(jìn)行測(cè)量，若操作正確，即使只測(cè)一次，其儀器的誤差一般不會(huì)超過(guò)公差。即

10、出廠公差提供了儀器的最大誤差。額定值通常都標(biāo)明在儀器或量具上。如游標(biāo)卡尺的額定誤差就是所標(biāo)明的精度，通用的有0.02mm和0.05mm兩種。 本書(shū)附錄2中收錄了部分有關(guān)儀器誤差的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)和檢定規(guī)程，供估算實(shí)驗(yàn)誤差時(shí)使用。3、測(cè)量結(jié)果的表示既然任何測(cè)量都有誤差，那么測(cè)量結(jié)果的表示格式為：式中為真值的估計(jì)值（即測(cè)量值），為測(cè)量誤差的估計(jì)值（即絕對(duì)誤差）。這種格式的物理意義是說(shuō)明真值以一定的可能性（概率）包含在至范圍內(nèi)。誤差的估算方法不同，這個(gè)概率的大小也不同。為了全面反映測(cè)量結(jié)果的優(yōu)劣，還需要考慮被測(cè)物理量本身的大小。定義相對(duì)誤差為絕對(duì)誤差與（約定）真值之比。因?yàn)樽罴褱y(cè)量值與真值最接近，相對(duì)誤差也

11、可定義為誤差與最佳測(cè)量值之比。即相對(duì)誤差 4、精密度、正確度和準(zhǔn)確度 在測(cè)量中常用精密度、正確度和準(zhǔn)確度來(lái)評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的好壞。精密度表示測(cè)量結(jié)果中隨機(jī)誤差大小的程度；正確度表示測(cè)量結(jié)果中系統(tǒng)誤差大小的程度；準(zhǔn)確度（精確度）是表示隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的合成誤差大小的程度。二、有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則1、有效數(shù)字的一般概念0 1 2 3 4 A圖1 長(zhǎng)度的測(cè)量測(cè)量是為確定被測(cè)對(duì)象的數(shù)值而進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)過(guò)程。由于測(cè)量始終存在誤差，因而測(cè)量結(jié)果的數(shù)值就不應(yīng)無(wú)止境地寫(xiě)下去,而只能寫(xiě)到誤差所在位。例如用米尺測(cè)量鋼棒A的長(zhǎng)度（如圖1所示）。A棒長(zhǎng)在3.23.3之間。這棒究竟有多長(zhǎng)呢？我們可估讀為3.27，也可估讀為3

12、.28或3.29。這百分位上的7、8、9是估計(jì)出來(lái)的，而且每人估計(jì)出的值也可能不同，所以我們把這些估計(jì)出來(lái)的數(shù)稱為存疑數(shù)字（可疑數(shù)字）。存疑數(shù)字前的3.2是儀器測(cè)出的確切數(shù)字，稱為可靠數(shù)字。我們把測(cè)量結(jié)果的幾位可靠數(shù)字加上估計(jì)的一位數(shù)字（可疑數(shù)字）統(tǒng)稱為有效數(shù)字。測(cè)量結(jié)果中有幾個(gè)有效數(shù)字，就稱為是幾位有效數(shù)字。A棒長(zhǎng)度的測(cè)量結(jié)果3.27、3.28或3.29都是三位有效數(shù)字。在使用有效數(shù)字時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：數(shù)據(jù)中第一位非“0”數(shù)字前面的“0”不是有效數(shù)字。單位換算不改變有效數(shù)字的位數(shù)。測(cè)量結(jié)果末位的“0”仍為有效數(shù)字。直接測(cè)量的有效數(shù)字位數(shù)是由被測(cè)物理量的大小及儀器的精密度確定的，直接測(cè)量取儀器

