《新編數(shù)學教學論》涂榮豹,王光明等

1、 新編數(shù)學教學論復習材料第一章 現(xiàn)代數(shù)學教育觀1.簡述什么是數(shù)學教育現(xiàn)代化答：數(shù)學教育現(xiàn)代化是指：數(shù)學教育思想現(xiàn)代化，數(shù)學教育內(nèi)容的現(xiàn)代化，數(shù)學教學方法的現(xiàn)代化。（1）在數(shù)學教學內(nèi)容現(xiàn)代化方面，主要是如何運用數(shù)學教育現(xiàn)代化的思想和方法，編寫出現(xiàn)代化的普通教育的數(shù)學教材，即在體系、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容各方面適應于教育現(xiàn)代化的需要。在數(shù)學教育思想的現(xiàn)代化和教學方法的現(xiàn)代化方面，主要是教師如何用最先進的教育思想認識教材，如何用最先進的教學方法組織教學。（1）2. 數(shù)學教育現(xiàn)代化的本質(zhì)是數(shù)學教育思想觀念的現(xiàn)代化。3. 在數(shù)學教育觀念現(xiàn)代化的問題上，最重要的是處理好繼承和發(fā)展的關(guān)系，防止從一個極端走向另一個極端。

2、（1）1.1現(xiàn)代數(shù)學教育觀1.樹立科學的現(xiàn)代化教育觀，是數(shù)學教育沿著正確軌道前進的前提和保證。（1）2.科學的現(xiàn)代數(shù)學教育觀涉及多方面的思想認識，包括數(shù)學教育的目的觀、功能觀、學習觀、教學觀、能力觀、技術(shù)觀等等。1.1.1數(shù)學教育的目的觀1.現(xiàn)代社會需要的人是：富有教養(yǎng)、具有獨立性、自信心、創(chuàng)造力、積極主動和講究效率的人。（1）2.教育作為發(fā)展和完善人的活動，其目的是：培養(yǎng)出適應社會發(fā)展需要的人。（1）3.數(shù)學教育已成為教育不可或缺的重要組成部分（因為，數(shù)學是人類文化的重要組成部分，數(shù)學素養(yǎng)是現(xiàn)代公民所必需具備得一種修養(yǎng)。在現(xiàn)代社會中，數(shù)學教育是終身發(fā)展的重要方面，是人進一步學習的需要，是終身

3、教育不可缺少的基礎。這就需要學校向更多的或者全體學生提供數(shù)學的基礎知識、基本技能、基本思想，使學生學會數(shù)學地思維，數(shù)學地表達，培養(yǎng)學生實事求是、鍥而不舍的精神。）（2）1.1.2數(shù)學教育的功能觀1.數(shù)學教育的功能觀是隨著時代的進步而發(fā)展。（2）2.從傳統(tǒng)上看，教育的任務就是培養(yǎng)和造就人才，這里“人才”的含義實際是指“英才”。3.數(shù)學教育的功能應該給學生一顆好奇的心，激發(fā)他們的求知欲；給學生一雙數(shù)學的眼睛，豐富他們觀察世界的方式；給他們一個睿智的頭腦，讓他們學會理性地思維；給他們一套研究的模式，讓他們獲得探索世界奧秘的顯微鏡和望遠鏡；給他們一雙數(shù)學的眼睛，一對數(shù)學的翅膀，讓他們看得更遠，飛得更高

4、。（2）1.1.3數(shù)學教育的學習觀1.數(shù)學學習的最基本的特點之一就是獨立思考。（2）2.個人的發(fā)展實質(zhì)上包含個人能力和社會關(guān)系兩個方面。（3）3.真正的數(shù)學學習是“思接千載，視通萬里”的精神活動，數(shù)學學習需要刻苦，但更是一種快樂，是刻苦釀造快樂。（3）4.真正的數(shù)學學習是通過獨立思考，使得對數(shù)學的理解向深層次結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化。一旦向深層次結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的學習發(fā)生突破時，對數(shù)學原先的理解就擴大了。數(shù)學學習正是一個重組知識、解釋經(jīng)驗、發(fā)展認識的過程。但是這個過程建立在學習者勤于思考、善于思考，特別是獨立思考的基礎之上。5.個人能力是指：鑒賞力、洞察力、學習能力、創(chuàng)造能力、表達能力等。6.社會關(guān)系的豐富意味著個人

5、能不斷地拓展自己的生活舞臺，在日新月異的社會生活中成功地扮演各種社會角色。（3）1.1.4數(shù)學教育的教學觀1.數(shù)學教育應該是“以激勵學習為特征，以學生活動為中心”的實踐模式，而不是“傳授知識”的權(quán)威模式。（3）2.促進學生學習，是教育者的基本責任和最終目標。（3）3.教的正確方式應該是，教師作為學生學習的向?qū)Ш皖I路人。（即創(chuàng)設情境，激發(fā)興趣，引發(fā)問題，促進探索，啟迪思維，激勵創(chuàng)造。）4.教師的教是服務于學生的學的。（4）5.在學校教學中，牢固確立“教師的教是服務于學生的學的”這一觀念十分必要。學習的過程應該是一個創(chuàng)造的過程，一個批判、選擇、釋疑、存疑的過程，課堂教學應當充滿想象，充滿探索性和體

6、驗性。任何知識，特別是個體的經(jīng)驗，需要有一個個性化的過程。別人的知識和經(jīng)驗沒有經(jīng)過改造、揚棄、整合、升華為自己的精神修養(yǎng)的學習，是沒有用處的，至少是沒有大用處的，充其量只是小技巧，而不是大智慧。再多的學習 ，其作用也是十分間接的、潛在的。1.1.5數(shù)學教育的能力觀1.數(shù)學教育應發(fā)展學生廣泛的基本數(shù)學能力。（4）2.數(shù)學能力分為：學、才、識三個方面。（4）（多項選擇題用）“學”是指數(shù)學的各種概念、公式、定理、算法、理論等等?！安拧笔侵高\算能力、推理能力、分析與綜合能力、洞察力、直覺思維能力、獨立分析問題和解決問題的能力等等?！白R”是指分析鑒別知識，在經(jīng)過融會貫通后形成的個人見解和策略觀念。.必須

7、“學、才、識”三者兼顧才能構(gòu)成完整的數(shù)學能力。（4）3.數(shù)學能力更體現(xiàn)為創(chuàng)造力。創(chuàng)造力是鼓勵出來的。（4）4華裔物理學家李政道的名言：求學問，需學問；只學答，非學問。（4）（單項選擇題）5發(fā)問即使很幼稚，卻蘊含著創(chuàng)造。向常規(guī)挑戰(zhàn)的第一步，就是提問。對每一個人來說，從小養(yǎng)成敢于提問的個性，始終保持一顆好奇心，培養(yǎng)對學習的熱愛，是學生創(chuàng)造力培養(yǎng)的要訣。1.1.6數(shù)學教育的現(xiàn)代技術(shù)觀1.從思維的角度看，現(xiàn)代信息技術(shù)是人類頭腦的延伸，它可以模擬試驗，拓展想像，促進理解，甚至可以完成人類無法完成的任務。（4）2.從學生學習數(shù)學的角度看，現(xiàn)代教育技術(shù)所具有的卓越性能，有利于學生成為真正的學習主體。在現(xiàn)代教

