2022年[高三數(shù)學]圓錐曲線常用解法常規(guī)題型與性質

1、圓錐曲線八種解題方法、七種常規(guī)題型和性質（有相應例題詳解）總論：常用的八種方法1、定義法2、韋達定理法3、設而不求點差法4、弦長公式法5、數(shù)形結合法6、參數(shù)法（點參數(shù)、k參數(shù)、角參數(shù)）7、代入法中的順序8、充分利用曲線系方程法七種常規(guī)題型（1）中點弦問題（2）焦點三角形問題（3）直線與圓錐曲線位置關系問題（4）圓錐曲線的有關最值（范圍）問題（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知- 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。2曲線的形狀未知-求軌跡方程（6） 存在兩點關于直線對稱問題（7）兩線段垂直問題常用的八種方法1、定義法（1）橢圓有兩種定義。第一定義中，r1+r2=2a。第二定義中，r1=ed1r2

2、=ed2。（2）雙曲線有兩種定義。第一定義中，arr221，當 r1r2時，注意r2的最小值為c-a：第二定義中，r1=ed1，r2=ed2，尤其應注意第二定義的應用，常常將半徑與“點到準線距離”互相轉化。（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問題用定義解決更直接簡明。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -2

3、、韋達定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用。3、設而不求法解析幾何的運算中，常設一些量而并不解解出這些量，利用這些量過渡使問題得以解決，這種方法稱為“設而不求法”。設而不求法對于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點問題，常用 “點差法”，即設弦的兩個端點a(x1,y1),b(x2,y2),弦 ab 中點為 m(x0,y0)，將點 a、b 坐標代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點與

4、弦斜率的關系，這是一種常見的“設而不求”法，具體有：（1）)0(12222babyax與直線相交于a、b，設弦ab 中點為m(x0,y0)，則有02020kbyax。(其中 k 是直線 ab 的斜率 ) （2）)0,0(12222babyax與直線 l 相交于 a、b，設弦 ab 中點為 m(x0,y0)則有02020kbyax(其中 k 是直線 ab 的斜率 ) （3） y2=2px （p0） 與直線 l 相交于 a、 b 設弦 ab 中點為 m(x0,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p. (其中 k 是直線 ab 的斜率 ) 4、弦長公式法弦長公式：一般地，求直線與圓錐曲線相交的

5、弦ab 長的方法是： 把直線方程ykxb代入圓錐曲線方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的兩根設為xa，xb，判別式為，則|abkxxab12|12ak，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。5、數(shù)形結合法解析幾何是代數(shù)與幾何的一種統(tǒng)一，常要將代數(shù)的運算推理與幾何的論證說明結合起來精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -faphbq

6、考慮問題， 在解題時要充分利用代數(shù)運算的嚴密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數(shù)式子利用其結構特征，想象為某些圖形的幾何意義而構圖，用圖形的性質來說明代數(shù)性質。如“ 2x+y” ，令 2x+y=b，則 b 表示斜率為 -2 的直線在y 軸上的截距；如“x2+y2”, 令dyx22，則 d 表示點 p（x，y）到原點的距離；又如“23xy” ，令23xy=k，則 k表示點 p（x、y）與點 a（ -2，3）這兩點連線的斜率6、參數(shù)法（1）點參數(shù)利用點在某曲線上設點（常設“主動點”） ，以此點為參數(shù)，依次求出其他相關量，再列式求解。如x 軸上一動點p，常設 p （t ，0） ；直線 x-2y+1

7、=0 上一動點p。除設 p（x1,y1）外，也可直接設p（2y1-1,y1）（2）斜率為參數(shù)當直線過某一定點p(x0,y0) 時，常設此直線為y-y0=k(x-x0) ，即以 k 為參數(shù)，再按命題要求依次列式求解等。（3）角參數(shù)當研究有關轉動的問題時，常設某一個角為參數(shù)，尤其是圓與橢圓上的動點問題。7、代入法中的順序這里所講的 “代入法”，主要是指條件的不同順序的代入方法，如對于命題：“已知條件p1,p2求（或求證） 目標 q ” ，方法 1是將條件p1代入條件p2，方法 2 可將條件p2代入條件p1，方法 3 可將目標q以待定的形式進行假設，代入p1,p2, 這就是待定法。不同的代入方法常會