13、的分度值的讀數(shù)為可靠數(shù)字估讀一位為可疑數(shù)字。要注意的是： 3.20 3.2。這是因?yàn)?.2是兩位有效數(shù)字，2是存疑數(shù)字。而3.20的存疑位是0。因此有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量越準(zhǔn)確。有效數(shù)字是測(cè)量結(jié)果的客觀反應(yīng)，它的位數(shù)多少不能隨意增減。電子秒表、電阻箱、便攜式電橋等儀器無(wú)法進(jìn)行估讀。這些儀器在測(cè)量值的最后一位就存在著儀器誤差，就是存疑數(shù)字，而不必再估讀。參與運(yùn)算的常數(shù)，由于它們不是測(cè)得量，其有效數(shù)字的位數(shù)是無(wú)限的，可根據(jù)需要來(lái)選取。2、有效數(shù)字的運(yùn)算例1 加減運(yùn)算 x1 =20.1， x2 4.17， x3 =6.784 求 x1x2x3？解：寫(xiě)成豎式運(yùn)算，在下面加一橫表示可疑數(shù)字。任一可疑數(shù)字

14、與其它數(shù)字運(yùn)算后其結(jié)果就是可疑的。于是作為最終結(jié)果，我們只保留一位可疑數(shù)字。x1x2x331.0；作為中間結(jié)果參加下一步運(yùn)算，我們可以多保留一位可疑數(shù)字，即：x1x2x331.05 。由此可見(jiàn)，在加減運(yùn)算中，運(yùn)算結(jié)果的存疑位與參與運(yùn)算的各量中存疑位最高的為準(zhǔn)。例2 乘除運(yùn)算 4.178×10.1？ 解： 寫(xiě)成豎式表示 按規(guī)定 4.178×10.42.2 ；41.78÷11.23.73 運(yùn)算結(jié)果三位有效數(shù)字與最少的有效數(shù)字位數(shù)一致。歸納起來(lái)，有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則有如下幾點(diǎn)： 加減運(yùn)算 先找出各數(shù)中可疑數(shù)字最靠前的，以此數(shù)的最后一位數(shù)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)其它數(shù)進(jìn)行取舍，但在

15、運(yùn)算過(guò)程中可以多保留一位。乘除運(yùn)算 先找出有效數(shù)字位數(shù)最少的，以它的有效數(shù)位為準(zhǔn)對(duì)其它數(shù)進(jìn)行取舍，可以多保留一位。三角函數(shù) 三角函數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與其角度（用弧度表示）的有效數(shù)字位數(shù)相同。如對(duì)數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)與真值的有效數(shù)字位數(shù)相同。如。冪和根 冪和根的有效數(shù)字位數(shù)和它們的底的有效數(shù)位相同。但、e等常數(shù)的有效數(shù)位在運(yùn)算中需要幾位就取幾位。3、數(shù)的修約規(guī)則（尾數(shù)舍入法則）對(duì)于大量尾數(shù)分布概率相同的數(shù)據(jù)來(lái)源，“4”舍“5”入不盡合理?，F(xiàn)在通用“4”舍“6”入，對(duì)于“5”，若前面為偶數(shù)則舍（“0”作為偶數(shù)），若前面為奇數(shù)則入，即所謂四舍六入五湊偶，以保證尾數(shù)取舍幾率相等（根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3101-9

16、3 有關(guān)量、單位和符號(hào)的一般原則的附錄B 數(shù)的修約規(guī)則）。三、測(cè)量結(jié)果的誤差估算1、多次直接測(cè)量的誤差估算(1) 算術(shù)平均值在相同條件下對(duì)某物理量作等精度n次測(cè)量，其觀測(cè)值分別為，稱為測(cè)量列，若用的表示測(cè)量列的平均值，則 （4）由于算術(shù)平均值最接近于真值，故稱之為近真值。(2) 算術(shù)平均偏差（平均誤差）各觀測(cè)值與近真值的偏差稱為殘差，分別表示為算術(shù)平均偏差則為 （5）由于算術(shù)平均值最接近于真值，平均誤差可作為誤差的初步估算。 (3)標(biāo)準(zhǔn)偏差在有限測(cè)量次數(shù)的情況下，通常用以測(cè)量列平均值為參照系的標(biāo)準(zhǔn)偏差作為標(biāo)準(zhǔn)誤差的最佳估算值。對(duì)于測(cè)量列中單次測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差的表示式為 （6） 式（6）也稱為貝

