最新人教A版高中數(shù)學(xué)必修二浙江專(zhuān)版學(xué)案：3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式 含答案

1、最新人教版數(shù)學(xué)精品教學(xué)資料3.333.1&3.3.2兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、兩點(diǎn)間的距離預(yù)習(xí)課本p102105，思考并完成以下問(wèn)題 1怎樣求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)？ 2怎樣通過(guò)兩條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷兩條直線的位置關(guān)系？ 3兩點(diǎn)間距離公式是什么？ 1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示點(diǎn)aa(a，b)直線ll：axbyc0點(diǎn)a在直線l上aabbc0直線l1與l2的交點(diǎn)是a方程組的解是(2)兩直線的位置關(guān)系方程組的解一組無(wú)數(shù)組無(wú)解直線l1與l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無(wú)數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行2兩點(diǎn)間距離公式(1)公式：點(diǎn)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間

2、的距離公式|p1p2|.(2)文字?jǐn)⑹觯浩矫鎯?nèi)兩點(diǎn)的距離等于這兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差與縱坐標(biāo)之差的平方和的算術(shù)平方根點(diǎn)睛(1)此公式與兩點(diǎn)的先后順序無(wú)關(guān)(2)當(dāng)直線p1p2平行于x軸時(shí)，|p1p2|x2x1|.當(dāng)直線p1p2平行于y軸時(shí)，|p1p2|y2y1|.當(dāng)點(diǎn)p1，p2中有一個(gè)是原點(diǎn)時(shí)，|p1p2|.1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)過(guò)p1(0，a)，p2(0，b)的兩點(diǎn)間的距離為ab()(2)不論m取何值，xy10與x2my30必相交()答案：(1)×(2)×2已知點(diǎn)a(2，1)，b(a,3)，且|ab|5，則a的值為()a1b5c1或

3、5d1或5解析：選c|ab|5，a5或a1.3兩直線2x3yk0和xky120的交點(diǎn)在y軸上，那么k的值為_(kāi)解析：在2x3yk0中，令x0得y，將代入xky120，解得k±6.答案：±6兩條直線的交點(diǎn)問(wèn)題典例求過(guò)直線2xy20和xy10的交點(diǎn)，且斜率為3的直線方程解法一：(點(diǎn)斜式法)解方程組得所以兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，又所求直線的斜率為3，故所求直線的方程為y03x(1)，即3xy30.法二：(分離參數(shù)法)設(shè)所求直線為l，因?yàn)閘過(guò)已知兩直線的交點(diǎn)，因此l的方程可設(shè)為2xy2(xy1)0(其中為常數(shù))，即(2)x(1)y20，又直線l的斜率為3，所以3，解得，將代入，

4、整理得3xy30.求過(guò)兩條直線交點(diǎn)的直線方程，一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫(xiě)出直線方程也可用過(guò)兩條直線a1xb1yc10與a2xb2yc20的交點(diǎn)的直線系方程a1xb1yc1(a2xb2yc2)0，再根據(jù)其他條件求出待定系數(shù)，寫(xiě)出直線方程 活學(xué)活用三條直線ax2y70,4xy14和2x3y14相交于一點(diǎn)，求a的值解：解方程組得所以兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(4，2)由題意知點(diǎn)(4，2)在直線ax2y70上，將(4，2)代入，得a×42×(2)70，解得a.兩點(diǎn)間距離公式典例(1)已知點(diǎn)a(3,4)，b(2，)，在x軸上找一點(diǎn)p，使|pa|pb|，并求|pa|的值；

5、(2)已知點(diǎn)m(x，4)與點(diǎn)n(2,3)間的距離為7，求x的值解(1)設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x,0)，則有|pa| ，|pb| .由|pa|pb|，得x26x25x24x7，解得x.故所求點(diǎn)p的坐標(biāo)為.|pa| .(2)由|mn|7，得|mn| 7，即x24x450，解得x19或x25.故所求x的值為9或5.若已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，求兩點(diǎn)間的距離，可直接應(yīng)用兩點(diǎn)間的距離公式|p1p2|.若已知兩點(diǎn)間的距離，求點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)未知數(shù)，逆用兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，從而解決問(wèn)題 活學(xué)活用已知點(diǎn)a(2，1)，b(4，3)，c(0，5)，求證：abc是等腰三角形證明：|ab|