8、影響解題的難易程度，因此要學會分析，選擇簡易的代入法。八、充分利用曲線系方程法一、定義法【典型例題】例 1、(1)拋物線 c:y2=4x 上一點 p 到點 a(3,42)與到準線的距離和最小,則點p 的坐標為 _ (2)拋物線c: y2=4x 上一點q 到點b(4,1) 與到焦點f 的距離和最小,則點q 的坐標為。分析： （1）a 在拋物線外，如圖，連pf，則pfph，因而易發(fā)現(xiàn)，當 a、p、f 三點共線時，距離和最小。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d

9、f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -ffphy0 xa（2）b 在拋物線內，如圖，作qrl 交于 r，則當 b、q、r 三點共線時，距離和最小。解： （1） （2，2）連 pf，當 a、p、f 三點共線時，pfapphap最小，此時af 的方程為)1(13024xy即 y=22(x-1),代入 y2=4x 得 p(2,22)，（注： 另一交點為 (2,21)，它為直線 af 與拋物線的另一交點，舍去）（2） （1 ,41）過 q 作 qrl 交于 r，當 b、q、r 三點共線時，qrbqqfbq最小，此時q點的

10、縱坐標為1，代入 y2=4x 得 x=41， q(1 ,41) 點評：這是利用定義將“點點距離”與“點線距離”互相轉化的一個典型例題，請仔細體會。例 2、f 是橢圓13422yx的右焦點， a(1,1) 為橢圓內一定點，p為橢圓上一動點。（1）pfpa的最小值為（2）pfpa2的最小值為分析： pf 為橢圓的一個焦半徑，常需將另一焦半徑fp或準線作出來考慮問題。解： （1）4-5設另一焦點為f，則f(-1,0)連 af,pf542)(22faapafpafpapapfpa當 p是fa 的延長線與橢圓的交點時, pfpa取得最小值為4-5。（2）作出右準線l，作 phl 交于 h，因 a2=4，

11、b2=3，c2=1， a=2，c=1，e=21，phpfphpf2,21即phpapfpa2精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -xy0abcmd5當 a、p、h 三點共線時，其和最小，最小值為3142axca例 3、 動圓 m 與圓 c1:(x+1)2+y2=36 內切 ,與圓 c2:(x-1)2+y2=4 外切 ,求圓心 m 的軌跡方程

12、。分析： 作圖時， 要注意相切時的 “圖形特征” ：兩個圓心與切點這三點共線（如圖中的 a、m、c 共線， b、d、m 共線）。列式的主要途徑是動圓的“半徑等于半徑” （如圖中的mdmc） 。解：如圖，mdmc，26mbmadbmbmaac即8mbma（*）點 m 的軌跡為橢圓，2a=8，a=4，c=1，b2=15 軌跡方程為1151622yx點評：得到方程（*）后，應直接利用橢圓的定義寫出方程，而無需再用距離公式列式求解，即列出4)1() 1(2222yxyx，再移項，平方，相當于將橢圓標準方程推導了一遍，較繁瑣！例 4、abc 中， b(-5,0),c(5,0), 且 sinc-sinb=

13、53sina,求點 a 的軌跡方程。分析： 由于 sina、sinb、sinc 的關系為一次齊次式，兩邊乘以2r（r 為外接圓半徑） ，可轉化為邊長的關系。解： sinc-sinb=53sina 2rsinc-2rsinb=532rsina bcacab53即6acab（*）點 a 的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點）2a=6，2c=10 a=3， c=5， b=4 所求軌跡方程為116922yx（x3）點評： 要注意利用定義直接解題，這里由（* ）式直接用定義說明了軌跡（雙曲線右支）精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 38 頁

14、- - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -xy0maba1a2m1m2b1b2例 5、定長為 3 的線段 ab 的兩個端點在y=x2上移動， ab 中點為 m，求點 m 到 x 軸的最短距離。分析： （1）可直接利用拋物線設點，如設 a(x1,x12)，b(x2，x22)，又設 ab 中點為 m(x0y0)用弦長公式及中點公式得出y0關于 x0的函數(shù)表達式，再用函數(shù)思想求出最短距離。（2）m 到 x 軸的距離是一種“點線距離”，可先考慮m 到準線的距離，