17、塞爾（Bessel）公式。在n次測(cè)量的情況下，以平均值表示測(cè)量結(jié)果，其標(biāo)準(zhǔn)偏差必然要小些，其值僅為測(cè)量列單次測(cè)量值標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍。平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示為 （7）2、單次直接測(cè)量的誤差估算由于條件限制，對(duì)一個(gè)物理量的直接測(cè)量只能進(jìn)行一次；或?qū)嶒?yàn)誤差以儀器的誤差為主；或只測(cè)一次就能達(dá)到準(zhǔn)確度要求的測(cè)量。這種單次測(cè)量結(jié)果的誤差應(yīng)該根據(jù)測(cè)量的實(shí)驗(yàn)情況進(jìn)行估算。在本課程中，我們以儀器的誤差作為單次測(cè)量的誤差。在要求更準(zhǔn)確的科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，單次測(cè)量的誤差應(yīng)根據(jù)實(shí)際的系統(tǒng)誤差規(guī)律和隨機(jī)誤差的可能分布用嚴(yán)格的誤差理論來(lái)處理。3、間接測(cè)量誤差的估算（誤差的傳遞與合成）既然直接測(cè)量存在誤差，間接測(cè)量就必然有傳遞誤差。設(shè)

18、間接測(cè)得量為，各直接測(cè)得量為。間接測(cè)得量與各直接測(cè)得量的函數(shù)關(guān)系為。（1）算術(shù)平均值將各直接測(cè)得量的測(cè)量結(jié)果（即算術(shù)平均值）代入間接測(cè)得量與各直接測(cè)得量的函數(shù)關(guān)系式中，所得結(jié)果為間接測(cè)得量的最佳測(cè)量值，即測(cè)量結(jié)果（算術(shù)平均值）。 (8)（2）間接測(cè)得量的誤差間接測(cè)量中的誤差傳遞公式和全微分公式相同，只要將微分符號(hào)“d”改成誤差符號(hào)“”，便可得到誤差傳遞公式： （9）若將函數(shù)先取對(duì)數(shù)，再微分后化為誤差公式，則有 （10）式（5）是絕對(duì)誤差的傳遞公式，式（6）是相對(duì)誤差的傳遞公式。兩個(gè)公式中的 以及稱為單項(xiàng)誤差或分誤差，各項(xiàng)中的偏導(dǎo)數(shù)稱為誤差傳遞系數(shù)。誤差傳遞系數(shù)必須在平均值處取值。關(guān)于誤差的合成

19、，可按下列方式處理。a.極限誤差的合成 用算術(shù)平均偏差法處理直接測(cè)量誤差的，則用極限方法，即絕對(duì)值相加的方法合成誤差： （11） （12）這是因?yàn)楦髦苯訙y(cè)得量的誤差正、負(fù)號(hào)出現(xiàn)的可能性是相互獨(dú)立、偶然的，存在正負(fù)誤差相互抵消的可能性，估算時(shí)應(yīng)考慮最不利的情況?，F(xiàn)將常用函數(shù)關(guān)系的極限誤差合成公式列于表1中。表1 常用函數(shù)關(guān)系的極限誤差合成公式函數(shù)形式絕對(duì)誤差相對(duì)誤差由表1可見(jiàn)，若函數(shù)為和差形式，間接測(cè)得量的絕對(duì)誤差便是直接測(cè)得量的絕對(duì)誤差之和。對(duì)此類函數(shù)關(guān)系的測(cè)量，先算出絕對(duì)誤差，再利用相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差的關(guān)系式計(jì)算相對(duì)誤差，較為方便。如果函數(shù)是積商形式，因間接測(cè)得量的相對(duì)誤差是各直接測(cè)得量的相