8、育技術(shù)這一平臺上學生能充分地發(fā)揮自己豐富的想象力和自由創(chuàng)造的思維，在美妙無窮的數(shù)學空間中翱翔。3.從數(shù)學教學的角度看，運用現(xiàn)代教育技術(shù)，可以使教師在教學活動中充分扮演組織者、引導者的角色。1.2我國數(shù)學課堂教學的特點及分析 我國數(shù)學課堂教學的若干特點：1、突出知識性的具體目標。1）大綱、課標及考綱對知識提出不同的目標要求。2）教學過程中對目標細化具有可操作性。3）每章每單元和每節(jié)課都有細致的目標。2、長于由舊知引出新知。3、注重新知識內(nèi)部的深入理解。4、重視解題并關(guān)注方法、技巧。5、重視鞏固、訓練和記憶。1）及時鞏固、強化練習是我國數(shù)學教學的重要特點。 2）我國數(shù)學教學強調(diào)記憶有法1.3對我國

9、中學數(shù)學教學的反思我國的數(shù)學教學存在的問題和不足有：一是重結(jié)果，輕過程。二是重顯性知識，輕思想方法。三是重知識點傳授，輕知識網(wǎng)絡構(gòu)建。四是重解題訓練，輕能力發(fā)展。五是重解答，輕反思。六是重教學思路設計，輕學生思維診斷。第二章 現(xiàn)代數(shù)學觀1.數(shù)學教育中的數(shù)學觀，就是指從數(shù)學教育的基本任務出發(fā)來認識和理解數(shù)學的特點。2.1數(shù)學的抽象性特征1.數(shù)學對象的抽象性：數(shù)學與其他科學相比較，最主要也是最基本的特點，就是他所研究的對象是抽象的形式化的思想材料。（12）（如：數(shù)、式、方程、函數(shù)；點、；線、面、體；群、環(huán)、域；歐氏空間、線性空間、拓撲空間他們是人類思想抽象的產(chǎn)物）2.數(shù)學的對象不僅是抽象的思想材料

10、，而且還是形式化的思想材料。（13）3.所謂形式化就是這些抽象的思想材料使用數(shù)學的特殊符號語言組織起來，當人們面對一系列數(shù)學材料時，看到的僅僅是材料的形式，其所包含的真正內(nèi)容卻是抽象的思想隱藏在形式之中。（13）2.1.2數(shù)學理論的抽象性1.事物的本質(zhì)指人在思維中把事物的某一方面的特性與其它特性區(qū)分開來加以單獨考慮，進而舍棄其他的特性，保留下來的特性就是抽象出來的事物的本質(zhì)。（13）2.許多不同科學領域的不同問題，表面看起來是完全不同的，可它們由數(shù)學語言表述出來的時候，可以用同一個數(shù)學模型來刻劃，因為這個數(shù)學模型反映了它們的共同性質(zhì)，即它們的本質(zhì)。同一個數(shù)學概念和理論反映了多種問題的共同本質(zhì)屬

11、性（13）3.數(shù)學反映各種不同領域的許多深刻的聯(lián)系，從而使數(shù)學起到統(tǒng)一和綜合各種科學知識的作用。（13）4.數(shù)學通過揭示本質(zhì)屬性實現(xiàn)的統(tǒng)一和綜合，使人類獲得深刻的洞察力，促進人類對客觀世界的理解。（13）2.1.3數(shù)學方法的抽象1數(shù)學思想活動除了對數(shù)學對象進行創(chuàng)造以外，還創(chuàng)造解決數(shù)學問題的數(shù)學方法。.數(shù)學方法指就是數(shù)學處理自身問題的方法。（13）2.數(shù)學的主要研究方式是思辨。（13）（由于數(shù)學的對象是抽象的形式化的思想材料，這就決定了數(shù)學研究必然是以思辨的方式進行的，也就是數(shù)學活動是人類抽象的思想活動。盡管計算機為今天的數(shù)學研究提供了史無前例的技術(shù)力量，但是數(shù)學科學的研究工作在很大程度上仍然依

12、靠個人的靈感和創(chuàng)造力，也就是依靠于個人的思維活動。）3.數(shù)學的思想實驗表現(xiàn)為內(nèi)部思維動作的操作過程，其他科學則表現(xiàn)為外部行為動作的操作過程。4.數(shù)學中的弱抽象方法：在數(shù)學的思想活動中，有一類方法是在同類的事物中抽取關(guān)于數(shù)量、空間形式或結(jié)構(gòu)關(guān)系方面的共同屬性，舍棄其他的特征，從而形成新的數(shù)學概念。這種舍棄一部分屬性保留共同屬性的抽象過程稱之為“弱抽象”。5.弱抽象的特點是，用弱抽象得到的數(shù)學對象，一般是概念外延的擴大，而內(nèi)涵的減少。6.弱抽象方法是數(shù)學思想活動的主要方法之一。弱抽象的本質(zhì)在于舍棄。（14）7.一般而言，只有內(nèi)容結(jié)構(gòu)較為豐富的對象，才能成為弱抽象的原型。8.數(shù)學中的強抽象;數(shù)學思想

13、活動中，有一類方法是把新的特征或?qū)傩蕴砑拥揭延械臄?shù)學結(jié)構(gòu)中，從而形成新的數(shù)學概念，這種通過在原有數(shù)學結(jié)構(gòu)中添加新的性質(zhì)來獲得新數(shù)學概念的抽象過程，稱之為“強抽象”。（14）9.強抽象的特點是，強抽象方法獲得的數(shù)學對象，一般在概念的外延上縮小了，但內(nèi)涵或結(jié)構(gòu)更加豐富和具體了。10.強抽象方法的本質(zhì)在于“添加”，強抽象是將不同數(shù)學概念或結(jié)構(gòu)有機地結(jié)合起來。11.強抽象和弱抽象是方向相反的兩種思維方法。從思維活動的方法看，弱抽象是“特殊到一般”的過程，強抽象則是“一般到特殊”的過程。（15）2.1.4數(shù)學抽象的理想化特點1.數(shù)學中的很多概念是理想化抽象的產(chǎn)物。（15）（如平面幾何中點、直線、平面以及

14、解析幾何的笛卡爾坐標系，是最典型的理想化抽象。）2.數(shù)學的理想化抽象之所以適用于對現(xiàn)實世界的研究，并成為認識現(xiàn)實世界的有力手段，是因為這種對現(xiàn)實對象和過程的理想化，具有扎根于現(xiàn)實世界的合理性和潛在的可實現(xiàn)性。（15）3.自然數(shù)公理化概念即是建立在這種潛在的可實現(xiàn)基礎之上。幾何圖形的無限分割，也是一種潛在的可實現(xiàn)思想的體現(xiàn)。2.1.5數(shù)學抽象的形式化特點1.數(shù)學抽象性的與眾不同之處是數(shù)學的抽象具有形式化特點。（15）2.數(shù)學抽象性的形式化主要表現(xiàn)在兩個方面：數(shù)學語言的形式化、數(shù)學概念命題的形式化（15）3.數(shù)學語言的形式化：數(shù)學思想活動的結(jié)果必須要以某種形式記錄和表達出來，在這方面，數(shù)學采取的是

