2020年福建省龍巖市高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)(6月份)(含答案解析)

1、2020 年福建省龍巖市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）6 月份）第 15 頁，共 17 頁、選擇題（本大題共 12小題，共 60.0 分）1.2.3.4.復(fù)數(shù)A.B.C.A.B.C.已知全集 ，集合 ，則A.B.C.D.設(shè) 是等差數(shù)列 的前 n 項和，且 ， ，則A. 4B. 3C. 2 D. 5保護生態(tài)環(huán)境是每個公民應(yīng)盡的職責 某校隨機抽取 100 名同學(xué)進行“垃圾分類”的問卷測試， 測試結(jié)果發(fā)現(xiàn)這 100 名同學(xué)的得分都在內(nèi)，按得分分成 5組：， ， ， ，得到如圖所示的頻率分布直方圖， 則估計這 100 名同學(xué)的得分的眾數(shù)為D.5.A. 70 B. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖， 若輸入 k，n 的

2、值均是 0，則輸出 T 的值 為A. 9B. 16C. 25D. 366. 用數(shù)字 1，2，3 組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，那么所有的三位數(shù)中是奇數(shù)的概率為A. B. C. D.7. 在矩形 ABCD 中， ， ，平面上一點 P 滿足 ， ，則A.B. 3C. 0D. 18. 已知函數(shù) 在 上有極值，則實數(shù) a 的取值范圍為A.B.C.D.9. 在三棱錐 中，平面 ABC， ， ， ，則三棱錐的外接球的半徑A.B.C.D.10. 設(shè)A，B為雙曲線 ： 的左，右頂點， F為雙曲線 右焦點，以原點 O為圓心， 為半徑的圓與雙曲線 的一條漸近線的一個交點為 M，連接 AM， BM，則A. 4B.C. 2

3、D.11. 已知數(shù)列 滿足 ，又 的前項和為 ，若 ，則A. 13B. 15C. 17D. 3112. 已知拋物線 ： 和圓 ： ，過圓 上一點 P 作圓的切線 MN 交拋物線 于M ，N兩點，若點 P為 MN的中點，則切線 MN的斜率 時的直線方程為 A.B.C.D.二、填空題（本大題共 4 小題，共 20.0分）13. 函數(shù)在點處的切線方程為 ，則 的最大值為 15. 一條河的兩岸平行，河的寬度 ，一艘船從岸邊 A 處出發(fā)到河的正對岸，已知船的速度 ，水流速度 ，那么行駛航程最短時，所用時間是 附：，精確到 16. 已知函數(shù) ，滿足不等式 在 R 上恒成立，在上恰好只有一個極值點，則實數(shù)

4、三、解答題（本大題共 7 小題，共 82.0分）17. 的內(nèi)角 A，B，C 的對邊分別為 a 、b、c，若， ， 求 sinB ；求 的面積18. 如圖，在四棱錐 中， 平面 ABCD ，在四邊形 ABCD 中， ， ， ， ， ， 證明：平面 PAD ；求二面角 的余弦值19. 已知橢圓 ： 的左，右焦點分別為 ， ，橢圓的左， 右頂點分別為 A， B，已知橢圓 上一異于 A，B 的點 P， PA， PB的斜率分別為 ， ，滿足求橢圓 的標準方程；若過橢圓 左頂點 A作兩條互相垂直的直線 AM和 AN，分別交橢圓 于 M， N兩點，問 x 軸上是否存在一定點 Q，使得成立，若存在，則求出該定

5、點Q，否則說明理由20. 由甲乙兩位同學(xué)組成一個小組參加年級組織的籃球投籃比賽，共進行兩輪投籃，每輪甲乙各自 獨立投籃一次，并且相互不受影響，每次投中得 2 分，沒投中得 0 分已知甲同學(xué)每次投中的 概率為 ，乙同學(xué)每次投中的概率為 求第一輪投籃時，甲乙兩位同學(xué)中至少有一人投中的概率； 甲乙兩位同學(xué)在兩輪投籃中，記總得分為隨機變量 ，求 的分布列和期望21. 已知實數(shù) ，若關(guān)于 x的不等式 在 上恒成立，求實數(shù) a 的取值范圍；若 ，求證：22. 在平面直角坐標系 xOy 中，點 P 是曲線 C ：為參數(shù) 上的動點，以坐標原點 O為極點， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線 的極坐標方程為

6、： 求曲線 ， 的直角坐標下普通方程；已知點 Q 在曲線 上，求 的最小值以及取得最小值時 P點坐標23. 已知 ， 若關(guān)于 x 的不等式 的解集為 ，求實數(shù) a 的值；若 時，不等式 恒成立求實數(shù) a 的取值范圍答案與解析1. 答案： B解析： 解：因為復(fù)數(shù)故選： B直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡即可本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運算，考查計算能力2. 答案： C解析： 解：因為全集 ，集合 ， 故選： C先求出 M，再利用補集的定義求出結(jié)論本題考查集合的基本運算，是對基本知識的考查3. 答案： B解析： 解：設(shè)等差數(shù)列 的公差為 d，由 ， ，得 ，即 故選： B設(shè)等差數(shù)列 的公差為 d

