等腰三角形三線合一典型題型[1]#(精選.)

1、等腰三角形三線合一專題訓練3 / 14word.姓名例1 如圖，四邊形 ABCD中，AB / DC, BE、CE分別平分/ ABC、/ BCD，且點E在AD上。 求證：BC=AB+DC。BC = 3, CD = 1, E是AD邊中點。求證:CE 丄 BE。變2：如圖，四邊形 ABCD中，AD / BC, E是CD上一點，且 AE、BE分別平分/ BAD、/ ABC.(1)求證：AE丄BE;(2)求證：E是CD的中點；(3)求證：AD+BC=AB.an變3:A ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.若D為BC的中點，過 D作DM丄DN分別交AB、AC 于 M、N，求證：（1）D

2、M = DN。M、N。問DM和DN有何數(shù)量關(guān)系。 已知：如圖，AB=AC , E為AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，且 BE=CF , EF交BC于點D .求證：DE=DF .已知：如圖，AB=AC , E為AB上一點，F(xiàn)是AC延長線上一點，且， EF交BC于點D，且D為EF的中點. 求證：BE=CF .利用面積法證明線段之間的和差關(guān)系PCL AB于 D, PEL AC于 E, ?CF丄1、如圖，在 ABC中, AB=AC P為底邊BC上的一點,變1若P點在直線BC上運動，其他條件不變，則PD、PE與CF的關(guān)系又怎樣，請你作 圖，證明。1、已知等腰三角形的兩邊長分別為 4、9,則它的周長為（）

3、A 17 B 22 C 17 或 22 D 13根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)尋求規(guī)律11例1.在 ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= / ACB BD與CE相交于點 0,如圖，/ B0C的大小22與/A的大小有什么關(guān)系？1 1若/ 1=/ ABC / 2=/ ACB則/ BOCWZ A大小關(guān)系如何？3311若/ 1=/ ABC / 2=/ ACB則/ B0C與 Z A大小關(guān)系如何?nn會用等腰三角形的判定和性質(zhì)計算與證明例2.如圖，等腰三角形 ABC中，AB=AC 一腰上的中線BD?將這個等腰 三角形周長分成 15和6兩部分，求三角形的腰長及底邊長.9 / 14word.利用等腰三角形

4、的性質(zhì)證線段相等例3.如圖，P是等邊三角形 ABC內(nèi)的一點，連結(jié) PA PB PC, ?以BP為邊作/ PBQ=60，且BQ=BP 連結(jié)CQ（1）觀察并猜想 AP與CQ之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,連結(jié)PQ試判斷 PQC的形狀，并說明理由.例1、等腰三角形底邊長為 5cm,腰上的中線把三角形周長分為差是3cm的兩部分，則腰長為（）A、2cmB 、8cm C 、2cm 或 8cm D 、不能確定例2、已知ABC的高，AB=AC ABC周長為20cm,A ADC的周長為14cm,求AD的長。例3、如圖，已知 BC=3,Z ABC和/ACB的平分線相交于點

5、 0, 0E/ AB, OF/ AC,求厶OEF的周長。例4、如圖，已知等邊厶 ABC中，D為AC上中點，延長 BC到E,使CE=CD連接DE試說明DB=DEA例5、等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角為45°，則這個三角形是（）A、銳角三角形 B 、鈍角三角形 C 、等邊三角形D 、等腰直角三角形例6、（ 1）等腰三角形的腰長為10,底邊上的高為6,則底邊的長為 。（2） 直角三角形的周長為12cm斜邊的長為5cm,則其面積為 （3） 若直角三角形三邊為1, 2，c，則c=。例7、下列說法：若在 ABC中a2+b3 £,則厶ABC不是直角三角形； 若 ABC是直角三角形，/C

6、=9d,則a2+b2=c2; 若在 ABC中，a2+b2=c2，則/ C=9d; 若兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，可以判定這個三角形是直角三角形。正確的有 （把你認為正確的序號填在橫線上）例8正三角形 ABC所在平面內(nèi)有一點 P,使得 PAB PBC PCA都是等腰三角形，則這樣的P點有（ ）（A） 1 個（B） 4 個（C） 7 個（D） 10 個9.四邊形）ABCDLAB=BC/ AB(=Z CDA90°, BE! AD于點E,且四邊形 ABC的面積為8,則BEA.B. 3C.2 2D. 2,310.已知 ABC為正三角形,P為其內(nèi)一點，且AP=4, BP=23 , CP=2,