6、2，|ac| 2，|bc| 2，|ac|bc|.又點(diǎn)a，b，c不共線，abc是等腰三角形.直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題典例求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線(2)x(1)y63都恒過(guò)一定點(diǎn)證明法一：(特殊值法)取0，得到直線l1：2xy30，取1，得到直線l2：x3，故l1與l2的交點(diǎn)為p(3,3)將點(diǎn)p(3,3)代入方程左邊，得(2)×(3)(1)×363，點(diǎn)(3,3)在直線(2)x(1)y63上直線(2)x(1)y63恒過(guò)定點(diǎn)(3,3)法二：(分離參數(shù)法)由(2)x(1)y63，整理，得(2xy3)(xy6)0.則直線(2)x(1)y63通過(guò)直線2xy30與xy60的交點(diǎn)由方程組得直線(2)

7、x(1)y63恒過(guò)定點(diǎn)(3,3)解決過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題常用的三種方法：(1)特殊值法，給方程中的參數(shù)取兩個(gè)特殊值，可得關(guān)于x，y的兩個(gè)方程，從中解出的x，y的值即為所求定點(diǎn)的坐標(biāo)(2)點(diǎn)斜式法，將含參數(shù)的直線方程寫(xiě)成點(diǎn)斜式y(tǒng)y0k(xx0)，則直線必過(guò)定點(diǎn)(x0，y0)(3)分離參數(shù)法，將含參數(shù)的直線方程整理為過(guò)交點(diǎn)的直線系方程a1xb1yc1(a2xb2yc2)0的形式，則該方程表示的直線必過(guò)直線a1xb1yc10和a2xb2yc20的交點(diǎn)，而此交點(diǎn)就是定點(diǎn)比較這三種方法可知，方法一計(jì)算較煩瑣，方法二變形較困難，方法三最簡(jiǎn)便因而也最常用活學(xué)活用已知直線：5ax5ya30.(1)求證：不論a為何值，直

8、線l總經(jīng)過(guò)第一象限；(2)若使直線l不經(jīng)過(guò)第二象限，求a的取值范圍解：(1)證明：直線l的方程可化為ya，所以不論a取何值，直線l恒過(guò)定點(diǎn)a，又點(diǎn)a在第一象限，所以不論a取何值，直線l恒過(guò)第一象限(2)令x0，y，由題意，0，解得a3.所以a的取值范圍為3，).對(duì)稱(chēng)問(wèn)題題點(diǎn)一：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)1過(guò)點(diǎn)p(0,1)作直線l使它被直線l1：2xy80和l2：x3y100截得的線段被點(diǎn)p平分，求直線l的方程解：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為a(a,82a)，則由題意知，點(diǎn)a關(guān)于點(diǎn)p的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)b(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即點(diǎn)a(4,0)在直線l上，所以直線l的方程為x4y40

9、.題點(diǎn)二：點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱(chēng)2點(diǎn)p(3,4)關(guān)于直線xy20的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)q的坐標(biāo)是()a(2,1) b(2,5)c(2，5) d(4，3)解析：選b設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為(a，b)，解得即q(2,5)題點(diǎn)三：線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)3與直線2x3y60關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱(chēng)的直線方程是()a3x2y20 b2x3y70c3x2y120 d2x3y80解析：選d由平面幾何知識(shí)易知所求直線與已知直線2x3y60平行，則可設(shè)所求直線方程為2x3yc0.在直線2x3y60上任取一點(diǎn)(3,0)，關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(1，2)，則點(diǎn)(1，2)必在所求直線上，2×(1)3×(2)c0，c8.所求直線方程為2x3y8

10、0.題點(diǎn)四：線關(guān)于線對(duì)稱(chēng)4求直線m：3x2y60關(guān)于直線l：2x3y10的對(duì)稱(chēng)直線m的方程解：在直線m上取一點(diǎn)，如m(2,0)，則m(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)m必在直線m上設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為m(a，b)，則解得m.設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為n，則由得n(4,3)又m經(jīng)過(guò)點(diǎn)n(4,3)，由兩點(diǎn)式得直線m的方程為9x46y1020.題點(diǎn)五：距離和(差)最值問(wèn)題5已知直線l：x2y80和兩點(diǎn)a(2,0)，b(2，4)(1)在直線l上求一點(diǎn)p，使|pa|pb|最?。?2)在直線l上求一點(diǎn)p，使|pb|pa|最大解：(1)設(shè)a關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為a(m，n)，則解得故a(2,8)因?yàn)閜為直線l上的一點(diǎn)，則|pa