15、想到用定義法。解法一： 設 a(x1，x12)，b(x2，x22)，ab 中點 m(x0，y0) 則0222102122221221229)()(yxxxxxxxxx由得 (x1-x2)21+(x1+x2)2=9 即(x1+x2)2-4x1x21+(x1+x2)2=9 由、得2x1x2=(2x0)2-2y0=4x02-2y0代入得(2x0)2-(8x02-4y0)1+(2x0)2=9 2020041944xxy，1149) 14(4944202020200 xxxxy, 5192450y當 4x02+1=3 即220 x時，45)(min0y此時)45,22(m法二： 如圖，32222abbf

16、afbbaamm精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -xyf1f20abcd232mm， 即23411mm，451mm， 當 ab 經(jīng)過焦點f時取得最小值。m 到 x 軸的最短距離為45點評： 解法一是列出方程組，利用整體消元思想消x1，x2，從而形成y0關于 x0的函數(shù)，這是一種“設而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將

17、中點m 到 x 軸的距離轉化為它到準線的距離，再利用梯形的中位線，轉化為a、b 到準線的距離和，結合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊（當三角形“壓扁”時，兩邊之和等于第三邊）的屬性，簡捷地求解出結果的，但此解法中有缺點，即沒有驗證ab 是否能經(jīng)過焦點f，而且點m 的坐標也不能直接得出。二、韋達定理法【典型例題】例 6、 已知橢圓)52(1122mmymx過其左焦點且斜率為1 的直線與橢圓及準線從左到右依次交于a、b、c、d、設 f(m)=cdab,（1）求 f(m), （2）求 f(m) 的最值。分析： 此題初看很復雜，對f(m) 的結構不知如何運算，因a、b 來源于“不同系統(tǒng)” ，a 在準線

18、上， b 在橢圓上，同樣c 在橢圓上， d 在準線上，可見直接求解較繁，將這些線段“投影”到x 軸上，立即可得防)()(22)(2)()(cdabcdabxxxxxxxxmf)()(2dacbxxxx)(2cbxx此時問題已明朗化，只需用韋達定理即可。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -解： （1）橢圓1122mymx中， a2=m，b2

19、=m-1 ，c2=1，左焦點f1(-1,0) 則 bc:y=x+1, 代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0 得(m-1)x2+m(x+1)2-m2+m=0 (2m-1)x2+2mx+2m-m2=0 設 b(x1,y1),c(x2,y2),則 x1+x2=-)52(122mmm12222)()(2)()(2)(2121mmxxxxxxxxxxcdabmfcacdab（2）)1211 (2121122)(mmmmf當 m=5 時，9210)(minmf當 m=2 時，324)(maxmf點評： 此題因最終需求cbxx，而 bc 斜率已知為1，故可也用“點差法”設bc 中點為 m(

20、x0,y0),通過將 b、c 坐標代入作差，得0100kmymx，將 y0=x0+1，k=1 代入得01100mxmx，120mmx，可見122mmxxcb當然，解本題的關鍵在于對cdabmf)(的認識，通過線段在x 軸的“投影”發(fā)現(xiàn)cbxxmf)(是解此題的要點。三、點差法與圓錐曲線的弦的中點有關的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點弦問題。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 38 頁

21、 - - - - - - - - -解圓錐曲線的中點弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關系、中點坐標公式及參數(shù)法求解。若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為),(11yxa、),(22yxb，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦ab的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。1. 以定點為中點的弦所在直線的方程例 1、過橢圓141622yx內一點)1 ,2(m引一條弦，使弦被m點平分，求這條弦所在直線的方程。解： 設直線與橢圓的交點為),(11yxa、),(22yxb)1 ,2(

22、m為ab的中點421xx221yy又a、b兩點在橢圓上，則1642121yx，1642222yx兩式相減得0)(4)(22212221yyxx于是0)(4)(21212121yyyyxxxx21244)(421212121yyxxxxyy即21abk，故所求直線的方程為)2(211xy，即042yx。例 2、已知雙曲線1222yx，經(jīng)過點)1 , 1(m能否作一條直線l，使l與雙曲線交于a、b，且點m是線段ab的中點。若存在這樣的直線l，求出它的方程，若不存在，說明理由。策略： 這是一道探索性習題，一般方法是假設存在這樣的直線，然后驗證它是否滿足題設的條件。本題屬于中點弦問題，應考慮點差法或韋

