選修2-2測(cè)試題

1、高二數(shù)學(xué)期中模擬試題（一）一、選擇題：（本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1、i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)()A2iB2iC2i D2i【解析】2i.【答案】B2、曲線y在點(diǎn)(，2)處的切線方程為()Ay4x By4x4Cy4(x1) Dy2x4答案B解析y，y|x4，k4，切線方程為y24(x)，即y4x4.3、答案A解析設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為xa(a為實(shí)數(shù))，則a2(12i)·a3mi0，故選A4、有一段演繹推理是這樣的“有些有理數(shù)是真分?jǐn)?shù)，整數(shù)是有理數(shù)，則整數(shù)是真分?jǐn)?shù)”，結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的，因?yàn)?)A大前提錯(cuò)誤 B小前提錯(cuò)誤C推理形式錯(cuò)誤

2、D不是以上錯(cuò)誤答案C解析大小前提都正確，其推理形式錯(cuò)誤故應(yīng)選C.5、已知函數(shù)f(x)x3ax2x1在(，)上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，)，(，) B(，)C(，) D，答案D解析f (x)3x22ax1，f(x)在(，)上是單調(diào)函數(shù)，且f (x)的圖象是開口向下的拋物線，f (x)0恒成立，4a2120，a，故選D.6、平面幾何中，有邊長(zhǎng)為的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為定值，類比上述命題，棱長(zhǎng)為的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為（）7、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)a(xb)2c的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的圖象可能是()答案D解析由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，當(dāng)x<0

3、時(shí)，函數(shù)f(x)遞減，排除A，B；當(dāng)0<x<x1時(shí)，f (x)>0，函數(shù)f(x)遞增因此，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極小值，故選D.8、已知復(fù)數(shù)z134i，z2ti，且z1·2是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)t等于()A. BC D答案A解析z1·2(34i)(ti)(3t4)(4t3)i.因?yàn)閦1·2是實(shí)數(shù)，所以4t30，所以t.因此選A.9、用反證法證明命題：“若整系數(shù)一元二次方程ax2bxc0(a0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個(gè)是偶數(shù)”時(shí)，下列假設(shè)正確的是()A假設(shè)a，b，c都是偶數(shù)B假設(shè)a、b，c都不是偶數(shù)C假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)偶數(shù)D假設(shè)a，b，c

4、至多有兩個(gè)偶數(shù)答案B解析“至少有一個(gè)”反設(shè)詞應(yīng)為“沒(méi)有一個(gè)”，也就是說(shuō)本題應(yīng)假設(shè)為a，b，c都不是偶數(shù)10、設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如下圖所示，則導(dǎo)函數(shù)yf (x)的圖象可能是()答案A解析f(x)在(，0)上為增函數(shù)，在(0，)上變化規(guī)律是減增減，因此f (x)的圖象在(，0)上，f (x)>0，在(0，)上f (x)的符號(hào)變化規(guī)律是負(fù)正負(fù)，故選A.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共5分把答案填在題中橫線上11、若f(x)=x33ax23(a2)x1有極大值和極小值，則a的取值范圍是_a>2 或 a<-112、若關(guān)于x的方程x2(2i)x(2m

5、4)i0有實(shí)數(shù)根，則純虛數(shù)m_.【解析】設(shè)mbi(bR)，則x2(2i)x(2bi4)i0，化簡(jiǎn)得(x22x2b)(x4)i0，即解得m4i.13、如圖陰影部分是由曲線y、y2x與直線x2、y0圍成，則其面積為_答案ln2解析由，得交點(diǎn)A(1,1)由得交點(diǎn)B.故所求面積Sdxdxxlnxln2.14定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(1)1，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)>，則滿足2f(x)<x1的x的集合為 Ax|1<x<1 Bx|x<1Cx|x<1或x>1 Dx|x>1答案B解析令g(x)2f(x)x1，f (x)>，g(x)2f (x)1&