20、對(duì)誤差之和，先計(jì)算相對(duì)誤差，再由相對(duì)誤差求絕對(duì)誤差就更簡(jiǎn)便。在使用表1時(shí)，若是多次測(cè)量，x，y，z，均以平均值代入。b.方和根合成 用標(biāo)準(zhǔn)偏差估算的各直接測(cè)得量的誤差、傳遞過(guò)程按方和根法合成，即:將各項(xiàng)誤差平方后相加，再開(kāi)方。所得結(jié)果便是間接測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差。其絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差的算式分別為 （13） （14）式中xyz等在多次測(cè)量情況下，均應(yīng)是平均標(biāo)準(zhǔn)偏差。表2 常用函數(shù)的方和根合成公式函數(shù)形式誤差合成公式在精度要求較高的實(shí)驗(yàn)中，都采用方和根合成法。例3 對(duì)某一物體的長(zhǎng)度測(cè)量了10次，結(jié)果如下63.57，63.58， 63.55 ，63.56， 63.59， 63.55 ，63.54， 6

21、3.57， 63.56， 63.57cm分別用算術(shù)平均誤差和標(biāo)準(zhǔn)誤差表示測(cè)量結(jié)果。解：首先根據(jù)定義求出平均值 第二步根據(jù)可求出，所以算術(shù)平均誤差為：的標(biāo)準(zhǔn)誤差為： 由于隨機(jī)誤差本身是一個(gè)估計(jì)值，所以其結(jié)果一般只取一位或兩位數(shù)字。我們統(tǒng)一只取一位。于是用算術(shù)平均誤差表示結(jié)果為：用標(biāo)準(zhǔn)誤差表示為在測(cè)量次數(shù)很多時(shí)（通常為5次以上），與存在如下關(guān)系： （15）用這種方法我們估計(jì)為：4、不同性質(zhì)誤差的合成自1980年國(guó)際計(jì)量局提出了關(guān)于實(shí)驗(yàn)不確定度的建議書(shū)INC1（1980）以來(lái)，越來(lái)越多地使用不確定度來(lái)處理實(shí)驗(yàn)誤差及不同性質(zhì)誤差的合成。不確定度表示由于測(cè)量誤差的存在而產(chǎn)生的對(duì)被測(cè)量值不能肯定的程度。測(cè)

22、量結(jié)果的不確定度一般包含好幾個(gè)分量，這些分量可以按估計(jì)其數(shù)值時(shí)所使用的方法歸并成兩類：A類用統(tǒng)計(jì)方法計(jì)算出的分量；B類用其它方法計(jì)算出的分量。任何不確定度的詳盡表述應(yīng)包括列出其全部分量，并注明得出每個(gè)分量的不確定度數(shù)值時(shí)所用的方法。表達(dá)A類不確定度一般用標(biāo)準(zhǔn)偏差，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差的倍數(shù)，B類不確定度不是用統(tǒng)計(jì)方法估算出來(lái)的，可借助于有關(guān)信息（如以前的數(shù)據(jù)、可能的分布規(guī)律或特點(diǎn)，有關(guān)材料和儀器的性能或特點(diǎn)，儀器說(shuō)明書(shū)或檢定證書(shū)、國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或?qū)I(yè)標(biāo)準(zhǔn)等）估算，以等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)偏差表達(dá)。A類和B類不確定度的合成稱為合成不確定度。例如，當(dāng)測(cè)量結(jié)果的不確定度包含i個(gè)A類分量，j個(gè)B類分量，而且這個(gè)分量都獨(dú)立、互不