15、形式化語言，也就是說數(shù)學語言是“形式化”的。4.數(shù)學語言的形式化，首先表現(xiàn)為符號化。數(shù)學符號是數(shù)學抽象物的表現(xiàn)形式，是數(shù)學存在的具體化身，是對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系空間形式和結(jié)構(gòu)關(guān)系反應的結(jié)果。數(shù)學符號按一定規(guī)則組織起來，就成為數(shù)學思想材料的材料的物質(zhì)載體數(shù)學語言5.數(shù)學符號代表了特定的數(shù)學含義，但是僅僅看他們的表面并不能看出內(nèi)在的意義，因而是一種形式，或者說它只是所代表實質(zhì)的形式的外殼，只有懂得它們的意義的人，才能把這個形式與其意義聯(lián)系起來，才能剝?nèi)バ问降耐鈿た匆娝麄兊膶嵸|(zhì)。（16）6.數(shù)學概念、命題的形式化：數(shù)學語言中有一個共同的句法形式是“如果那么”或“若則”。即數(shù)學的論斷都是建立在假設的基礎

16、之上，如果假設不成立，那么論斷也就不成立了。（16）7.數(shù)學是在以假設為前提的基礎上進行自身的科學理論建設的。（16）8.數(shù)學的形式化不等于數(shù)學的符號化，數(shù)學的符號化是數(shù)學形式化的一部分。（16）他們的差別在于：符號化著眼于各種數(shù)學抽象物本身及其關(guān)系的形式上的表述。形式化著眼于各種數(shù)學抽象物之間本質(zhì)聯(lián)系的形式上的表述，目的是把純粹的數(shù)量關(guān)系或結(jié)構(gòu)關(guān)系以簡潔明了的形式加以表述，以便揭示各種抽象物的數(shù)學本質(zhì)和規(guī)律。9.對數(shù)學形式化有一個正確的認識，對數(shù)學教育而言十分重要。（17）（因為，教師和學生在教與學的活動中，不僅要掌握數(shù)學對象的形式，更要理解數(shù)學形式所包含的數(shù)學對象的本質(zhì)屬性，透過形式抓住本

17、質(zhì)。）（辨析題）2.2數(shù)學的確定性特征1.數(shù)學的確定性由數(shù)學對象的抽象性決定。（17）（數(shù)學抽象保留了事物的共同的本質(zhì)，只有這些本質(zhì)的東西才是穩(wěn)定的、確定的、不變的，事實上數(shù)學正是研究在一定數(shù)學運動變換下的不變性質(zhì)。）（辨析題）2.數(shù)學的確定性由數(shù)學方法的抽象性決定數(shù)學方法的基本點就是概念的明晰性。（無論是數(shù)學家研究數(shù)學，還是學習者學習數(shù)學，其首要任務就是明白其面臨問題所涉及的概念，概念不明確一切數(shù)學活動都不能進行下去。）（17）數(shù)學方法的抽象性使得數(shù)學結(jié)論具有普適性、穩(wěn)定性。3.數(shù)學的確定性由邏輯方法本身的精確性決定。（18）在邏輯方法中，一切使用的概念在推理中必須服從規(guī)則。由于邏輯方法具有

18、確定的推理規(guī)則，一切概念服從規(guī)則，這使得邏輯方法本身具有了確定性。，進而使得經(jīng)由邏輯方法檢驗而獲得真理性的數(shù)學有了確定性的保證。（18）4.數(shù)學的確定性由公理化的結(jié)構(gòu)決定。（18）將某些概念以及它們之間在關(guān)系當做原始的，不加定義的，而所有以后的概念和性質(zhì)都以精確的定義和邏輯論證的方法，從原始概念導出。這種建立科學學科的過程就是公理化。數(shù)學的公理化本質(zhì)上反映了數(shù)學的內(nèi)部組織形式，數(shù)學公理化發(fā)展經(jīng)歷了實質(zhì)公理系統(tǒng)的第一階段，形式公理系統(tǒng)的第二階段，才完成了數(shù)學內(nèi)部組織精確化、完善化的過程。 決定數(shù)學理論體系最原始的真值保證，即決定那些不加證明的數(shù)學公理的真值性的保證，只能是數(shù)學家們親身工作的實踐。

19、（18）2.3數(shù)學活動的探索性特征1.數(shù)學高度抽象性、確定性和廣泛應用性方面的特點，是數(shù)學具有區(qū)別于其他科學的獨特的特點。（19）2.數(shù)學的探索性特征就是指，在數(shù)學活動中要運用一般科學的探索方法：觀察、實驗、想像、直覺、猜測、驗證、反駁。3.數(shù)學活動有三類：數(shù)學研究活動，就是數(shù)學發(fā)現(xiàn)發(fā)明的過程；數(shù)學認知活動，即數(shù)學學習活動，這是一個再創(chuàng)造的過程；數(shù)學實踐活動，即用數(shù)學解決問題的創(chuàng)造性過程。4.數(shù)學活動都要經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題，提出假設，驗證猜想的階段，這個階段就是數(shù)學探索活動階段。5.數(shù)學探索性表明了探索活動階段的不確定性。正是這種不確定性，體現(xiàn)了數(shù)學活動的創(chuàng)造性。（19）6.數(shù)學教學中教師把對數(shù)運算

20、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程作為重點，就把課本上缺失的探索過程彌補出來，也就是常說的“還原數(shù)學創(chuàng)造的本來面目”。（21）（這是一個十分典型的數(shù)學探索活動，這種情況的創(chuàng)設正是教師創(chuàng)造力7.所謂數(shù)學的探索性活動，就是對數(shù)學問題，人們根據(jù)自己的經(jīng)驗和知識，運用實驗、觀察、想像、直覺、猜測、驗證和反駁的方法，尋求一種可能性結(jié)論的活動。（21）8.數(shù)學探索性活動的基本特點有：其一，不是運用邏輯推理的論證方法，而是運用合情推理的探索方法；其二，可以獲得發(fā)現(xiàn)發(fā)明的內(nèi)容；其三，可以尋找解決問題的思路；其四，可以預測可能性結(jié)論的正確程度，對其作出合理的修正；其五，其結(jié)果只具有“可能性”，必須通過嚴格的論證才是可靠的、最終的結(jié)

21、論。（21）9.數(shù)學探索性活動的意義在于，它是數(shù)學發(fā)現(xiàn)發(fā)明的方法，是每個人將來進行創(chuàng)造性工作必須應用的方法。（22）10.數(shù)學探索性活動的關(guān)鍵是提出猜想。（22）驗證是數(shù)學探索活動不可缺少的環(huán)節(jié)。（22）11.數(shù)學探索性活動需要豐富的想象力。數(shù)學活動中想象包括幾何想象，類幾何想象，數(shù)覺想像，心理圖像幾個層次。12.數(shù)學直覺一般是指：對于數(shù)學對象事物的結(jié)構(gòu)及其關(guān)系的某種直接領悟或者洞察。（22）數(shù)學直覺不包括普通邏輯推理過程，具有非邏輯性、自發(fā)性的特點，包含合情推理形式的直接領悟，屬于非邏輯的思想活動范疇。（22）13.數(shù)學直覺的作用至少有兩個：辨識性作用和關(guān)聯(lián)性作用。（22）（在數(shù)學研究中，或