6、gt;0，g(x)為單調(diào)增函數(shù)，f(1)1，g(1)2f(1)110，當(dāng)x<1時(shí)，g(x)<0，即2f(x)<x1，故選B.15設(shè)函數(shù)f(x)(x>0)，觀察：f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，f3(x)f(f2(x)，f4(x)f(f3(x)，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)nN*且n2時(shí)，fn(x)f(fn1(x)_.答案解析觀察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表達(dá)式可見(jiàn)，fn(x)的分子為x，分母中x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)小1，常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,162n.故fn(x).三、解答題：本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算

7、步驟16(1)設(shè)復(fù)數(shù)z，若z2azb1i，求實(shí)數(shù)a、b的值解：z1i.將z1i代入z2azb1i，得(1i)2a(1i)b1i，(ab)(a2)i1i，所以所以 (2)已知z是復(fù)數(shù)，z2i、均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：設(shè)zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由題意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由題意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.根據(jù)條件，可知，解得2<a<6.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)17、（本小題12分）已知函數(shù)f(x)x2axaln(x1) (aR)，求函數(shù)

8、f(x)的單調(diào)區(qū)間.【解析】函數(shù)f(x)x2axaln(x1)的定義域是(1，).f(x)2xa，若a0，則1，f(x)0在(1，)上恒成立，所以a0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為(1，).若a0，則1，故當(dāng)x(1，時(shí)，f(x)0；當(dāng)x，)時(shí)，f(x)0，所以a0時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(1，f(x)的增區(qū)間為，).18、已知數(shù)列an中，a1，其前n項(xiàng)和Sn滿足anSn2(n2)，計(jì)算S1，S2，S3，S4，猜想Sn的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明【解】當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1Sn2.Sn(n2)則有：S1a1，S2，S3，S4，由此猜想：Sn(nN*)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，S1a1，猜想成立假設(shè)

9、nk(kN*)猜想成立，即Sk成立，那么nk1時(shí)，Sk1.即nk1時(shí)猜想成立由可知，對(duì)任意自然數(shù)n，猜想結(jié)論均成立.19、（本小題12分）某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售件.通過(guò)改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為，那么月平均銷售量減少的百分率為.記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)是（元）.()寫出與的函數(shù)關(guān)系式；()改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大。1）當(dāng)銷售價(jià)提高的百分率為0.1時(shí)，銷售價(jià)是22元月平均銷售量減少的百分率為0.01

10、，月平均銷售量為2000（1-0.01）（元）                 （1分）月利潤(rùn)是：2000（1-0.01）（22-15）=13860元     （2分）（2）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20（1+x），月平均銷售量為2000（1-x2）件，則月平均利潤(rùn)2000（1-x2）20（1+x）-15（元），y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2000（1-x2）20（1+x）-

11、15（0x1），y=10000（-4x3-x2+4x+1）（4分）（3）由y'=10000（4-2x-12x2）=0，得x1= 1/2, X2=- 2/3（舍），當(dāng)0x 1/2時(shí)y'0；1/2x1時(shí)y'0，函數(shù)在x=1/2時(shí)取得最大值故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1+1/2)=30元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大（8分20已知函數(shù)f(x)lnx，a為常數(shù)(1)若a，求函數(shù)f(x)在1，e上的值域；(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，e2.72)(2)若函數(shù)g(x)f(x)x在1,2上為單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解析(1)由題意f (x)，當(dāng)a時(shí)，f (x).x1，e

12、，f(x)在1,2)上為減函數(shù)，2，e上為增函數(shù)，又f(2)ln2，f(1)，f(e)1，比較可得f(1)>f(e)，f(x)的值域?yàn)閘n2，(2)由題意得g(x)10在x1,2上恒成立，a(x1)2x23x3恒成立，設(shè)h(x)x23x3(1x2)，當(dāng)1x2時(shí)，h(x)2x3>0恒成立，h(x)maxh(2)，a，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是，)21、（本小題滿分14分）已知函數(shù).(1)若，求曲線在處切線的斜率；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求的取值范圍.解：(1)由已知，.故曲線在處切線的斜率為.(2).當(dāng)時(shí)，由于，故，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0，+). 當(dāng)時(shí)