23、相關(guān)時(shí)，合成不確定度如果這個(gè)分量中如果有不獨(dú)立、相關(guān)的分量，應(yīng)用廣義的方和根法合成，對(duì)此可參閱有關(guān)的專著。B類分量用等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的方法是將誤差除以相應(yīng)的置信因子，即誤差的概率分布不同，置信因子的取值也個(gè)相同。例如按正態(tài)分布的誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率0.50、0.68、0.90、0.95、0.99、0.997或1時(shí)，相應(yīng)的0.67、1、1.6、2、2.6、3。實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常遇到的情況是已知儀器誤差，但不知儀器誤差的分布規(guī)律。因?yàn)閮x器誤差給出的是誤差極限，即，如果儀器誤差隨機(jī)性較強(qiáng)，可以假設(shè)為正態(tài)分布，；如果儀器誤差系統(tǒng)性較強(qiáng)，可以假設(shè)為均勻分布，；如果還分辨不清，則以使不確定度的估計(jì)略為偏大的假設(shè)為

24、原則，取。即上式是已知儀器誤差而不知其分布規(guī)律的情形下，決定B類分量的常用公式。例題4 用外徑千分尺測(cè)量一鋼球直徑的數(shù)據(jù)為8.434、8.428、8.421、8.429、8.418、8.417、8.430、8.422（單位：mm）。試用不確定度評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果。解：是用統(tǒng)計(jì)方法得到的平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即A類不確定度。根據(jù)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB121685，在題意給定的測(cè)量范圍內(nèi)，千分尺的示值誤差為0.004mm。B類不確定度用等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)偏差表示為。S和U這兩個(gè)分量是完全獨(dú)立、不相關(guān)的，合成不確定度測(cè)量結(jié)果可表示為：5、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理步驟可將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的處理歸納為：（1）按實(shí)驗(yàn)的要求計(jì)算結(jié)果（寫(xiě)出公式、代入數(shù)據(jù)及

25、計(jì)算結(jié)果），運(yùn)算過(guò)程應(yīng)符合有效數(shù)字規(guī)則的要求。（2）絕對(duì)誤差只取一位有效數(shù)字。相對(duì)誤差一般取一位（或二位）有效數(shù)字，多余的數(shù)按進(jìn)位法舍棄。（3）測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)依據(jù)絕對(duì)誤差來(lái)取舍，最后一位應(yīng)和絕對(duì)誤差所在位置對(duì)齊。（4）測(cè)量結(jié)果表達(dá)形式： 或 因?yàn)椋ɑ颍┓从车氖谴嬖谡`差而不可靠的數(shù)字，因此測(cè)量結(jié)果的誤差一般只取一位不為零的有效數(shù)字，最多兩位。又因?yàn)橹信c同位的數(shù)字就是存疑數(shù)字，存疑位后面的數(shù)字沒(méi)有保留的必要，可按數(shù)字的修約規(guī)則處理。因此測(cè)量值與誤差的未位應(yīng)一致，即由誤差決定測(cè)量值的存疑位。實(shí)驗(yàn)最后結(jié)果的相對(duì)誤差一般只取一位有效數(shù)字，最多兩位。但有些實(shí)驗(yàn)誤差估算時(shí)是先算相對(duì)誤差，然后根據(jù)算出

26、絕對(duì)誤差，這時(shí)為了不損失測(cè)量的準(zhǔn)確度，相對(duì)誤差應(yīng)取兩位有效數(shù)字。四、處理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的幾種方法數(shù)據(jù)處理就是把實(shí)驗(yàn)所得到的原始數(shù)據(jù)，通過(guò)分析、整理、概括和計(jì)算，找出各量之間的內(nèi)在規(guī)律性，求得實(shí)驗(yàn)結(jié)果。這是實(shí)驗(yàn)的重要步驟。常用的數(shù)據(jù)處理方法有列表法、作圖法、最小二乘法、逐差法等。1、列表法 列表法就是將一組有關(guān)的測(cè)量數(shù)據(jù)和相應(yīng)的計(jì)算按測(cè)量先后或計(jì)算順序列成表格。這樣各物理量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系簡(jiǎn)單而又清楚地表示出來(lái)了，便于檢查測(cè)量結(jié)果是否合理，便于查找各有關(guān)量之間的規(guī)律性聯(lián)系，還有利于有效數(shù)字的簡(jiǎn)化，有利于分析誤差與計(jì)算結(jié)果，也容易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題。列表法是科技工作者最常用的一種處理數(shù)據(jù)的方法。列表時(shí)應(yīng)遵守下列原則

