2021版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.1.2數(shù)列的遞推公式(選學(xué))學(xué)案新人教B版必修5

1、2.1.2數(shù)列的遞推公式選學(xué)n 項.3.【學(xué)習(xí)目標丨1.理解遞推公式是數(shù)列的一種表示方法.2.能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前掌握由一些簡單的遞推公式求通項公式的方法.問題導(dǎo)學(xué)知識點一遞推公式思考 下列圖形象地用小正方形個數(shù)給出數(shù)列an的前4項:6叫旳町那么aa=ai+, a3=a2+,a4=a3 +.由此猜測an=an-1+ai = 1,梳理 思考中的數(shù)列an可由完全確定.an= an-1+ n, n?2一般地，如果數(shù)列的 或前幾項，且從第2項或某一項開始的任一項它的或前幾項間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.知識點二遞推公式與通項公式的比擬a1 = 2,思考 1求

2、a4；an+1 = ai + 2, n N+,an= 2n,求a4.梳理通項公式和遞推公式都是給出數(shù)列的方法.數(shù)列的通項公式，可以直接求出任意一項；遞推公式，要求某一項，那么必須依次求出該項前面所有的項.題型探究類型一由數(shù)列前假設(shè)干項歸納遞推公式例1數(shù)列an的前4項依次是：13,31,49,67，試猜測a+1與an的關(guān)系.反思與感悟 遞推公式是反映數(shù)列相鄰兩項 或幾項間的關(guān)系的，所以尋找數(shù)列的遞推關(guān)系, 也常從數(shù)列相鄰項有何變化著手，?？紤]的變化有：數(shù)列是遞增不是遞減，假設(shè)遞增，增幅有 什么規(guī)律.跟蹤訓(xùn)練1 數(shù)列an中，a1= 1, a2= 3, a3= 7, a4= 15,試猜測an的遞推公

3、式.類型二數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用命題角度1由遞推公式求前假設(shè)干項例2設(shè)數(shù)列an滿足an= 1 +an 11n >1, n N+寫出這個數(shù)列的前 5項.引申探究數(shù)列a滿足a1= 2,1 + an十a(chǎn)n+1= 1 an '求 a2 016.反思與感悟 遞推公式反映的是相鄰兩項 (或n項)之間的關(guān)系對于通項公式，n的值即可得到相應(yīng)的項；而遞推公式那么要首項(或前幾項)，才可依次求得其他的項假設(shè)項數(shù)很大，那么應(yīng)考慮數(shù)列是否有規(guī)律性.跟蹤訓(xùn)練2 在數(shù)列an中，ai = 2, a2 = 3, an+ 2= 3a“ 1 2a( n?1)，寫出此數(shù)列的前 6 項.命題角度2由遞推公式求通項例 3(

4、1)對于任意數(shù)列an,等式：ai+ (a2 ai) + (a3 a?) + + (an an-1) = a(n>2, n N+)都成立.試根據(jù)這一結(jié)論，完成問題：數(shù)列 an滿足：a1= 1, an+1 an= 2，求通項an；a2 a3an 假設(shè)數(shù)列an中各項均不為零，那么有 a1 - 3 =an( n?2, n N+)成立.試根據(jù) a1 a2an1an n1這一結(jié)論，完成問題：數(shù)列 a滿足：a1= 1,- =(n?2, n N+)，求通項an.an 1n反思與感悟 形如an+1 an= f( n)的遞推公式，可以利用 a1 + (a2 a" + (a3 a2)+ (anan

5、+ 1an 1) = an(n?2, n N + )求通項公式；形如=f(n)的遞推公式，可以利用ana2 a3ana1 =an( n?2, n N+)求通項公式.a1 a2an1跟蹤訓(xùn)練 3數(shù)列an中，ai= 1,a2= 2,an+2= &+1 an,試寫出as,a4,a5,st,a?,a8,你發(fā)現(xiàn)數(shù)列an具有怎樣的規(guī)律？你能否求出該數(shù)列中的第2 016項？當堂訓(xùn)練1. 數(shù)列1,3,6,10,15，的遞推公式是A. an+1 = an+ n, n N+B. an = an1 + n, n N+, n?2C. an+1 = an + (n + 1) , n N+D. an = an-1