23、達定理。解： 設存在被點m平分的弦ab，且),(11yxa、),(22yxb則221xx，221yy122121yx，122222yx兩式相減，得精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -0)(21)(21212121yyyyxxxx22121xxyykab故直線)1(21:xyab由12)1(2122yxxy消去y，得03422xx08324

24、)4(2這說明直線ab與雙曲線不相交，故被點m平分的弦不存在，即不存在這樣的直線l。評述： 本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結果，請務必小心。由此題可看到中點弦問題中判斷點的m位置非常重要。 （1）若中點m在圓錐曲線內，則被點m平分的弦一般存在；（2）若中點m在圓錐曲線外，則被點m平分的弦可能不存在。2. 過定點的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡例 3、已知橢圓1257522xy的一條弦的斜率為3，它與直線21x的交點恰為這條弦的中點m，求點m的坐標。解： 設弦端點),(11yxp、),(22yxq，弦pq的中點),(00yxm，則210 x12021xxx，0212yyy又125752

25、121xy，125752222xy兩式相減得0)(75)(2521212121xxxxyyyy即0)( 3)(221210 xxyyy0212123yxxyy32121xxyyk3230y，即210y點m的坐標為)21,21(。例 4、已知橢圓1257522xy, 求它的斜率為3 的弦中點的軌跡方程。解： 設弦端點),(11yxp、),(22yxq，弦pq的中點),(yxm，則xxx221，yyy221精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - -

26、- - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -又125752121xy，125752222xy兩式相減得0)(75)(2521212121xxxxyyyy即0)(3)(2121xxxyyy，即yxxxyy3212132121xxyyk33yx，即0yx由12575022xyyx，得)235,235(p)235,235(q點m在橢圓內它的斜率為3 的弦中點的軌跡方程為)235235(0 xyx例 1 已知橢圓2212xy，求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程. 解設弦的兩個端點分別為1122,p x yq xy，pq的中點為,mx y. 則

27、221112xy， （1）222212xy， （2）12得：2222121202xxyy，1212121202xxyyyyxx. 又121212122 ,2 ,2yyxxx yyyxx，40 xy. 弦中點軌跡在已知橢圓內，所求弦中點的軌跡方程為40 xy（在已知橢圓內） . 例 2 直線:50laxya（a是參數(shù)）與拋物線2:1fyx的相交弦是ab，則弦ab的中點軌跡方程是. 解設1122,a x yb xy、，ab中點,mx y，則122xxx. :150l a xy，l過定點1, 5n，51abmnykkx. 又2111yx， （ 1）2221yx， （2）精品學習資料 可選擇p d f

28、 - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -12得：2212121212112yyxxxxxx，1212122abyykxxxx. 于是5221yxx，即227yx. 弦中點軌跡在已知拋物線內，所求弦中點的軌跡方程為227yx（在已知拋物線內） . 3. 求與中點弦有關的圓錐曲線的方程例 5、 已知中心在原點，一焦點為)50,0(f的橢圓被直線23:xyl截得的弦的中點的

29、橫坐標為21，求橢圓的方程。解： 設橢圓的方程為12222bxay，則5022ba設弦端點),(11yxp、),(22yxq，弦pq的中點),(00yxm，則210 x，212300 xy12021xxx，12021yyy又1221221bxay，1222222bxay兩式相減得0)()(2121221212xxxxayyyyb即0)()(212212xxayyb222121baxxyy322ba聯(lián)立解得752a，252b所求橢圓的方程是1257522xy例 3 已知abc的三個頂點都在拋物線232yx上，其中2,8a，且abc的重心g是拋物線的焦點，求直線bc的方程 . 精品學習資料 可選擇

30、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -解由已知拋物線方程得8,0g.設bc的中點為00,mxy，則agm、三點共線，且2aggm，g分am所成比為2，于是002281282012xy，解得00114xy，11, 4m. 設1122,b x yc xy，則128yy. 又21132yx， （1）22232yx， （2）12得：22121232yyxx，121