11、|pb|pa|pb|ab|，當(dāng)且僅當(dāng)b，p，a三點(diǎn)共線時(shí)，|pa|pb|取得最小值，為|ab|，點(diǎn)p即是直線ab與直線l的交點(diǎn)，解得故所求的點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2,3)(2)a，b兩點(diǎn)在直線l的同側(cè)，p是直線l上的一點(diǎn)，則|pb|pa|ab|，當(dāng)且僅當(dāng)a，b，p三點(diǎn)共線時(shí)，|pb|pa|取得最大值，為|ab|，點(diǎn)p即是直線ab與直線l的交點(diǎn)，又直線ab的方程為yx2，解得故所求的點(diǎn)p的坐標(biāo)為(12,10)有關(guān)對(duì)稱(chēng)問(wèn)題的兩種主要類(lèi)型(1)中心對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)p(x，y)關(guān)于o(a，b)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)p(x，y)滿足直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決(2)軸對(duì)稱(chēng)：點(diǎn)a(a，b)關(guān)于直線axbyc0(b0

12、)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)a(m，n)，則有直線關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題來(lái)解決 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1直線x2y20與直線2xy30的交點(diǎn)坐標(biāo)是()a(4,1) b(1,4)c. d.解析：選c由方程組得即直線x2y20與直線2xy30的交點(diǎn)坐標(biāo)是.2過(guò)點(diǎn)a(4，a)和點(diǎn)b(5，b)的直線與yxm平行，則|ab|的值為()a6 b.c2 d不能確定解析：選b由kab1，得1，ba1.|ab| .3方程(a1)xy2a10(ar)所表示的直線()a恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)b恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)c恒過(guò)點(diǎn)(2,3)和點(diǎn)(2,3)d都是平行直線解析：選a(a1)xy2a10可化為xy1a(x2)0，由得4已知

13、點(diǎn)a(x,5)關(guān)于點(diǎn)(1，y)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為(2，3)，則點(diǎn)p(x，y)到原點(diǎn)的距離是()a2 b4c5 d.解析：選d根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到1且y，解得x4，y1，所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為(4,1)，則點(diǎn)p(x，y)到原點(diǎn)的距離d.5到a(1,3)，b(5,1)的距離相等的動(dòng)點(diǎn)p滿足的方程是()a3xy80 b3xy40c3xy60 d3xy20解析：選b設(shè)p(x，y)，則，即3xy40.6點(diǎn)p(2,5)關(guān)于直線xy1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是_解析：設(shè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是(a，b)，則解得a4，b1，即所求對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)是(4，1)答案：(4，1)7經(jīng)過(guò)兩直線2x3y30和xy20的交點(diǎn)且與直線3xy10垂直的直線l的方程為

14、_解析：由方程組得又所求直線與直線3xy10垂直，故k，直線方程為y，即5x15y180.答案：5x15y1808在直線xy40上求一點(diǎn)p，使它到點(diǎn)m(2，4)，n(4,6)的距離相等，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為_(kāi)解析：設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)是(a，a4)，由題意可知|pm|pn|，即，解得a，故p點(diǎn)的坐標(biāo)是.答案：9光線從a(4，2)點(diǎn)射出，到直線yx上的b點(diǎn)后被直線yx反射到y(tǒng)軸上c點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過(guò)點(diǎn)d(1,6)，求bc所在的直線方程解：作出草圖，如圖所示，設(shè)a關(guān)于直線yx的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為a，d關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為d，則易得a(2，4)，d(1,6)由入射角等于反射角可得ad所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)b與c.故