6、 + (n 1) , n N+, n?22. 數(shù)列an滿足a1= 2, an+1 &+ 1 = 0( n N+)，那么此數(shù)列的通項 an等于()2A. n +1 B . n+ 1C. 1 n D . 3 n3 .用火柴棒按下列圖的方法搭三角形:按圖示的規(guī)律搭下去，那么所用火柴棒數(shù)an與所搭三角形的個數(shù) n之間的關(guān)系式可以是I一規(guī)律與方法 .1 an與an是不同的兩種表示， an表示數(shù)列a1 , a2,，an,，是數(shù)列的一種簡記形式.而an只表示數(shù)列an的第n項，an與an是“個體與“整體的附屬關(guān)系.2 .數(shù)列的表示方法：1圖象法；2列表法；3通項公式法；4遞推公式法.3 .通項公式和遞

7、推公式的區(qū)別：通項公式直接反映an和n之間的關(guān)系，即an是n的函數(shù)，知道任意一個具體的 n值，就可以求出該項的值 an；而遞推公式那么是間接反映數(shù)列的式子，它是數(shù)列任意兩個或多個相鄰項之間的推導(dǎo)關(guān)系，不能由n直接得出an.合案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考 23 4 n梳理第1項前一項an 1知識點二思考(1) a2= ai + 2 = 4, a3 = a2 + 2= 6,a4= a3+ 2= 8.(2) a4=2x 4= 8.題型探究類型一例 1 解 由 a2-ai= 31 -13= 18,a3 a2= 49 31 = 18,a4 a3= 67 49 = 18,猜測 ai+1 ai= 18,即 a

8、n+1= an+18.跟蹤訓(xùn)練1 解由a2 a1= 3 1=2 = 21,a3 a2= 7 3= 4= 22,3a4 a3= 15 7 = 8 = 2 ,猜測+1 a= 2n, n N+.或 a2= 2x a1+ 1,a3= 2 x a2 + 1,a4= 2x a3 + 1.猜測 an+1 = 2an+ 1, n N+.類型二命題角度1例2解由題意可知a1= 1,1c ,13,15,1,38a2= 1 +一= 2,a3=1 + =二，a4= 1 + =二，a5 =1 + =1 +： = ：.a1a2 2a33a455引申探究a2=1 + a1 = 1 + 2=1 a1= 1 2=1 + a2

9、_ 1 3_11 - a2= 2，1 + a311-213,11 + a4 1 + 3故an是周期為4的數(shù)列.1 a2 016 a4X 503+ 4&4 二.跟蹤訓(xùn)練2 解a1= 2, a2 = 3,a3= 3a2 2a1 = 3x 32 x 2= 5,a4= 3a3 2a2= 3x 52 x 3= 9,a5= 3a4 2a3= 3x 92x 5= 17,a6= 3a5 2a4= 3x 17 2 x 9= 33.命題角度2例3解(1) n?2時，an= a*1+ (a2 aj + (a3 az) + + (an an 1) = 1 + 2+ 2+ n ? 個2 = 2(n 1) + 1=2n 1.a1= 1也適合上式，所以數(shù)列an的通項公式是an = 2n 1.anan -1n 11v=n.(2) n>2 時,an= a1a2a3a2a1= 1也適合上式，1所以數(shù)列an的通項公式是an = -.n跟蹤訓(xùn)練 3 解 a1 = 1, a2 = 2, a3= 1,a4= 1, a5 = 2,a6= 1, a7 = 1, as = 2,.發(fā)現(xiàn)：an+ 6= an,數(shù)列an具有周期性，周期 T= 6. 證明如下：T an