22、在數(shù)學解題中，人們常常要面對幾種可能的思路。這時常常是直覺在極短的時間迅速識別，作出抉擇。在數(shù)學活動中，在原來認為不相同或不相關(guān)的幾個事物之間，直接察覺到他們的聯(lián)系或者統(tǒng)一性，從而為猜測提供了依據(jù)。）14.在數(shù)學解題過程中，不少解決問題的方法和途徑是通過直覺的關(guān)聯(lián)性作用而發(fā)現(xiàn)。（22）2.4數(shù)學的廣泛應用性特征1.數(shù)學提供了特有的思維訓練。（23）中小學的數(shù)學課是教你思考。（23）2.數(shù)學所提供的特有的思維訓練有：數(shù)學化、抽象化、最優(yōu)化、符號化、隨機化、邏輯分析。（23）3.數(shù)學提供了科學的表達語言。（23）（數(shù)學語言是各種科學的通用語言；數(shù)學語言是世界各國家各民族的通用語言。）4.數(shù)學對人人

23、類的思維訓練所具有的價值，是數(shù)學應用的最大體現(xiàn)。（24）5.數(shù)學提供了抽象思維的模式。（為解決實際的和科學理論在非數(shù)學問題提供了抽象思維在模式。這類抽象思維的模式包括：為非數(shù)學問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題提供了具體的數(shù)學模型；為構(gòu)造數(shù)學模型提供了數(shù)學模型的抽象方法。6.數(shù)學提供了科學理論的示范作用。（數(shù)學理論示范作用主要表現(xiàn)為各門科學都把邏輯化，系統(tǒng)化甚至公理化作為本科學發(fā)展的目標。7.數(shù)學提供了不可思議的應用。2.5數(shù)學的文化價值觀 1.數(shù)學作為人類文化及其重要的組成部分，對人類文明發(fā)展有著舉足輕重的作用，特別是現(xiàn)代文化的發(fā)展更表明了數(shù)學文化的地位和作用。（25）2.數(shù)學獨特的文化價值有：認識價值（數(shù)

24、學是科學的語言、數(shù)學是普遍適用的思想方法。）；智力價值（數(shù)學是人類智力的創(chuàng)造物，是訓練人的智力、提高人的智力水平的最有效的途徑。）；精神價值（理性精神、求實精神、創(chuàng)造精神）；美學價值（簡潔之美、和諧之美、奇異之美）。3.數(shù)學語言具有單義性、確定性的特點，數(shù)學語言已成為一種通用的理想化的語言。（25）在數(shù)學眾多思想方法之中，帶有根本性的思想方法的是公理化思想、數(shù)學模型方法等。（26）4.數(shù)學是普遍適用的思想方法。首先，數(shù)學的思想方法起著科學示范的作用。其次，數(shù)學思想方法為其它科學提供了普遍思想框架。（26）5.人的智力的核心是思維能力。思維能力都是各種能力的核心能力.（26）數(shù)學學習中的，數(shù)學老

25、三大能力是：運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力。（26）數(shù)學學習中的，數(shù)學新三大能力是：數(shù)學應用能力、數(shù)學探索能力和數(shù)學閱讀能力6. 理性精神是人類對外部客觀世界與自身的一種理性的，根本的看法或基本態(tài)度，它對人類自身存在和文化發(fā)展具有特別重要的意義。一方面它是人腦抽象思維的創(chuàng)造物，另一方面它是不依賴于人的意志而獨立存在的。求實精神表現(xiàn)為尊重事實，尊重科學，尊重規(guī)律，實事求是，講究邏輯，不迷信，不盲從。 數(shù)學是一種創(chuàng)造性活動和創(chuàng)造性活動的精神產(chǎn)物。首先，數(shù)學概念的建立具有前所未有的創(chuàng)意，其次，數(shù)學的創(chuàng)造也表現(xiàn)在公式，定理的發(fā)明，發(fā)現(xiàn)中。再次，數(shù)學的創(chuàng)造還表現(xiàn)在數(shù)學理論體系和語言系統(tǒng)的創(chuàng)建上。第

26、三章 數(shù)學課程理論及其發(fā)展3.1什么是數(shù)學課程1.“課程”一詞按中文的解釋，“課”指課業(yè)，“程”指進程，課程是“課業(yè)及其進程”。它包含了兩個方面的含義：教學的科目或內(nèi)容以及這些科目或內(nèi)容的教學時間與程序。（29）2.什么是數(shù)學課程？由于對“課程”概念理解的不同，所以對于“數(shù)學課程”的理解而有所區(qū)別。（31）“經(jīng)驗說”.當我們把課程看作一種靜態(tài)的客體，一種預設的、有目的的安排，看成是旨在使學生獲得教育性經(jīng)驗的計劃時，相應的數(shù)學課程就應定義為：在學校教育環(huán)境中，旨在使學生獲得促進其全面發(fā)展的、具有教育性的數(shù)學經(jīng)驗計劃。（31）“內(nèi)容說”。如果我們把課程看作是一種靜態(tài)的，為實現(xiàn)學校教學目標而選擇的教

27、育內(nèi)容的總和，那么數(shù)學課程就應定義為：為實現(xiàn)數(shù)學學科教育目標而選擇的數(shù)學教育內(nèi)容的總和。（31）“過程說”。當我們把課程看作是一種動態(tài)的師生共同參與的意義創(chuàng)造的過程時，相應的數(shù)學課程可定義為由師生共同參與的建構(gòu)主體性數(shù)學經(jīng)驗的過程，是學生獲得數(shù)學體驗的歷程。（31）總之，由于課程概念的不統(tǒng)一性，決定了我們對數(shù)學課程的界定也是有差別的，各有側(cè)重。（31）3.2數(shù)學課程論的研究內(nèi)容1.簡單地說，數(shù)學課程論主要內(nèi)容是討論體現(xiàn)數(shù)學教育目的的教學內(nèi)容的問題、內(nèi)容的結(jié)構(gòu)及體系的建立以及課程實施與評價等問題,即在學校教育中應該傳授哪些數(shù)學內(nèi)容,為什么選取這些內(nèi)容等.2.數(shù)學課程目標:依據(jù)國家教育方針,分析國

28、家教育總目標,確定數(shù)學課程目標3.數(shù)學課程內(nèi)容:依據(jù)數(shù)學課程目標,分析影響數(shù)學教育的因素,包括社會的、數(shù)學自身的、教育心理的,特別是了解教育者身心發(fā)展和社會現(xiàn)實對數(shù)學的需求,選擇和確定數(shù)學課程內(nèi)容.4.數(shù)學課程體系:何時使學生學習什么樣的數(shù)學內(nèi)容有利于學生的發(fā)展和學生對數(shù)學知識的系統(tǒng)掌握,還需要研究學生的心理發(fā)展規(guī)律和數(shù)學知識的邏輯結(jié)構(gòu)體系,并把二者有機地結(jié)合起來,建立科學的數(shù)學課程體系.5.數(shù)學課程內(nèi)容的組織與呈現(xiàn):同樣的數(shù)學內(nèi)容,組織與呈現(xiàn)形式不同,對學生的學習會產(chǎn)生不同的影響.6.數(shù)學課程的實施:分析課程實施過程中的積極因素與消極因素,研究因素的可控性,增強積極因素的作用,克服消極因素的