27、：（1）各欄目的排列順序與測(cè)量先后或計(jì)算順序相對(duì)應(yīng)，簡(jiǎn)單明了。（2）分類清楚，順序一致，格式整齊美觀。便于看出實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)間的關(guān)系，便于歸納處理。（3）在表格的上方寫(xiě)上表格的名稱，在表格內(nèi)的標(biāo)題欄中注明物理量的名稱和單位，不要把單位一一寫(xiě)在數(shù)字后。（4）數(shù)據(jù)應(yīng)正確反映測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)位。數(shù)字較大或較小時(shí)應(yīng)用科學(xué)記數(shù)法，表格同一列（行）統(tǒng)一科學(xué)記數(shù)法時(shí)應(yīng)在標(biāo)題欄中物理量單位旁注明，而不必每個(gè)數(shù)據(jù)后都寫(xiě)。2、作圖法作圖法是在坐標(biāo)紙上用圖線來(lái)描述各物理量之間的關(guān)系的一種方法。這各方法可以形象地、直觀地表示出量與量之間的關(guān)系及變化規(guī)律，因而它是尋找量與量之間的函數(shù)關(guān)系，尋求經(jīng)驗(yàn)公式的最常用、最有效的方法之

28、一。把實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)用圖線表示出來(lái)的方法稱為圖示法，利用圖線求出經(jīng)驗(yàn)公式的方法稱為圖解法。用圖示法可以作出儀器的校準(zhǔn)曲線。圖示法可以方便地得到許多有用的參量，如極值、直線的斜率和截距等；采用內(nèi)插法可以直接讀出未觀測(cè)區(qū)域中的值；采用外推法，在一定條件下，可以直接讀到測(cè)量數(shù)據(jù)范圍以外的數(shù)據(jù)。（1）圖示法規(guī)則a.標(biāo)寫(xiě)圖名 在坐標(biāo)圖下方中央或上方中央適當(dāng)位置標(biāo)明圖號(hào)、圖線名稱。b.坐標(biāo)紙的選擇 用標(biāo)準(zhǔn)方格坐標(biāo)紙，坐標(biāo)紙的大小根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的有效數(shù)位和數(shù)值范圍來(lái)確定。以橫坐標(biāo)代表自變量，縱坐標(biāo)代表因變量，原則上坐標(biāo)紙的一小格（也可取二小格）代表可疑數(shù)字前面的一位數(shù)字，即坐標(biāo)軸上的最小分度值應(yīng)與測(cè)量?jī)x器的最小刻度

29、相對(duì)應(yīng)，可靠數(shù)據(jù)在圖中也是可靠的，不可靠數(shù)據(jù)在圖中是估計(jì)的。以保證圖上讀數(shù)的有效數(shù)位不少于測(cè)量數(shù)據(jù)的有效數(shù)位，即不犧牲數(shù)據(jù)的精度，也不應(yīng)夸大精度。c.定坐標(biāo)軸和坐標(biāo)分度 用粗實(shí)線在坐標(biāo)紙上畫(huà)好坐標(biāo)軸，在軸端寫(xiě)上物理量的名稱（符號(hào)和單位（單位寫(xiě)于斜分?jǐn)?shù)線下），如物理量方向相反時(shí)應(yīng)在符號(hào)旁標(biāo)明正負(fù)。在坐標(biāo)軸上按比例標(biāo)出若干的分度值。分度值的選取應(yīng)便于讀數(shù)，坐標(biāo)軸的起點(diǎn)不一定為“0”。例如在常用的毫米方格坐標(biāo)紙上，應(yīng)以1cm代表1、2、4、5等數(shù)學(xué)，而不代表3、7、9等。分度的數(shù)字只需相隔10格或5格寫(xiě)一個(gè)，測(cè)量數(shù)據(jù)不應(yīng)寫(xiě)在坐標(biāo)紙軸上。分度范圍應(yīng)包括測(cè)量數(shù)據(jù)并略有富余，以便圖線能比較均勻?qū)ΨQ地在坐標(biāo)