15、bc所在的直線方程為，即10x3y80.10已知兩條直線l1：mx8yn0和l2：2xmy10，試分別確定m，n的值，滿足下列條件：(1)l1與l2相交于一點(diǎn)p(m,1)；(2)l1l2且l1過(guò)點(diǎn)(3，1)；(3)l1l2且l1在y軸上的截距為1.解：(1)把p(m,1)的坐標(biāo)分別代入l1，l2的方程得m28n0,2mm10，解得m，n.(2)顯然m0.l1l2且l1過(guò)點(diǎn)(3，1)，解得或(3)由l1l2且l1在y軸上的截距為1.當(dāng)m0時(shí)，l1的方程為8yn0，l2的方程為2x10.8n0，解得n8.m0，n8.而m0時(shí)，直線l1與l2不垂直綜上可知，m0，n8.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1直線l：x

16、2y10關(guān)于點(diǎn)(1，1)對(duì)稱(chēng)的直線l的方程為()a2xy50 bx2y30cx2y30 d2xy10解析：選c由題意得ll，故設(shè)l：x2yc0，在l上取點(diǎn)a(1,0)，則點(diǎn)a(1,0)關(guān)于點(diǎn)(1，1)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是a(1，2)，所以12×(2)c0，即c3，故直線l的方程為x2y30，故選c.2已知平面上兩點(diǎn)a(x，x)，b，則|ab|的最小值為()a3 b.c2 d.解析：選d|ab|當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)等號(hào)成立，|ab|min.3無(wú)論k為何值，直線(k2)x(1k)y4k50都過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為()a(1,3) b(1,3)c(3,1) d(3，1)解析：選d直線方程可化為(2xy5)k

17、(xy4)0，此直線過(guò)直線2xy50和直線xy40的交點(diǎn)由解得因此所求定點(diǎn)為(3，1)故選d.4已知點(diǎn)a(3，1)，b(5，2)，點(diǎn)p在直線xy0上，若使|pa|pb|取最小值，則p點(diǎn)坐標(biāo)是()a(1，1) b(1,1)c. d(2,2)解析：選c點(diǎn)a(3，1)關(guān)于直線xy0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為a(1，3)，直線ab的方程為yx，與xy0聯(lián)立方程組并解得所以點(diǎn)p.5若兩直線(m2)xym0，xy0與x軸圍成三角形，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_解析：當(dāng)直線(m2)xym0，xy0及x軸兩兩不平行，且不共點(diǎn)時(shí)，必圍成三角形當(dāng)m2時(shí)，(m2)xym0與x軸平行；當(dāng)m3時(shí)，(m2)xym0與xy0平行；當(dāng)m0時(shí)，三條

18、直線都過(guò)原點(diǎn)，所以m的取值范圍為m|m3，且m2，且m0答案：m|m3，且m2，且m06若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，則k的取值范圍是_解析：法一：由題意知直線l過(guò)定點(diǎn)p(0，)，直線2x3y60與x，y軸的交點(diǎn)分別為a(3,0)，b(0,2)，如圖所示，要使兩直線的交點(diǎn)在第一象限，則直線l在直線ap與bp之間，而kap，k>.法二：解方程組得由題意知x>0且y>0.由>0可得3k2>0，6k2>0，解得k>.答案：7已知abc的一個(gè)頂點(diǎn)a(2，4)，且b，c的角平分線所在直線的方程依次是xy20，x3y60，求abc的三邊所在

19、直線的方程解：如圖，be，cf分別為b，c的角平分線，由角平分線的性質(zhì)，知點(diǎn)a關(guān)于直線be，cf的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)a，a均在直線bc上直線be的方程為xy20，a(6,0)直線cf的方程為x3y60，a.直線aa的方程是y(x6)，即x7y60，這也是bc所在直線的方程由得b，由得c(6,0)，ab所在直線的方程是7xy100，ac所在直線方程是xy60.8已知兩直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24(0<a<2)與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成四邊形當(dāng)a為何值時(shí)，圍成的四邊形面積取最小值？并求最小值解：兩直線l1：a(x2)2(y2)，l2：2(x2)a2·(y2)，都過(guò)點(diǎn)(2