29、影響.7.數(shù)學課程的評價:針對課程目標,根據(jù)現(xiàn)行數(shù)學課程,研究課程評價的方式方法,編制測量工具,對課程進行科學的評價,以不斷提高課程質(zhì)量,為未來數(shù)學課程的設計與發(fā)展提供依據(jù).3.3數(shù)學課程的發(fā)展 1.影響數(shù)學課程發(fā)展的因素:社會因素（社會生產(chǎn)力水平?jīng)Q定了社會生產(chǎn)對數(shù)學的需要，社會政治、文化影響學校的數(shù)學課程）,數(shù)學因素,教育心理因素（表現(xiàn)在新的教育理論或開拓的工作會成為課程發(fā)展的動力）.2.數(shù)學課程的改革與發(fā)展的因素還有學生的認識發(fā)展水平、數(shù)學教師的素質(zhì)、歷史與傳統(tǒng)文化的因素等。3.數(shù)學課程改革與發(fā)展的趨勢：突出學生的主體性地位，與現(xiàn)在教育技術(shù)相結(jié)合，課程組織上的融合。第四章 數(shù)學學習理論及其

30、教學啟示1按照“教與學對應的原理”，數(shù)學教學應該建立在學生對數(shù)學學習的基礎之上，因此對數(shù)學教學的認識必然要以數(shù)學學習的認識為基礎。數(shù)學學習是數(shù)學教學過程中的中心問題，也是數(shù)學教學認識論的核心概念。（35）2.人們關(guān)于學習的認識歷經(jīng)了由行為主義到認知主義的過程。（35）3.當今認知心理學理論強調(diào)學習中相互關(guān)聯(lián)的三個方面：第一，學習是一個知識建構(gòu)的過程而不是僅僅是知識的記錄或吸收；第二，學習依賴于知識，學生必須運用已有知識來建構(gòu)新知識；第三，學習與產(chǎn)生學習的情境具有高度一致性。4.1什么是數(shù)學學習1.行為主義意義下的學習，是指由練習或經(jīng)驗引起的行為相對持久的變化的過程（行為主義觀的學習） 2.行為

31、主義意義下的學習，其行為變化的特點有：1）它的要意在于要使學習成為可以觀測和測量的概念。2）這種行為上的變化是能夠相對持久保持的。3）學習的發(fā)生是由經(jīng)驗所引起的，這種變化主要是學習者與環(huán)境之間復雜的相互作用而產(chǎn)生的，是后天習得的，不是先天的或生長成熟的結(jié)果。（35）3.(認知主義觀的學習）認知主義觀人為：學習是人的傾向或能力的變化，這種變化能夠保持但不能單純歸因于生長過程。這也就是把人內(nèi)部的認知結(jié)構(gòu)的改變確認為學習。（美國加涅觀點）（36）4.人類學習的實質(zhì)，是人的能力、思想、情感的變化。（36）行為主義強調(diào)對學習研究的客觀觀察和測量。（36）認知主義強調(diào)學習的本質(zhì)是內(nèi)在能力和傾向的變化。（3

32、6）5.教育情境下的學習可以解釋為：按照教育的目的和要求，由經(jīng)驗產(chǎn)生的、比較持久的行為、能力或傾向的變化。（37）6.數(shù)學學習，可以認為是學生通過獲得數(shù)學知識經(jīng)驗而引起的持久行為、能力和傾向變化的過程。（37）7.數(shù)學學習具有一般學習的所有特點，尤其是：以系統(tǒng)掌握數(shù)學知識的內(nèi)容、方法、思想為主，是人類發(fā)現(xiàn)基礎上的再發(fā)現(xiàn)；在教師指導下進行，按照一定的教材和規(guī)定的時間進行，為后繼學習和社會實踐奠定基礎。（37）8.數(shù)學學習具有自身明顯的特點，所以，學生在數(shù)學學習時：需要提高抽象思維的水平；需要發(fā)展邏輯推理能力；需要必要的解題練習。（37）9.抽象與概括都是一種思維方法，它們是相互依存。只有通過由具

33、體到抽象的概括，才能既掌握數(shù)學結(jié)論的形式，又掌握形式背后的實質(zhì)。（37）在數(shù)學解題中需要很高的抽象概括能力。（37）很多學生解題能力不強，是沒有很好掌握抽象概括思維方法的結(jié)果。（37）10.歸納演繹、推理是一種主要思維形式，是有一個或幾個判斷推出另一個判斷的思維形式。數(shù)學證明所采用的最基本、最主要的形式是邏輯推理。（37）11.數(shù)學學習是離不開解題練習的，并且練習要達到一定的數(shù)量，才能學好數(shù)學。12.數(shù)學學習的基本方法：從學習心理學的角度看，數(shù)學學習的基本方法主要有模仿學習、操作學習、創(chuàng)造性學習。（38）模仿學習就是按照一定的模式去進行學習，它直接依賴于教師的示范。（在數(shù)學學習過程中，數(shù)學符號

34、的讀寫、學具的使用、運算步驟的順序、解題過程的表達、數(shù)學方法的運用、學習習慣的養(yǎng)成等都含有模仿的成分。）模仿是數(shù)學學習的基本的方法。模仿可以是有意的，也可以是無意的。模仿有兩個層次：簡單模仿和復雜模仿。 簡單模仿是一種機械性模仿，往往不是有意義學習。復雜模仿一般需要很強的邏輯思維能力復雜模仿經(jīng)常伴有“嘗試錯誤”的過程，（因為學生很少能一次就學會用某個模式去解決數(shù)學問題.）復雜模仿是看出方法與問題兩方面實質(zhì)性的聯(lián)系以后，根據(jù)這些聯(lián)系對方法加以靈活運用，雖然有模仿的成分，但含有對實質(zhì)的理解，是在理解實質(zhì)的基礎上模仿。13.數(shù)學操作學習指可以對數(shù)學學習效果產(chǎn)生強化作用的學習行為。（38）操作學習的主

35、要形式就是練習。（一般地，學生在獲得知識的過程中所形成的數(shù)學概念、原理和方法，在起始階段往往不夠深刻，這就需要通過練習來強化和加深。經(jīng)常性的練習，不僅能起到鞏固知識、保持記憶、減少遺忘的作用，而且對提高技能，培養(yǎng)能力，掌握思維方法也是必不可少的。）14.數(shù)學創(chuàng)造性學習有兩個特點：一是知識技能向新的問題情境遷移；二是在熟悉的問題情境中發(fā)現(xiàn)新問題。數(shù)學學習中的再創(chuàng)造，在于能夠利用已掌握的數(shù)學知識和技能去尋找解決新問題的方法，更重要的在于能夠提出和發(fā)現(xiàn)新問題。（39）創(chuàng)造性學習主要在解決問題過程中進行，其基本模式是：問題情境轉(zhuǎn)換尋求解法求的解答。（39）15.按照學習的性質(zhì)看，數(shù)學學習有兩個最基本類