7、則厶 ABC 的邊長為(A)2、5(B) 2 7(C) 4(D) 4 2三鞏固練習1、已知等腰三角形的一邊等于5,另一邊等于9,求它的周長。2、在厶 ABC中，AB=AC / B=400,則/ A=3、等腰三角形的一個內(nèi)角是700，則它的頂角為 4、有一個內(nèi)角為40°的等腰三角形的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)為如圖，在 Rt ABC中，/ 8 105°，直線 BD交 AC于 D,BA把直角三角形沿著直線 BD翻折，點C恰好落在斜邊 AB上,如果 ABD是等腰三角形，那么/ A等于（）(A)40 °(B) 30 0(C) 25°(D ) 15°6、若厶AB

8、C三邊分別為a、（A）等腰三角形（B）7、判定兩個等腰三角形全等的條件可以是b、c,且滿足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c, 直角三角形（C）等腰直角三角形則厶ABC的形狀為（）（D）等邊三角形A、有一腰和一角對應(yīng)相等、有兩邊對應(yīng)相等C 、有頂角和一個底角對應(yīng)相等&等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于（A、頂角 B 、底角 C 、頂角的一半、有兩角對應(yīng)相等）D 、底角的一半9、 在等腰三角形 ABC中，/ A與/ B度數(shù)之比為5： 2,則/ A的度數(shù)是（D、75° 或 100 °10、 如圖，P、Q是厶ABC邊BC上的兩點，且 QC= AP= AQ=

9、BP= PQ 則/A、 100° B 、 75°C 、 150°BAC=-()CBD11、A 1250、1200、1300、90010題圖12、如圖，AB= AC,11題圖AE= EC, / ACE= 280,則/ B 的度數(shù)是12題圖A 、600B 700C 760D 450（13、如圖是一個等邊三角形木框，甲蟲P在邊框AC上（端點A C除外），設(shè)甲蟲P到另外兩邊距離之和為 d，等邊三角形ABC的高為h, 則d與h的大小關(guān)系是（）【解題方法指導(dǎo)】例1.已知，如圖，AB = AC = CD，求證：/ B = 2/ D例2.已知，如圖， ABC是等邊三角形， AD/

10、BC , AD丄BD , BC = 6，求AD的長。13 / 14word.【考點指要】等腰三角形、等邊三角形及含30°角的直角三角形是應(yīng)用非常廣泛的圖形，因此，在中考試題中經(jīng)常以證明題或計算題頻頻出現(xiàn)，而且經(jīng)常把它們結(jié)合在一道題中加以應(yīng)用，雖然題目的難度不是很大,但也要善于分析，找出圖形中有關(guān)的性質(zhì)?！镜湫屠}分析】例1.（ 2005年 蘇州）如圖，等腰三角形 ABC的頂角為120°,腰長為10,則底邊上的高 AD =。例2.已知，如圖，ABC中，/ C = 90°, AB的垂直平分線交AB 于 E，交 AC 于 D , AD = 8，/A = 30°

11、，求CD的長。B例3.已知，如圖， ABC是等邊三角形，E是AB上一點，D是AC上一點，且 AE = CD，又BD 與CE交于點F,試求/ BFE的度數(shù)?！揪C合測試】1.已知，如圖,CAB = AC，/ ABD =Z ACD，求證：DB = DC2.已知，如圖,D、E 是 BC 上兩點，AB = AC , AD = AE，求證：BD = CE3.已知，如圖,ABC 中，DE/BC , AB = AC，求證：AD = AE4.已知，如圖， 又BD = CE,求證:5.已知，如圖,ABC中，AB = AC , D是AB上一點，E是AC延長線上一點， DE交BC于F,DF = EFED是BC上一點，

12、 ABC、 BDE都是等邊三角形，求證： AD = CE6.已知，如圖， ABC中，/ B = 90°, AC的垂直平分線交 AC于D，交BC于E,又/ C= 15 EC = 10,求AB的長。圖5例6、如圖11，在 ABC中，/ A = 90° AB = AC , D為BC邊中點，E、F分別 在AB、AC上，且 DE丄DF，求證：AE + AF是一個定值.證明：連接AD ,/ AB = AC , D 為 BC 中點， AD 丄 BC ,/ BAC = 90°, AB = AC ,B =Z C = 45°,/ BAD = 45° , / CAD

13、 = 45° , AD = BD = CD ,/ EDF = 90° , EDA + Z ADF = 90° ,又由 AD 丄 BC 得/ BDE +Z ADE = 90° ,BDE =Z ADF ,在厶 BDE 和厶 ADF 中，/ B = Z DAF , BD = AD , / BDE =Z ADF , BDE ADF , BE = AF , AE + AF = AE + BE = AB （定值）.思考：四邊形 AEDF的面積是否也是定值呢？為什么?例4、如圖9,已知ADABC的高，E為AC上一點,BE交AD于F ,且有BF = AC , FD =