20、,2)，如圖：設(shè)兩直線l1，l2的交點(diǎn)為c，且它們的斜率分別為k1和k2，則k1(0,1)，k2.直線l1與y軸的交點(diǎn)a的坐標(biāo)為(0,2a)，直線l2與x軸的交點(diǎn)b的坐標(biāo)為(2a2,0)soacbsoacsocb(2a)·2·(2a2)·2a2a42.當(dāng)a時(shí)，四邊形oacb的面積最小，其值為.33.3&3.3.4點(diǎn)到直線的距離、兩平行線間的距離預(yù)習(xí)課本p106109，思考并完成以下問(wèn)題 1點(diǎn)到直線的距離公式是什么？ 2兩條平行直線間的距離公式是什么？ 點(diǎn)到直線的距離與兩條平行線間的距離點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度夾在兩條平行

21、直線間公垂線段的長(zhǎng)度公式點(diǎn)p0(x0，y0)到直線l：axbyc0的距離d兩條平行直線l1：axbyc10與l2：axbyc20(c1c2)之間的距離d1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)點(diǎn)p(x0，y0)到與x軸平行的直線yb(b0)的距離dy0b()(2)點(diǎn)p(x0，y0)到與y軸平行的直線xa(a0)的距離d|x0a|()(3)兩直線xym與xy2n的距離為()答案：(1)×(2)(3)2原點(diǎn)到直線x2y50的距離為()a1 b.c2 d.解析：選dd.3已知直線l1：xy10，l2：xy10，則l1，l2之間的距離為()a1 b.c. d2解

22、析：選b由題意知l1，l2平行，則l1l2之間兩直線的距離為.點(diǎn)到直線的距離公式典例求點(diǎn)p(3，2)到下列直線的距離：(1)yx；(2)y6；(3)x4.解(1)直線yx化為一般式為3x4y10，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d.(2)因?yàn)橹本€y6與y軸垂直，所以點(diǎn)p到它的距離d|26|8.(3)因?yàn)橹本€x4與x軸垂直，所以點(diǎn)p到它的距離d|34|1.應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式應(yīng)注意的三個(gè)問(wèn)題(1)直線方程應(yīng)為一般式，若給出其他形式應(yīng)化為一般式(2)點(diǎn)p在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為0，公式仍然適用(3)直線方程axbyc0中，a0或b0公式也成立，但由于直線是特殊直線(與坐標(biāo)軸垂直)，故也可用數(shù)形結(jié)合

23、求解 活學(xué)活用1若點(diǎn)p(3，a)到直線xy40的距離為1，則a的值為()a. bc或 d或解析：選d由點(diǎn)到直線的距離公式得1，解得a或a.2過(guò)點(diǎn)a(1,2)且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為()ax2y50 b2xy40cx3y70 d3xy50解析：選a當(dāng)所求直線l與線段oa垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離最大koa2，kl.所求直線方程為y2(x1)即x2y50.兩平行線間的距離典例求與兩條平行直線l1：2x3y40與l2：2x3y20距離相等的直線l的方程解設(shè)所求直線l的方程為2x3yc0.由直線l與兩條平行線的距離相等，得，即|c4|c2|，解得c1.故直線l的方程為2x3y10.由兩平行直線間的距

24、離求直線方程通常有兩種思路：(1)設(shè)出所求直線方程后，在其中一條直線上取一點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；(2)直接運(yùn)用兩平行直線間的距離公式求解 活學(xué)活用1若兩平行直線3x2y10,6xayc0之間的距離為，則的值為()a1 b1c0 d1或1解析：選d由題意，得，所以a4，c2.所以直線6xayc0的方程可化為3x2y0.由兩平行線間的距離公式，得，即2，解得c2或6，所以1或1，故選d.2若直線m被平行線l1：xy10與l2：xy30所截得的線段的長(zhǎng)為2，則m的傾斜角可以是：15°；30°；45°；60°；75°.其中正確答案的序號(hào)是_解

25、析：兩平行線間的距離d，故m與l1或l2的夾角為30°.又l1，l2的傾斜角為45°，直線m的傾斜角為30°45°75°或45°30°15°.答案：距離的綜合應(yīng)用典例已知正方形的中心為直線2xy20，xy10的交點(diǎn)，正方形一邊所在的直線l的方程為x3y50，求正方形其他三邊所在直線的方程解設(shè)與直線l：x3y50平行的邊所在的直線方程為l1：x3yc0(c5)由得正方形的中心坐標(biāo)為p(1,0)，由點(diǎn)p到兩直線l，l1的距離相等，得，得c7或c5(舍去)l1：x3y70.又正方形另兩邊所在直線與l垂直，設(shè)另兩邊所在直線