36、型：數(shù)學的有意義接受學習和數(shù)學的有意義發(fā)現(xiàn)學習。數(shù)學的有意義接受學習指的是，學習的全部內(nèi)容是以定論的形式呈現(xiàn)給學習者。（即把問題的條件、結(jié)論以及推導過程都敘述清楚，不需要學生獨立發(fā)現(xiàn)，但要求他們積極主動地與自己認知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識建立非人為和實質(zhì)性聯(lián)系，使新舊知識融為一體。）（40）數(shù)學的有意義發(fā)現(xiàn)學習指的是，不把學習的主要內(nèi)容提供給學生，只是提供問題或背景材料，由學生自己獨立地發(fā)現(xiàn)主要內(nèi)容。（包括：揭示問題的隱蔽關(guān)系，發(fā)現(xiàn)結(jié)論和推導方法，將所提供的信息經(jīng)過加工和重新組合，然后與認知結(jié)構(gòu)中的適當知識聯(lián)系起來。）（41）16數(shù)學學習的兩個維度，一個維度是數(shù)學的有意義學習和數(shù)學的機械學習，另一

37、個維度是數(shù)學的接受學習和數(shù)學的發(fā)現(xiàn)學習。（41）（這就是說，接受學習可以是有意義的，也可以是機械的，發(fā)現(xiàn)學習也是如此。）17.大量的知識是通過有意義接受學習而獲得的，各種問題的解決則是通過發(fā)現(xiàn)學習而實現(xiàn)的。（發(fā)現(xiàn)學習的優(yōu)點是有助于解決問題的技巧，有利于檢查用接受學習獲得的知識是否有意義，適用于概念形成而不是同化水平的學前兒童或低年級學生，也適合于高年級學生學習新學科或新教材的早期階段。發(fā)現(xiàn)學習的缺點是當解決問題不用涉及原理、原則，發(fā)現(xiàn)法太費時間。）18.廣為流傳的一種觀點是，接受學習一定是機械的，發(fā)現(xiàn)學習必定是有意義的，這種觀點其實并無根據(jù)。（41）（錯誤的觀點）（因為按照有意義學習的實質(zhì)，無

38、論是接受還是發(fā)現(xiàn)，根本在于是否能在新舊知識之間建立非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系。講授和接受學習之所以被認為是機械或無意義的，其原因是把講授變成了灌輸，而不是揭示和啟迪知識間非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系。）19認知結(jié)構(gòu)是人們在對客觀事物的感知和理解的基礎上在頭腦里形成的一種心理結(jié)構(gòu)。（它是由個人過去的知識和經(jīng)驗組成，是個體認知活動的產(chǎn)物，是通過學習和認知活動逐步構(gòu)造起來的。）（42）20數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是存在于學生頭腦里的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)與認識結(jié)構(gòu)有機結(jié)合而成的心理結(jié)構(gòu)。（42）學生頭腦里的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)是課程教材里的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)和老師的數(shù)學知識結(jié)構(gòu)在學生頭腦里的反映。（42）認知是知識的高度概括。（42）21學生頭腦里

39、的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的一般思維動作主要是：分析與綜合、比較與類比、抽象與具體化、概括與專門化、分類與系統(tǒng)化等22.學生頭腦里的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學的特殊思維動作主要是：數(shù)學操作性思維動作、方法技巧性思維動作、思想觀念性思維動作和策略定向性思維動作。（42）數(shù)學操作性思維動作有：歸入概念、推出性質(zhì)、作出判斷、重新理解、模式識別。方法技巧性思維動作有消元、降次、換元、配方、待定系數(shù)、反證、完全歸納等等。思想觀念性思維動作有方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、映射與函數(shù)思想、極限思想、隨機思想等。（42）策略定向性思想動作有等價轉(zhuǎn)化、劃歸、類比、歸納猜想等等。（42）23數(shù)學認知結(jié)構(gòu)與數(shù)學相關(guān)的特征有：數(shù)學認知結(jié)構(gòu)

40、具有學生的個性特點且數(shù)學認知結(jié)構(gòu)按照數(shù)學知識的包攝水平、概括水平，以及抽象度的高低形成階梯層次；學生的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)是數(shù)學新知識的加工廠，及提供加工的原料，又提供加工的方法；數(shù)學認知結(jié)構(gòu)隨著認知的不斷深入而更加細化和融會貫通。（43）4.2數(shù)學學習是有意義學習1.學生學習的數(shù)學知識是用數(shù)學的語言文字符號表示的，數(shù)學的語言文字和符號不僅代表客觀的事物和現(xiàn)象，而且反映了前人抽象和概括出來的概念和原理。（43）2.學生學習數(shù)學時，一方面要掌握一整套的數(shù)學語言符號體系，另一方面要掌握數(shù)學語言符號所代表的事實、概念和原理，其中后者更為重要，他們是數(shù)學符號真正的認知內(nèi)容。3.通過數(shù)學的語言符號使學生在頭腦中

41、獲得相應認知內(nèi)容的學習，就是數(shù)學的有意義學習。（43）4.數(shù)學有意義學習的實質(zhì)是，數(shù)學的語言或符號所代表的新知識與學習者認知結(jié)構(gòu)中已有的適當知識建立非人為的實質(zhì)性的聯(lián)系。（43）5.認知結(jié)構(gòu)中已有的適當知識的“適當知識”，是指學生認知結(jié)構(gòu)中已有的、與新知識存在某種聯(lián)系的那些知識。（它們可以是數(shù)學知識，也可以是其他方面的知識、經(jīng)驗或者某種觀念。）（43）所謂“適當”就是與新知識有關(guān)。與新知識有關(guān)的適當知識，又稱為新知識有意義學習的生長點或固著點。（44）6.建立非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系：學生所學的新知識與認知結(jié)構(gòu)已有的適當知識，本身就存在某種固有的聯(lián)系，這種聯(lián)系就是非人為和實質(zhì)性的，它們只是目前存在

42、于不同的載體中，學生如果能把兩者原有的非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系認識出來、建立起來，也就建立起了非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系。（44）如果學生在學習數(shù)學時，能把新舊知識之間在數(shù)學體系中的內(nèi)在聯(lián)系建立起來，就是在新舊知識之間建立起了非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系。反之，如果學生把新知識與自己認知結(jié)構(gòu)中不適當、不相關(guān)的知識強行聯(lián)系起來，那不是非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系，而是人為和非實質(zhì)的聯(lián)系。（44）7.要建立非認為和實質(zhì)性聯(lián)系，就是對某一數(shù)學認知內(nèi)容，學生的認知結(jié)構(gòu)中已經(jīng)有了一種數(shù)學語言符號的表達形式，現(xiàn)在的新知識則是同一認知內(nèi)容的另一數(shù)學語言符號的表達形式，那么學生如果能把這些不同語言符號的表達形式聯(lián)系起來，把它們所代表的

43、同一認知內(nèi)容認識出來，就是建立起了非人為和實質(zhì)性的聯(lián)系。（44）8.盡管數(shù)學語言符號的外表形式不同，但學生能夠透過表面形式認識出兩者實質(zhì)相同，就是建立了實質(zhì)性聯(lián)系，這樣產(chǎn)生的學習是有意義學習。（45）9.數(shù)學有意義學習的條件分為客觀條件與主觀條件兩方面。（45）10.數(shù)學有意義學習的主觀條件是：1）學生必須具備數(shù)學有意義學習的心向；2）新知識對學習者必須有潛在意義；3）學習者必須具備有意義學習的思維潛能；4）數(shù)學有意義學習的結(jié)果。（45）數(shù)學有意義學習的基本形式（簡答）11.數(shù)學有意義學習的基本形式有：數(shù)學的表征學習，數(shù)學的概念學習，數(shù)學的同化學習和數(shù)學的順應學習。（46）12.數(shù)學的表征學習