14、CD ,你認為 BE與AC之間有怎樣的位置關(guān)系 ？你能證明它嗎？證明：線段BE丄AC ,理由如下：/ AD 丄 BC ,ADB =Z ADC = 90°/ FBD +Z BFD = 90° ,在 Rt BDF 和 Rt ADC 中，BF = AC , FD = CD , Rt BDF 也 Rt ADC ,/ BFD =Z C，/ FBD +Z C = 90°/ BEC = 180° (/ FBD +Z C)= 180° 90° = 90° ,即 BE 丄AC.例 5、如圖 10，在 ABC 中，/ ACB = 90°

15、; AC = BC , M 是 AB 上一點，求證：AMBM 22CM 2.圖10證明：過C作CD丄AB于點D,/ ACB = 90° AC = BC , CD 丄 AB ,./ A = Z B= 45° / ACD = Z BCD = 45° ,/ A = Z ACD，/ B = Z BCD , AD = BD , BD = CD，即 AD = BD = CD , CD 丄 AB , DM 2 CD2 CM 2 , AM 2 BM 2 (ADDM )2 (BD DM )22(DM 2 CD2) 2CM思考：請同學們試試用另外的方法來證明本題例1、如圖5，在 AB

16、C中，AB = AC,點O在厶ABC內(nèi),OB = OC，求證：AO 丄 BC.證明：延長AO交BC于點D ,/ AB = AC , OB = OC , OA = OA , ABO ACO , / BAO =Z CAO，即/ BAD =Z CAD , AD 丄 BC，即 AO 丄 BC.例2、如圖6，在等邊厶ABC中，D、E分別在邊 BC、BABD，求證：CE = DE.證明：過E作EF丄CD于點F, / ABC 是等邊三角形，/ B = 60° BEF = 30° BE = 2BF，即 BA + AE = BC + BD = 2BC + CD = 2 ( BC + CF )

17、, CD = 2CF , CF = DF ,在厶 CEF 和厶 DEF 中，CF = DF，/ CFE =Z DFE = 90° , EF = EF , CEF DEF , CE = DE.例3、如圖7,已知在 ABC中，AB = AC, P為底邊BC上任意一點，PD丄AB于點D, PE丄AC于 點E,求證：PD + PE是一個定值.解：連接AP，過點C作CF丄AB于點F,由S11ABC-ABCF ， S pabAB PD ,22SPAC1 AC21 PE -AB2PE, S ABCS pabS pac ,得：1 ABCF1-AB PD-AB PE ,222即,PDPECF (定值)

18、圖7說明：本例的結(jié)論可用文字語言敘述為：等腰三角形底邊上一點到兩腰的距離之和等于腰上的高拓展：如果點P不是在邊BC上，而是在BC的延長線上，其它條件保持不變，那么PD與PE之間又有怎樣的關(guān)系呢?解：連接AP，過點C作CF丄AB于點F ,(如圖8)由SABC1 AB2CF ， S PAB1-AB PD ,2SPAC1 AC21 PE -AB2PE ,SABCS PABS PAC ,得:1 AB CF21AB PD21AB PE ,2即，PDPE CF （定值）.即，當點P在BC延長線上時,PPD與PE之差為一定值基礎(chǔ)訓練：1、填空題：(1)等腰三角形中，如果底邊長為6, 一腰長為8 ,那么周長是

19、。(2)如果等腰三角形有一邊長是6,另一邊長是8 ,那么它的周長是;如果等腰三角形的兩邊長分別是4、8,那么它的周長是。(3)等腰三角形的對稱軸最多有條。2、填空題：(1) 如果 ABC是等腰三角形，那么它的邊長(或周長)可以是()A、三條邊長分別是5, 5, 11B、三條邊長分別是4 , 4 , 8C、周長為14 ,其中兩邊長分別是4 , 5D、周長為24 ,其中兩邊長分別是 6 , 12(2)等腰三角形一邊長為2,周長為5,那么它的腰長為(）A、3B、2C、1.5D、2 或 1.53、 已知等腰三角形的腰長是底邊的3倍，周長為35cm,求等腰三角形各邊的長。4、已知：如圖，AD平分/ BA

20、C , AB=AC，請你說明 DBC是等腰三角形。x+2y=4 3x+y=712 / 14word.的解,5、已知等腰三角形的底邊和一腰長是方程組求這個三角形的各邊長。(1) 等腰三角形的頂角平分線、 、互相重合。(2) 等腰三角形有一個角是120°,那么其他兩個角的度數(shù)是 和。(3) ABC 中，/ A= / B=2 / C,那么/ C=。(4) 在等腰三角形中，設(shè)底角為x。，頂角為y°,則用含x的代數(shù)式表示y,得y=代數(shù)式表示 x,得 x=。2、選擇題：(1) 等腰三角形的一個外角為140°,那么底角等于()A、40°B、100 ° C、70 ° D、40° 或 70°(2) 等腰三角形一腰上的高線與底邊的夾角等于()A、