13、，由，得.在區(qū)間上，；在區(qū)間上，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (0，-1a)，單調(diào)遞減區(qū)間為 (-1a，+).(3)由已知，轉(zhuǎn)化為，. 由(2)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，值域?yàn)镽，故不符合題意.(或者舉出反例：存在，故不符合題意.) 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0，-1a)上單調(diào)遞增，在(-1a，+)上單調(diào)遞減，故的極大值即為最大值， 所以，解得.參考答案題號(hào)12345678910答案BBACDBBADA11、a>2 或 a<-112、4i. 13、ln2 14、x|x<1 15、16(1)設(shè)復(fù)數(shù)z，若z2azb1i，求實(shí)數(shù)a、b的值解z1i.將z1i代入z2azb1i，得(1i)2a(1i

14、)b1i，(ab)(a2)i1i，所以所以 (2)已知z是復(fù)數(shù)，z2i、均為實(shí)數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復(fù)數(shù)(zai)2在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解設(shè)zxyi(x，yR)，z2ix(y2)i，由題意得y2.(x2i)(2i)(2x2)(x4)i.由題意得x4，z42i.(zai)2(124aa2)8(a2)i.根據(jù)條件，可知，解得2<a<6.實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,6)17、（本小題12分） （1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最值解：依題意得，定義域是（1）,令，得或，令，得，由于定義域是，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）令，得，由于，在上的最大值是，

15、最小值是18【證明】當(dāng)n2時(shí)，左邊f(xié)(1)1，右邊2(11)1，左邊右邊，等式成立假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，當(dāng)nk1時(shí)，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)f(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nN*)19、（本小題12分）某市旅游部門開發(fā)一種旅游紀(jì)念品，每件產(chǎn)品的成本是15元，銷售價(jià)是20元，月平均銷售件.通過(guò)改進(jìn)工藝，產(chǎn)品的成本不變，質(zhì)量和技術(shù)含金量提高，市場(chǎng)分析的結(jié)果表明，如果產(chǎn)品的銷售價(jià)提高的百分率為，那么月平

16、均銷售量減少的百分率為.記改進(jìn)工藝后，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)是（元）.()寫出與的函數(shù)關(guān)系式；()改進(jìn)工藝后，確定該紀(jì)念品的售價(jià)，使旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大。1）當(dāng)銷售價(jià)提高的百分率為0.1時(shí)，銷售價(jià)是22元月平均銷售量減少的百分率為0.01，月平均銷售量為2000（1-0.01）（元）                 （1分）月利潤(rùn)是：2000（1-0.01）（22-15）=13860元 &#

17、160;   （2分）（2）改進(jìn)工藝后，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)為20（1+x），月平均銷售量為2000（1-x2）件，則月平均利潤(rùn)2000（1-x2）20（1+x）-15（元），y與x的函數(shù)關(guān)系式為：y=2000（1-x2）20（1+x）-15（0x1），y=10000（-4x3-x2+4x+1）（4分）（3）由y'=10000（4-2x-12x2）=0，得x1= 1/2, X2=- 2/3（舍），當(dāng)0x 1/2時(shí)y'0；1/2x1時(shí)y'0，函數(shù)在x=1/2時(shí)取得最大值故改進(jìn)工藝后，產(chǎn)品的銷售價(jià)為20(1+1/2)=30元時(shí)，旅游部門銷售該紀(jì)念品的月平均利潤(rùn)最大（8分20、 解析(1)由題意f (x)，當(dāng)a時(shí)，f (x).x1，e，f(x)在1,2)上為減函數(shù)，2，e上為增函數(shù)，又f(2)ln2，f(1)，f(e)1，比較可得f(1)>f(e)，f(x)的值域?yàn)閘n2，(2)由題意得g(x)10在x1,2上恒成立，a(x1)2x23x3恒成立，設(shè)h(x)x23x3(1x