44、是將數(shù)學的名詞、符號所代表的具體對象，在認知結(jié)構(gòu)里建立起等值關(guān)系。這種具體對象稱為數(shù)學名詞、符號的指代物。（名詞解釋）數(shù)學表征學習的特點是，對數(shù)學名詞符號所獲得的表征意義只代表特殊的和單個的事物。（46）數(shù)學的表征學習大部分是認知水平上的學習，而不像其他學科的代表學習基礎上是感知水平上的，這是數(shù)學學習與其他學科學習的一個很大區(qū)別。（原因在于大部分數(shù)學名詞符號的指代物本身就是抽象的，不是憑感知可把握的，所以數(shù)學的表征學習比起一般學科的代表學習來是較高級的學習。這也是數(shù)學比其他學科難學的原因之一。）（47）對數(shù)學的名詞符號一般從表征學習開始，但僅僅只達到表征學習的水平是不行的，因為指代物畢竟不是相

45、應數(shù)學名詞符號的本質(zhì)屬性，只停留在表征學習水平，容易導致非本質(zhì)性幻泛化的錯誤。（47）13.是不是就不要數(shù)學的表征學習?答案否定的。數(shù)學是抽象性很強的學科，早期進行表征學習，可以增強數(shù)學名詞符號的直觀性，獲得有關(guān)它們的直觀北京和豐富經(jīng)驗，有關(guān)的指代物可以成為掌握相關(guān)數(shù)學對象抽象意義的必要階梯，為數(shù)學名詞符號的抽象意義提供直觀模型。（47）14數(shù)學名詞符號不僅代表了數(shù)學概念的對象（指代物），同時也代表了數(shù)學概念的抽象意義和抽象關(guān)系。（47）（這就是說，數(shù)學的名詞符號不僅代表了單個的數(shù)學對象，更代表了一類數(shù)學對象，這類數(shù)學對象的全體形成了一個數(shù)學概念，相應的名詞符號就是這個數(shù)學概念的表示形式。）（

46、填空）15.數(shù)學的概念學習是要獲得數(shù)學名詞的概念意義，即掌握它們所代表的一類事物的共同的本質(zhì)屬性。（填空）16.數(shù)學的概念學習的特點是，數(shù)學名詞符號所獲得的概念意義代表了一類事物，的共同本質(zhì)屬性，在概念學習水平上，數(shù)學的名詞符號代表了一類事物，在代表學習水平上，數(shù)學的名詞符號只代表單個或特.殊的事物。（47）17.同樣的數(shù)學名詞符號，存在著兩種不同水平的有意義學習：表征學習水平上的有意義學習和概念學習水平上的有意義學習。（48）（但是在數(shù)學學習中僅僅達到表征學習水平上的有意義的學習是不夠的，必須達到概念學習水平上的有意義學習才是真正獲得了數(shù)學對象的意義，才是真正的數(shù)學有意義學習。）18.數(shù)學內(nèi)

47、容之間的關(guān)系有：類屬關(guān)系、總括關(guān)系、并列關(guān)系。這三種關(guān)系主要由數(shù)學內(nèi)容的包攝水平和概括水平的高低來決定。包攝和概括水平高的處于總括地位，低的處于類屬地位，水平相當?shù)奶幱诓⒘械匚唬?8）19.建立在內(nèi)容之間的關(guān)系基礎上的數(shù)學學習形式，主要有兩種：同化學習和順應學習。（48）20.同化的概念是指把給定的東西整合到一個早先就存在的結(jié)構(gòu)之中。（48）所謂同化學習，就是當新的數(shù)學內(nèi)容輸入以后，主體并不是消極地接受他們，而是利用已有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)對新知識內(nèi)容進行改造，使新內(nèi)容納入到原有的數(shù)學認知結(jié)構(gòu)中。（48）（填空）21.在同化的過程中，主要是辨識新舊知識的聯(lián)系，并由原有的舊知識作為生長點或固著點，把新

48、知識22.就認知結(jié)構(gòu)中已有知識而言，對于其是類屬關(guān)系的新知識的學習主要是同化，對與其是總括關(guān)系和并列關(guān)系的新知識的學習有一部分是同化。（48）23.一般來說。從學習新知識到練習中對新知識的保持是再認性同化；在其他知識中又遇見那個新知識時而對新知識的學習是再生性同化；在各種新問題中不斷地遇到那個新知識以后對新知識的學習是概括性同化。（49）24.要對原來認知結(jié)構(gòu)進行改組，使之與新知識內(nèi)容相適應，從而把它納入進去，這個過程叫作順應。（49）（填空）同化學習是新知識適應已有知識的過程，順應學習是已有知識適應新知識的過程。4.3學生的認知發(fā)展理論1.皮亞杰對學生的認知發(fā)展水平按年齡劃分出：感覺運動階段

49、、前運演階段、具體運演階段和形式運演階段這四個不同的認知發(fā)展階段。（50） 感覺運動階段（02歲）是指全語言或者全部表象性概念以前的感知活動時期。兒童雖然逐漸分化出朦朧而模糊的圖式，但由于還沒有產(chǎn)生表象、語言和思維，因而其圖式只是外部的運動和對運動的直覺。（51） 前運動階段（27歲）1.實物化概念：只能用實物（指代物）來把握概念。這表明這個階段的兒童只能進行代表學習水平上的學習，不能進行概念學習水平上學習，停留在不能離開活動的具體概念上，沒有出現(xiàn)抽象概念。2.表象依賴性是指只能依據(jù)具體的東西來表示靜態(tài)的活動或事物。3.注意廣度片面單一，不能看到事物的兩個方面或多個方面。4.原始性態(tài)的推理。5

50、.運演的前水平（前運演思維的不可逆性，即是指思維只能朝著單一的方向）。（52） 具體運演階段（712歲）在心理上進行內(nèi)部的組合、對應、分類等內(nèi)部的思維活動，而不是僅僅依賴于通過外部的行為活動。1.運演的可逆（既可以進行正運演也可以逆運算）2.運演系統(tǒng)的守恒。3.運演的傳遞。4.注意廣度的擴大。5.運演的直觀支撐。具體運演階段的直觀支撐的本質(zhì)是思維的形式與內(nèi)容還不能完全分離。形式運演階段（1217歲）本質(zhì)是有可能通過假設進行推理，并把形式的連接和內(nèi)容的真實性區(qū)分開來。1.由具體思維向抽象思維發(fā)展。2.由學習概念向?qū)W習命題發(fā)展（學習命題實際是在命題間進行運演，也就是二級運演。包括：應用蘊涵的運演、

51、應用命題邏輯的運演、對加工制造出來的關(guān)系的運演以及協(xié)調(diào)兩個參照系系統(tǒng)的運演）。3.邏輯思維向形式化推理發(fā)展。4.思維量和思維度向復雜發(fā)展。5.朝著自我反省的思維活動發(fā)展。皮亞杰的“反身抽象”經(jīng)過感覺運動水平前運演水平具體運演水平的發(fā)展過程。 4.4數(shù)學建構(gòu)主義學習理論1.建構(gòu)主義思想最早是瑞士心理學家皮亞杰提出來的。（選擇題）從最初的格局建構(gòu)成結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)對認識起中介作用，結(jié)構(gòu)不斷地建構(gòu)；從比較簡單的結(jié)構(gòu)到更為復雜的結(jié)構(gòu)，其建構(gòu)過程依賴于主體的不斷活動。高級結(jié)構(gòu)的建構(gòu)是在解決問題的過程中，依靠主體的活動來實現(xiàn)和完成的。（55）2.數(shù)學的對象主要是抽象的形式化的思想材料，數(shù)學的活動也主要是思辨的思