26、的方程分別為3xya0,3xyb0.正方形中心到四條邊的距離相等，得a9或a3，另兩條邊所在的直線方程分別為3xy90,3xy30.另三邊所在的直線方程分別為3xy90，x3y70,3xy30.利用點(diǎn)到直線的距離公式或兩平行線間的距離公式解綜合題時(shí)，需特別注意直線方程要化為一般式，同時(shí)要注意構(gòu)造法、數(shù)形結(jié)合法的應(yīng)用，本節(jié)中距離公式的形式為一些代數(shù)問(wèn)題提供了幾何背景，可構(gòu)造幾何圖形，借助幾何圖形的直觀性去解決問(wèn)題活學(xué)活用1已知p，q分別是直線3x4y50與6x8y50上的動(dòng)點(diǎn)，則|pq|的最小值為()a3 b.c. d.解析：選b由于所給的兩條直線平行，所以|pq|的最小值就是這兩條平行直線間的

27、距離由兩條平行直線間的距離公式，得d，即|pq|的最小值為.2若動(dòng)點(diǎn)a，b分別在直線l1：xy70和l2：xy50上，則ab的中點(diǎn)m到原點(diǎn)的距離的最小值為_(kāi)解析：依題意，知l1l2，故點(diǎn)m所在的直線平行于l1和l2，可設(shè)點(diǎn)m所在直線的方程為l：xym0(m7且m5)，根據(jù)平行線間的距離公式，得|m7|m5|m6，即l：xy60，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得點(diǎn)m到原點(diǎn)的距離的最小值為3.答案：3層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1點(diǎn)p(1，1)到直線l：3y2的距離是()a3 b.c1 d.解析：選b點(diǎn)p(1，1)到直線l的距離d，選b.2已知點(diǎn)m(1,4)到直線l：mxy10的距離為3，則實(shí)數(shù)m()a0 b.c

28、3 d0或解析：選d點(diǎn)m到直線l的距離d，所以3，解得m0或m，選d.3已知點(diǎn)a(1,3)，b(3,1)，c(1,0)，則abc的面積等于()a3 b4c5 d6解析：選c設(shè)ab邊上的高為h，則sabc|ab|·h.|ab| 2，ab邊上的高h(yuǎn)就是點(diǎn)c到直線ab的距離ab邊所在的直線方程為，即xy40.點(diǎn)c到直線xy40的距離為，因此，sabc×2×5.4已知點(diǎn)p(1t,13t)到直線l：y2x1的距離為，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為()a(0，2) b(2,4)c(0，2)或(2,4) d(1,1)解析：選c直線l：y2x1可化為2xy10，依題意得，整理得|t|1，所以t1

29、或1.當(dāng)t1時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(2,4)；當(dāng)t1時(shí)，點(diǎn)p的坐標(biāo)為(0，2)，故選c.5若直線l1：xay60與l2：(a2)x3y2a0平行，則l1，l2間的距離是()a. b.c4 d2解析：選bl1l2，解得a1.l1的方程為xy60，l2的方程為3x3y20，即xy0，l1，l2間的距離是.6若點(diǎn)(2，k)到直線5x12y60的距離是4，則k的值是_解析：4，|1612k|52，k3，或k.答案：3或7直線4x3y50與直線8x6y50的距離為_(kāi)解析：直線8x6y50化簡(jiǎn)為4x3y0，則由兩平行線間的距離公式得.答案：8已知直線l與直線l1：2xy30和l2：2xy10間的距離相等，則直線

30、l的方程是_解析：由題意可設(shè)直線l的方程為2xyc0，于是有，即|c3|c1|.c1，直線l的方程為2xy10.答案：2xy109求過(guò)點(diǎn)p(0,2)且與點(diǎn)a(1,1)，b(3,1)等距離的直線l的方程解：法一：點(diǎn)a(1,1)與b(3,1)到y(tǒng)軸的距離不相等，直線l的斜率存在，設(shè)為k.又直線l在y軸上的截距為2，則直線l的方程為ykx2，即kxy20.由點(diǎn)a(1,1)與b(3,1)到直線l的距離相等，得，解得k0或k1.直線l的方程是y2或xy20.法二：當(dāng)直線l過(guò)線段ab的中點(diǎn)時(shí)，直線l與點(diǎn)a，b的距離相等ab的中點(diǎn)是(1,1)，又直線l過(guò)點(diǎn)p(0,2)，直線l的方程是xy20；當(dāng)直線lab時(shí)