31、212323248bcyykxxyy. bc所在直線方程為4411yx，即4400 xy. 例 4 已知橢圓222210 xyabab的一條準線方程是1x，有一條傾斜角為4的直線交橢圓于ab、兩點，若ab的中點為1 1,2 4c，求橢圓方程 . 解設1122,a x yb xy、，則121211,2xxyy，且2211221xyab， （1）2222221xyab， （2）12得：2222121222xxyyab，221212221212112bxxyybxxayya，21221221abyybkxxa，222ab， （3）又21ac，2ac， （4）而222abc， （5）由（ 3） ， （

32、4） ， （5）可得2211,24ab， 所求橢圓方程為2211124xy. 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -4. 圓錐曲線上兩點關于某直線對稱問題例 6、已知橢圓13422yx，試確定的m取值范圍，使得對于直線mxy4，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱。解：設),(111yxp，),(222yxp為橢圓上關于直線mxy4的對稱

33、兩點，),(yxp為弦21pp的中點，則12432121yx，12432222yx兩式相減得，0)(4)( 322212221yyxx即0)(4)(321212121yyyyxxxxxxx221，yyy221，412121xxyyxy3這就是弦21pp中點p軌跡方程。它與直線mxy4的交點必須在橢圓內聯(lián)立mxyxy43，得mymx3則必須滿足22433xy，即22433)3(mm，解得1313213132m5.求直線的斜率例 5 已 知 橢 圓221259xy上 不 同 的 三 點11229,4,5a xybcxy與 焦 點4,0f的距離成等差數(shù)列.（1）求證：128xx； （2）若線段ac的

34、垂直平分線與x軸的交點為t，求直線bt的斜率k. （1）證 略. （2）解128xx，設線段ac的中點為04,dy. 又ac、在橢圓上，22111259xy， （1）22221259xy， （2）12得：22221212259xxyy，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -1212121200998362525 225xxyyxxyyy

35、y. 直線dt的斜率02536dtyk，直線dt的方程為0025436yyyx. 令0y，得6425x，即64,025t，直線bt的斜率9055644425k. 6.確定參數(shù)的范圍例 6 若拋物線2:cyx上存在不同的兩點關于直線:3lym x對稱，求實數(shù)m的取值范圍 . 解當0m時，顯然滿足. 當0m時 ， 設 拋 物 線c上 關 于 直 線:3lym x對 稱 的 兩 點 分 別 為1122,p xyq xy、，且pq的中點為00,mxy，則211yx， （1）222yx， （2）12得：221212yyxx，1212120112pqyykxxyyy，又1pqkm，02my. 中點00,m

36、xy在直線:3lym x上，003ym x，于是052x. 中點在拋物線2yx區(qū)域內m200yx，即2522m，解得1010m. 綜上可知，所求實數(shù)m的取值范圍是10,10. 7.證明定值問題例 7 已知ab是橢圓222210 xyabab不垂直于x軸的任意一條弦，p是ab的中點，o為橢圓的中心.求證：直線ab和直線op的斜率之積是定值. 證明設1122,a x yb xy且12xx，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - -

37、 - - - - - - 第 15 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -則2211221xyab， （1）2222221xyab， （2）12得：2222121222xxyyab，2121221212bxxyyxxayy，2121221212abbxxyykxxayy. 又1212opyykxx，221abopbkka，22abopbkka（定值） . 8.其它?？瓷先ゲ皇侵悬c弦問題，但與之有關，也可應用。例 9，過拋物線)0(22ppxy上一定點p（xy00,） （y00） ，作兩條直線分別交拋物線于 a（xy11,） ，b（22, yx） （1）求該拋物線上縱坐標為p2的點

38、到其焦點f的距離；（2）當 pa 與 pb 的斜率存在且傾斜角互補時，求021yyy的值，并證明直線ab 的斜率是非零常數(shù). 解(1) 略(2) ：設 a（y12,y1）,b(y22,y2)，則 kab=122122121yyyyyykpa=02202202012012011,1yyyyyykyyyyyypb由題意， kab=-kac, 02102012,11yyyyyyy則則： kab=021y為定值。例 10、 拋物線方程，直線與 軸的交點在拋物線準線的右邊。yp xpxytx210() ()（1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點（2）設直線與拋物線的交點為a、b，且 oaob，求 p