30、圖上居中間位置，而不只占一角落。d.描點(diǎn)和連線 根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)，用“+”準(zhǔn)確標(biāo)出各點(diǎn)的坐標(biāo)。當(dāng)一張圖上要畫(huà)幾條曲線時(shí)，每條曲線采用不同的符號(hào)標(biāo)出，如“×”、“”、“”等。坐標(biāo)紙上標(biāo)出的數(shù)據(jù)點(diǎn)，每一點(diǎn)都包含誤差，因此數(shù)據(jù)點(diǎn)不一定都在同一光滑曲線上。由于系統(tǒng)誤差的特征是定向偏離，隨機(jī)誤差的特征是偏離過(guò)大或過(guò)小，過(guò)失誤差的特征是偏離很大，因而我們不能也不可能使曲線通過(guò)所有的點(diǎn)，但我們必須使曲線通過(guò)盡可能多的點(diǎn)，并使不在曲線上的點(diǎn)大致均勻地分布在曲線兩側(cè)。對(duì)于偏離過(guò)大的個(gè)別點(diǎn)應(yīng)當(dāng)舍去或重新測(cè)量核對(duì)。（2）圖解法根據(jù)圖示法畫(huà)出的實(shí)驗(yàn)圖線，利用解析幾何知識(shí)判斷圖線的類型，采用以下方法決定有關(guān)參數(shù)：

31、a.實(shí)驗(yàn)圖線是直線這時(shí)橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)反映的物理規(guī)律應(yīng)該有關(guān)系，用圖解法決定參數(shù)（斜率）和（截矩）時(shí)，應(yīng)在直角坐標(biāo)圖線上選取不太近的兩點(diǎn)和，這兩點(diǎn)的坐標(biāo)最好為整數(shù)，但不能用原始數(shù)據(jù)。斜率為，當(dāng)時(shí)的值就是截矩?；蛘咴龠x取一點(diǎn)，則。實(shí)驗(yàn)中，有時(shí)我們只能獲得有限的幾個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)，根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)畫(huà)出的實(shí)驗(yàn)曲線，反映了在某一范圍內(nèi)兩物理量之間的關(guān)系。在該范圍內(nèi)，物理量之間的對(duì)應(yīng)值可以一一求得，這種圖解法稱為內(nèi)插法。對(duì)于區(qū)域外的兩物理量之間的關(guān)系要用外推法來(lái)求。例題6 測(cè)定金屬電阻的溫度系數(shù)。金屬電阻隨溫度的變化關(guān)系為： 10 20 30 40 50 60 40 30 50 60 70 t() Rt() B

32、(25.0, 45.7 ) A (55.0, 64.5 ) 圖2 電阻隨溫度的變化式中為t時(shí)電阻，為0時(shí)的電阻，為該金屬的電阻溫度系數(shù)。實(shí)驗(yàn)測(cè)量是從20開(kāi)始的，測(cè)量數(shù)據(jù)如表3。由表3數(shù)據(jù)作圖2。恰當(dāng)選取A (55.0, 64.5 )，B (25.0, 45.7 )兩點(diǎn)，則直線斜率為將直線外推，使之與縱坐標(biāo)相交即可得：t ()20.025.030.035.040.045.050.055.060.0Rt()42.845.748.852.055.158.161.364.567.6表3 測(cè)定電阻隨溫度的變化b.實(shí)驗(yàn)圖線不是直線由于線性關(guān)系比非線性關(guān)系簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確，易于處理，誤差??；又由于直線是能夠高度精確畫(huà)出的圖線。因此，在實(shí)際工作中，常常將非線性關(guān)系通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q化為線性關(guān)系來(lái)處理。即把非直線圖線化為直線圖線（稱為曲線的改直），然后再圖