31、，直線l與點(diǎn)a，b的距離相等直線ab的斜率為0，直線l的斜率為0，直線l的方程為y2.綜上所述，滿足條件的直線l的方程是xy20或y2.10.如圖，已知直線l1：xy10，現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形的面積為4，求直線l2的方程解：設(shè)l2的方程為yxb(b>1)，則a(1,0)，d(0,1)，b(b,0)，c(0，b)|ad|，|bc|b.梯形的高h(yuǎn)就是a點(diǎn)到直線l2的距離，故h(b>1)，由梯形的面積公式得×4，b29，b±3.又b>1，b3.從而得直線l2的方程是xy30.層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1已知直線3xy30和

32、6xmy10互相平行，則它們之間的距離是()a4b.c. d.解析：選d3x2y30和6xmy10互相平行，m2.直線6x2y10可以化為3xy0，由兩條平行直線間的距離公式，得d，選d.2兩平行線分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(3,0)，b(0,4)，它們之間的距離d滿足的條件是()a0d3 b0d5c0d4 d3d5解析：選b當(dāng)兩平行線與ab垂直時(shí)，兩平行線間的距離最大為|ab|5，所以0d5.3如果點(diǎn)p到點(diǎn)a，b及直線x的距離都相等，那么滿足條件的點(diǎn)p有()a0個(gè) b1個(gè)c2個(gè) d無(wú)數(shù)個(gè)解析：選b因?yàn)辄c(diǎn)p到點(diǎn)a，b的距離相等，所以點(diǎn)p在線段ab的垂直平分線y上直線ab與直線x平行，且兩平行線間的距離為1.

33、又1<，所以滿足條件的點(diǎn)p有1個(gè)4已知定點(diǎn)p(2,0)和直線l：(13)x(12)y25(r)，則點(diǎn)p到直線l的距離的最大值為()a2 b.c. d2解析：選b將(13)x(12)y25變形，得(xy2)(3x2y5)0，所以l是經(jīng)過(guò)兩直線xy20和3x2y50的交點(diǎn)的直線系設(shè)兩直線的交點(diǎn)為q，由得交點(diǎn)q(1,1)，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)q(1,1)，于是點(diǎn)p到直線l的距離d|pq|，即點(diǎn)p到直線l的距離的最大值為.5已知5x12y60，則 的最小值是_解析： 表示直線5x12y60上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，在所有這些點(diǎn)到原點(diǎn)距離中，過(guò)原點(diǎn)且垂直于直線5x12y60的垂線段的長(zhǎng)最小，故最小值為d.

34、答案：6在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)a(1,2)距離為1，且與點(diǎn)b(3,1)距離為2的直線共有_條解析：由題可知所求直線顯然不與y軸平行，可設(shè)直線為ykxb，即kxyb0.d11，d22，兩式聯(lián)立，解得b13，b2，k10，k2.故所求直線共有兩條答案：27已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)p(4,3)到直線l的距離為3，求直線l的方程解：由題意知，若截距為0，可設(shè)直線l的方程為ykx.由題意知3，解得k.若截距不為0，設(shè)所求直線l的方程為xya0.由題意知3，解得a1或a13.故所求直線l的方程為yx，yx，xy10或xy13 0.8已知點(diǎn)p(a，b)在線段ab上運(yùn)動(dòng)，其中a(1,0)，b(0,1

35、)試求(a2)2(b2)2的取值范圍解：由(a2)2(b2)2聯(lián)想兩點(diǎn)間的距離公式，設(shè)q(2，2)，又p(a，b)，則|pq| ，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|pq|2的最大值、最小值如圖所示，當(dāng)p與a或b重合時(shí)，|pq|取得最大值，即.當(dāng)pqab時(shí)，|pq|取得最小值，此時(shí)|pq|為q點(diǎn)到直線ab的距離，由a，b兩點(diǎn)坐標(biāo)可得直線ab的方程為xy10.則q點(diǎn)到直線ab的距離d，(a2)2(b2)213.(時(shí)間120分鐘滿分150分)一、選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1經(jīng)過(guò)a(2,0)，b(5,3)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為()a45°b