52、想活動，因此數(shù)學新知識的學習就是典型的建構(gòu)主義學習的過程。（55）（簡述）4.4.1建構(gòu)主義學習觀1.數(shù)學建構(gòu)主義學習的實質(zhì)是：主體通過對抽象的形式化思想材料的思維構(gòu)造，在心理上建構(gòu)這些思想材料的意義。（55）2.所謂思維構(gòu)造，既是指主體在多方位地把新知識多方面的各種因素建立聯(lián)系的過程中，獲得新知識的意義。（55）3.建構(gòu)是新知識的意義同時建立和構(gòu)造的過程。（既要建立對新知識的理解，將新知識與已有的適當知識建立聯(lián)系，又要將新知識與原有的認知結(jié)構(gòu)相互結(jié)合，通過納入、重組和改造，構(gòu)成新的認知結(jié)構(gòu)。）（55）4.植根于內(nèi)部的認知網(wǎng)絡和強行嵌入的外部結(jié)構(gòu)。4.4. 2數(shù)學建構(gòu)主義學習的主要特征1.數(shù)學

53、建構(gòu)主義學習是主體對客體進行思想構(gòu)造的過程，是主體在以客體作為對象的自主活動中，由于自身的智力參與而產(chǎn)生出個人體驗的過程。2.數(shù)學建構(gòu)主義學習的主要特征：自主活動、智力參與和個人體驗。 個人體驗有語言成分，也有非語言成分。即數(shù)學認識的建構(gòu)是語言和非語言雙重編碼。在對客體的主動活動中，主體在獲得語言表征的同時，還獲得情節(jié)表征和動作表征。語言表征是活動中經(jīng)驗的抽象和概括，情節(jié)表征是活動中的視覺映像或其他映像，動作表征則是行動中獲得的直接體驗。智力參與就是主體將自己的注意力、觀察力、記憶力、想象力、思維力和語言能力都參與進去。數(shù)學建構(gòu)主義的學習以學生的自主活動為基礎，以智力參與為前提，又以個人體驗為

54、終結(jié)。學生的自主活動，第一是活動；第二是學生的自主性和積極性?；顒邮莻€人體驗的源泉，是語言表征、情節(jié)表征、動作表征的源泉。4.4.3 數(shù)學建構(gòu)主義學習的兩個基本過程1.基本模式就是同化和順應。同化是原有認識結(jié)構(gòu)對新知識的認同，順應是原有認識結(jié)構(gòu)對新知識的適應?？梢哉f有意義接受學習和有意義發(fā)現(xiàn)學習是建構(gòu)主義學習的兩個基本過程。2.有意義發(fā)現(xiàn)學習，是思維構(gòu)造的探索階段先于言語表達和概念定義。有意義接受學習室言語表達和概念定義先于思維構(gòu)造的探索階段。4.4.4反思建國主義學習觀1.從學習理論發(fā)展看，雖然建構(gòu)主義是一種新思想，但其很多主要觀點其實是集教育認知心理學多家之說的概括，運用時要結(jié)合具體情況選

55、擇科學正確的理論來指導數(shù)學的教與學，處理好繼承和發(fā)展的關(guān)系。2.建構(gòu)主義在哲學上過分強調(diào)科學知識的相對真理性容易造成誤解，進而造成學生真理的懷疑和學習的隨意性。3.建構(gòu)主義理論在教育上有其積極意義，但追求個人意義觀點，容易導致從一個極端走向另一個極端。4.5探究性學習理論及其在數(shù)學教學上的應用4.4.1數(shù)學探究學習的實質(zhì)1.探究學習的基本特征：自主性、過程性、實踐性、開放性。2.數(shù)學探究學習是指學生自己或合作共同體針對要學習的概念、原理、 法則或要解決的數(shù)學問題主動數(shù)學問題主動地思考、探索的學習活動，強調(diào)的是一種主動參與的學習方式。3.探究學習與接受學習作為兩種主要的學習方式，是相輔相成，結(jié)伴

56、而行。4.5.2數(shù)學探究學習的課堂教學指導策略1.數(shù)學探究學習的課堂指導策略實質(zhì)是探究教學方法的問題。設計基于問題情境的數(shù)學探究環(huán)境，是一切數(shù)學探究教學方法的基礎。2.數(shù)學探究學習課堂指導的一般模式：創(chuàng)設問題或探究環(huán)境預備探究與組織分配獨立探究或協(xié)作探究成果累積與過程評價求異探新或問題眼神。第五章 數(shù)學教學理論及運用1.數(shù)學教學理論是數(shù)學教學實踐經(jīng)驗的概括與總結(jié)，是人們對數(shù)學教學現(xiàn)象及其規(guī)律的一種系統(tǒng)化的理性認識，是數(shù)學學科教學的感性經(jīng)驗上升為理性認識后的一種表現(xiàn)形態(tài)。2.數(shù)學教學理論主要研究數(shù)學教學情境中教師引導、維持或促進學生學習的行為，從而提供一般性的規(guī)定或處方，以指導數(shù)學課堂的實踐活動

57、。（65）（填空題、簡答題）5.1數(shù)學教學及其過程1.數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學，數(shù)學教學過程是數(shù)學活動的教學過程。（65）2.數(shù)學教學的認識：（1）數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學；（2）教學中的數(shù)學活動是逐步深入的分層次活動；（3）數(shù)學活動發(fā)生具有邏輯必要條件；（4）數(shù)學教學具有自身的基本特點。（65）3.數(shù)學教學是數(shù)學活動的教學。（簡答題）（65）（數(shù)學活動是抽象的形式化的思想活動，因而將數(shù)學教學界定為數(shù)學活動的教學，是對數(shù)學教學本質(zhì)的準確把握。數(shù)學教學中的數(shù)學活動既有外部的具體行為操作，又有內(nèi)部的抽象思維動作，是學生由外及里的活動，并且以內(nèi)部的積極思維活動為主要形式。）教學中數(shù)學活動是逐步深入的分層次活動。（66）（這種層次性依次體現(xiàn)在下述幾個方面。第一，借助于觀察、試驗、歸納、類比、概括等活動積累事實材料（數(shù)學化的過程）；第二，由積累的材料抽象出原始概念和公式體系，并在這些概念和體系的基礎上演繹地建立理論（數(shù)學的再發(fā)現(xiàn)過程）；第三，應用理論（實踐活動或更高級的抽象活動）4.數(shù)學活動的三個層次具有內(nèi)在聯(lián)系性。（66）（前一層次是后一層次的基礎，后一層次是前一層次的發(fā)展，呈現(xiàn)出螺旋遞進的特征。數(shù)學活動的層次性也是個體數(shù)學活動經(jīng)驗水平的一種標志，即數(shù)學活動的各個層次都有其相應的數(shù)學活動經(jīng)驗水平。上述三個層次就明顯地呈現(xiàn)由感性到理性、由低