39、關于 t 的函數(shù) f(t)的表達式。（1）證明：拋物線的準線為114：xp由直線 x+y=t 與 x 軸的交點（ t，0）在準線右邊，得tptp14440，而精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -由消去得xytyp xy21()xtp xtp2220()()()()2422tptpptp()440故直線與拋物線總有兩個交點。（2）解：設

40、點a(x1， y1)，點 b(x2，y2) xxtpx xtp121222，1oboakkoboaq則 x xy y12120又 y ytxtx1212()()x xy yttp1212220()pf ttt( )22又，得函數(shù)的定義域是ptpf t0440( )()()200，【同步練習】1、已知： f1，f2是雙曲線12222byax的左、右焦點，過f1作直線交雙曲線左支于點a、b，若mab， abf2的周長為（）a、4a b、4a+m c、 4a+2m d、4a-m 2、若點p 到點f(4,0)的距離比它到直線x+5=0 的距離小1，則p 點的軌跡方程是（）a、y2=-16x b、y2=

41、-32x c、y2=16x d、y2=32x 3、已知 abc 的三邊 ab 、bc、ac 的長依次成等差數(shù)列，且acab，點 b、c的坐標分別為 (-1， 0)，(1，0)，則頂點a 的軌跡方程是（）a、13422yxb、)0(13422xyxc、)0(13422xyxd、)00(13422yxyx且精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 38 頁 - - - - - - - -

42、 -4、過原點的橢圓的一個焦點為f(1， 0)，其長軸長為4，則橢圓中心的軌跡方程是（）a、) 1(49)21(22xyxb、)1(49)21(22xyxc、)1(49)21(22xyxd、)1(49)21(22xyx5、已知雙曲線116922yx上一點 m 的橫坐標為4，則點 m 到左焦點的距離是6、拋物線y=2x2截一組斜率為2 的平行直線，所得弦中點的軌跡方程是7、已知拋物線y2=2x 的弦 ab 所在直線過定點p(-2，0)，則弦 ab 中點的軌跡方程是8、過雙曲線x2-y2=4 的焦點且平行于虛軸的弦長為9、直線 y=kx+1 與雙曲線x2-y2=1 的交點個數(shù)只有一個，則k= 10

43、、設點 p 是橢圓192522yx上的動點， f1，f2是橢圓的兩個焦點，求sinf1pf2的最大值。11、已知橢圓的中心在原點，焦點在x 軸上，左焦點到坐標原點、右焦點、右準線的距離依次成等差數(shù)列， 若直線 l 與此橢圓相交于a、 b 兩點，且 ab 中點 m 為 (-2， 1)，34ab，求直線 l 的方程和橢圓方程。12、已知直線l 和雙曲線)0,0(12222babyax及其漸近線的交點從左到右依次為a、b、c、d。求證：cdab。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學

44、習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -參考答案1、c abfbfaafaf2,21212，,24,42222maabbfafaabbfaf選 c 2、c 點 p到 f 與到 x+4=0 等距離， p點軌跡為拋物線p=8 開口向右，則方程為y2=16x ，選 c 3、d 22acab，且acab點 a 的軌跡為橢圓在y 軸右方的部分、又a、b、c 三點不共線，即y0，故選 d。4、a 設中心為 (x，y)，則另一焦點為(2x-1，2y)，則原點到兩焦點距離和為4得4)2()12(122yx，

45、49)21(22yx又 ca,2)1(22yx(x-1)2+y221) 7、y2=x+2(x2) 設 a(x1，y1)，b(x2，y2)，ab 中點 m(x ，y)，則2)(),(2,2,2212121212221222121yyxxyyxxyyxyxy20 xykkmpab，222yxy，即 y2=x+2 又弦中點在已知拋物線內p，即 y22x，即 x+22 8、4 22, 8, 4222ccba，令22x代入方程得8-y2=4 y2=4 ， y=2，弦長為4 9、12或y=kx+1 代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1)2-1=0 (1-k2)x2-2kx-2=0 0012k得 4k