36、135°c90° d60°解析：選aa(2,0)，b(5,3)，直線ab的斜率k1.設(shè)直線ab的傾斜角為(0°<180°)，則tan 1，45°.故選a.2點(diǎn)f(，0)到直線xy0的距離為()a. b.mc3 d3m解析：選a由點(diǎn)到直線的距離公式得點(diǎn)f(，0)到直線xy0的距離為.3和直線3x4y50關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線方程為()a3x4y50 b3x4y50c3x4y50 d3x4y50解析：選a設(shè)所求直線上的任一點(diǎn)為(x，y)，則此點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在直線3x4y50上，所以3x4y50.4

37、如果直線l過(guò)(2，2)，(2,4)兩點(diǎn)，點(diǎn)(1 344，m)在直線l上，那么m的值為()a2 014 b2 015c2 016 d2 017解析：選d由兩點(diǎn)式，得，當(dāng)x1 344時(shí)，m2 017，故選d.5已知abcd的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是a(0,1)，b(1,0)，c(4,3)，則頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為()a(3,4) b(4,3)c(3,1) d(3,8)解析：選a設(shè)d(m，n)，由題意得abdc，adbc，則有kabkdc，kadkbc，解得點(diǎn)d的坐標(biāo)為(3,4)6直線l過(guò)點(diǎn)a(3,4)且與點(diǎn)b(3,2)的距離最遠(yuǎn)，那么l的方程為()a3xy130 b3xy130c3xy130 d3xy130解

38、析：選c由已知可知，l是過(guò)a且與ab垂直的直線，kab，kl3，由點(diǎn)斜式得，y43(x3)，即3xy130.7等腰直角三角形abc的直角頂點(diǎn)為c(3,3)，若點(diǎn)a(0,4)，則點(diǎn)b的坐標(biāo)可能是()a(2,0)或(4,6) b(2,0)或(6,4)c(4,6) d(0,2)解析：選a設(shè)b點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)題意知解得或8已知直線l過(guò)點(diǎn)p(3,4)且與點(diǎn)a(2,2)，b(4，2)等距離，則直線l的方程為()a2x3y180b2xy20c3x2y180或x2y20d2x3y180或2xy20解析：選d依題意，設(shè)直線l：y4k(x3)，即kxy43k0，則有，因此5k2k6，或5k2(k6)，解得

39、k或k2，故直線l的方程為2x3y180或2xy20.二、填空題(本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分請(qǐng)把正確答案填在題中的橫線上)9已知點(diǎn)m(5,3)和點(diǎn)n(3,2)，若直線pm和pn的斜率分別為2和，則點(diǎn)p的坐標(biāo)為_(kāi)解析：設(shè)p(x，y)，則有解得答案：(1，5)10若過(guò)點(diǎn)p(1a,1a)與點(diǎn)q(3,2a)的直線的傾斜角是鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：k<0，得2<a<1.答案：(2,1)11已知直線l的斜率為，且和坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為3，則直線l的方程為_(kāi)解析：設(shè)直線l的方程為1，|ab|3，且，解得a6，b1或a6，b1，直線l的方程為y1

40、或y1，即x6y60或x6y60.答案：x6y60或x6y6012若直線mxny30在y軸上的截距為3，且它的傾斜角是直線xy3的傾斜角的2倍，則m_，n_.解析：依題意得：直線xy3的斜率為，其傾斜角為60°.3，tan 120°，得m，n1.答案：113設(shè)兩直線l1：(3m)x4y53m與l2：2x(5m)y8，若l1l2，則m_；若l1l2，則m_.解析：由l1l2得(3m)(5m)4×20，解得m1或m7，當(dāng)m1時(shí)，兩直線重合，舍去由l1l2得(3m)×24×(5m)0，解得m.答案：714已知直線x2ym0(m>0)與直線xny30互相平行，且它們間的