46、2+8(1-k2)=0，k=21-k2=0 得 k=1 10、解： a2=25，b2=9，c2=16 設 f1、f2為左、右焦點，則f1(-4，0)f2(4，0) 設212211,pffrpfrpf則221222121)2(cos22crrrrrr2-得 2r1r2(1+cos)=4b21+cos=212212224rrbrrbr1+r2212rr，r1r2的最大值為a21+cos的最小值為222ab，即 1+cos2518cos257，257arccos0則當2時， sin取值得最大值1，即 sinf1pf2的最大值為1。11、設橢圓方程為)0(12222babyax由題意： c、 2c、c

47、ca2成等差數(shù)列，精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -22224caccacc即，a2=2(a2-b2),a2=2b2橢圓方程為122222bybx，設 a(x1，y1)，b(x2，y2) 則12221221bybx12222222bybx-得022222122221byybxx0222kbybxmm即022kk=1 直線 ab 方程

48、為 y-1=x+2 即 y=x+3 ， 代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0 3x2+12x+18-2b2=0，342)218(121231112221bxxab解得 b2=12，橢圓方程為1122422yx，直線 l 方程為 x-y+3=0 12、證明：設a(x1，y1)， d(x2，y2)，ad 中點為 m(x0， y0)直線 l 的斜率為k，則11222222221221byaxbyax-得0222020kbyax設),(),(),(002211yxmbcyxcyxb中點為，則002212221222112211byaxbyax -得0222102

49、1kbyax由、知m、m均在直線022:22kbyaxl上，而 m、m又在直線l 上 ，若 l 過原點，則b、c 重合于原點，命題成立若 l 與 x 軸垂直， 則由對稱性知命題成立若 l 不過原點且與x 軸不垂直，則m 與m重合cdab四、弦長公式法精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -若直線bkxyl :與圓錐曲線相交與a、b兩點，)

50、,(),2211yxbyxa（則弦長221221)()(yyxxab221221)()(bkxbkxxx2121xxk2122124)(1xxxxk同理：|ab|=122121224)(|11yyyyyyk特殊的，在如果直線ab 經(jīng)過拋物線的焦點，則|ab|=? 一般地， 求直線與圓錐曲線相交的弦ab 長的方法是： 把直線方程ykxb代入圓錐曲線方程中，得到型如axbxc20的方程，方程的兩根設為xa，xb，判別式為，則|abkxxab12|12ak，若直接用結論，能減少配方、開方等運算過程。例求直線xy10被橢圓xy22416所截得的線段ab 的長。 結合圖形的特殊位置關系，減少運算在求過圓

51、錐曲線焦點的弦長時，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點，結合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復雜運算。例題 1：已知直線1xy與雙曲線14:22yxc交于 a、b兩點，求 ab的弦長解：設),(),2211yxbyxa（由14122yxxy得224(1)40 xx得23250 xx則有35322121xxxx得，2383209424)(1212212xxxxkab練習 1：已知橢圓方程為1222yx與直線方程21:xyl相交于 a、b兩點，求ab的弦長練習 2：設拋物線xy42截直線mxy2所得的弦長ab長為53，求m的值精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

52、- - 第 22 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -分析：聯(lián)立直線與拋物線的方程，化簡，根據(jù)根與系數(shù)的關系，求弦長解：設),(),2211yxbyxa（聯(lián)立方程122122yxxy得03462xx則21322121xxxx3112)21(4)32(24)(12212212xxxxkab解: 設),(),2211yxbyxa（聯(lián)立方程 :mxyxy242得0)44(422mxmx則4122121mxxmxx53)1(54)(122

53、212212mmxxxxkab4m例題 2：已知拋物線32xy上存在關于直線0yx對稱相異的兩點a、b，求弦長ab分析： a、 b兩點關于直線0yx對稱， 則直線ab的斜率與已知直線斜率的積為1且ab的中點在已知直線上解：ba、關于0:yxl對稱1ablkk1lk1abk設直線ab的方程為bxy，),(),2211yxbyxa（聯(lián)立方程32xybxy化簡得032bxx121xxab中點)21,21(bm在直線0yx上1b022xx則212121xxxx238) 1(24)(12212212xxxxkab小結：在求直線與圓錐曲線相交的弦長時一般采用韋達定理設而不求的方法，在求解過程中一般采取步驟

54、為：設點聯(lián)立方程消元韋達定理弦長公式精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -作業(yè)：（1）過拋物線24yx的焦點，作傾斜角為的直線交拋物線于a， b 兩點，且316ab，求的值（2）已知橢圓方程1222yx及點)2,0(b，過左焦點1f與b的直線交橢圓于c、d兩點，2f為橢圓的右焦點，求2cdf的面積?！镜湫屠}】五、數(shù)形結合法例 1： 已

55、知 p(a,b) 是直線 x+2y-1=0 上任一點，求 s=136422baba的最小值。分析： 由此根式結構聯(lián)想到距離公式，解： s=22)3()2(ba設 q(-2,3), 則 s=|pq|, 它的最小值即q到此直線的距離smin5535|1322|點評： 此題也可用代入消元的方法轉化為二次函數(shù)的最小值問題（注： 可令根式內為t 消元后，它是一個一元二次函數(shù)）例 2：已知點 p(x,y) 是圓 x2+y2-6x-4y+12=0 上一動點，求xy的最值。解： 設 o（0，0） ，則xy表示直線 op的斜率，由圖可知，當直線op與圓相切時，xy取得最值，設最值為k，則切線： y=kx, 即

56、kx-y=0 圓(x-3)2+(y-2)2=1, 由圓心（ 3，2）到直線kx-y=0 的距離為 1 得11|23|2kk, 433k433,433maxminxyxy例 3：直線 l ：ax+y+2=0 平分雙曲線191622yx的斜率為1 的弦，求a 的取值范圍 . 分析： 由題意， 直線 l 恒過定點p(0,-2)， 平分弦即過弦中點，可先求出弦中點的軌跡，再求軌跡上的點m與點 p的連線的斜率即-a 的范圍。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f

57、- - - - - - - - - - - - - - 第 24 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -解：設 a(x1,y1),b(x2,y2) 是雙曲線上的點，且ab的斜率為1，ab的中點為m(x0,y0) 則：1916191622222121yxyx- 得01916,09160022122212yxyyxx即即 m(x0,y0) 在直線 9x-16y=0 上。由 9x-16y=0 得 c79,716,d79,716191622yx點 m的軌跡方程為9x-16y=0(x7716) kpd=167297160792,167297160792pdk由圖知，當動直線l 的斜率 k1

58、6729,169169,16729時，l 過斜率為1 的弦 ab的中點 m ，而 k=-a a 的取值范圍為：16972,169169,16729點評： 此題是利用代數(shù)運算與幾何特征相結合的方法而解得的，由圖得知，弦ab中點軌跡并不是一條直線 （9x-16y=0） ， 而是這條直線上的兩條射線 （無端點） 。 再利用圖形中的特殊點 （射線的端點 c 、d ）的屬性（斜率）說明所求變量a 的取值范圍。六、參數(shù)法例 4（k 參數(shù) ） ：過 y2=x 上一點 a （4，2）作傾斜角互補的兩條直線ab 、ac交拋物線于b、c兩點。求證：直線bc的斜率是定值。分析： （ 1）點 a為定點，點b、c為動點

59、，因直線ab 、ac的傾斜角互補，所以kab與 kac精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 25 頁，共 38 頁 - - - - - - - - -相反，故可用“ k 參數(shù)”法，設ab的斜率為k，寫出直線ab的方程，將ab的方程與拋物線方程聯(lián)立， 因 a為已知交點， 則方程有一根已知故用韋達定理容易解出點b坐標， 同理可得點 c坐標，再求bc斜率。（2） 因點 b、 c在拋物線上移動， 也可

60、用“點參數(shù)” 法，設 b （ x1,y1） ,c(x2,y2), 因 x1=y12,x2=y22,即可設 b（y12,y1） ,c(y22,y2) 。再考慮kab=-kac得參數(shù) y1,y2的關系。解法 1： 設 ab的斜率為k，則 ac的斜率為 -k ab：y-2=k(x-4),與 y2=x 聯(lián)立得： y-2=k(y2-4), 即 ky2-y-4k+2=0 y=2 是此方程的一解，2yb=kkykkb21,24xb=yb2=,44122kkkbkkkkk21,44122kac=-k, 以-k 代替 k 代入 b點坐標得ckkkkk21,44122kbc=414414412121222kkkk