7、，由已知列式求得 d，再由通項公式求本題考查等差數(shù)列的通項公式與前 n 項和，是基礎(chǔ)的計算題4. 答案： D解析： 解：由頻率分布直方圖可知，這 5 組中組的頻率最大，所以眾數(shù)為這一組的區(qū)間中點值，即眾數(shù)是 75，故選： D利用眾數(shù)的估計值為頻率最大區(qū)間的區(qū)間中點值即可算出結(jié)果 本題主要考查了眾數(shù)的估計值，是基礎(chǔ)題5. 答案： B解析： 解：模擬程序的運行，可得，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，此時，不滿足條件 ，退出循環(huán)，輸出 T 的值為 16 故選： B由已知中的程序語句可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量T 的值，模擬程序

8、的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基 礎(chǔ)題6. 答案： D解析： 解：用數(shù)字 1，2，3 組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，基本事件總數(shù) ， 其中奇數(shù)的個數(shù) ，所有的三位數(shù)中是奇數(shù)的概率為可知 的坐標滿足當 時，故選： D基本事件總數(shù) ，其中奇數(shù)的個數(shù) ，由此能求出所有的三位數(shù)中是奇數(shù)的 概率本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題7. 答案： A解析： 解：畫出圖形，并距離平面直角坐標系如圖： 由題意可知 ， ， ， ， 平面上一點 P 滿足 ， ， ，當，此時

9、，故選： A 畫出圖形，建立直角坐標系，設(shè)出坐標，然后利用向量的數(shù)量積求解即可 本題考查平面向量的數(shù)量積的運算，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎(chǔ)題，8. 答案： B解析：解：函數(shù) 在區(qū)間 上有極值，在 上有變號零點，由 可得 ，即 ，得到 ，故選： B求導(dǎo)可得，依題意，上有變號零點，令 ，則 ，由此即可求得 a 的取值范 圍本題考查根據(jù)函數(shù)的極值求參數(shù)的取值范圍，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運算能力，屬于中檔題9. 答案： D解析： 解： ， ， ，由余弦定理可得 ，外接圓的半徑設(shè)球心到平面 ABC 的距離為 d，則由勾股定理可得故選： D由已知利用余弦定理求出 BC，可得外接圓的半徑，再由勾股定理可

10、求該三棱錐的外接球的半徑本題考查多面體外接球半徑的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題10.答案： A解析： 解：由題意可知雙曲線的圖形如圖：設(shè)A，B 為雙曲線： 的左，右頂點， F 為雙曲線 右焦點，以原點 O 為圓心， 為半徑的圓與雙曲線 的一條漸近線的一個 交點為 M，連接 AM， BM， ， ，所以 ， ， ，所以在直角三角形 ABM 中， 故選： A畫出圖形，利用雙曲線的性質(zhì)，求出 M 坐標，然后轉(zhuǎn)化求解即可本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題11.答案： A解析： 解： ，故選： A首先根據(jù)題意，將 轉(zhuǎn)化為 的關(guān)系式，然后求出 即可

11、 本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列的求和問題，屬基礎(chǔ)題 12.答案： D解析： 解：設(shè) ， ， ，可得 ， ，兩式相減可得 ，可得，可得，若點 P 為 MN 的中點，可得 ，即有 ，又，由 消去 ， ，可得由選項可得，當 時， ， ， 代入 ，不成立；當 時， ， ，代入 ，成立此時直線 MN 的方程為 ，即為 故選： D設(shè) ， ， ，代入拋物線的方程，由作差法可得直線 MN的斜率，結(jié)合中點 坐標公式和 P 的坐標滿足圓的方程，以及兩直線垂直的條件：斜率之積為 ，消去 ， ，可得 k 的方程，結(jié)合選項的直線的斜率，代入求得 P 的坐標，檢驗是否滿足圓的方程，即可得到所求直 線的方程本題考查拋物線

12、和圓的方程的運用，考查直線和圓的位置關(guān)系、直線和拋物線的位置關(guān)系，主要考 查方程思想和運算能力，屬于中檔題13.答案：解析： 解：由 ，得 ，則函數(shù)在點處的切線方程為 ，即 故答案為： 解析： 解：由實數(shù) x、y 滿足約束條件，作求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在 處的導(dǎo)數(shù)，再由直線方程的點斜式得答案 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究故曲線上某點處的切線方程，關(guān)鍵是熟記導(dǎo)數(shù)的運算法則，是基礎(chǔ)題 14.答案： 6出可行域：聯(lián)立 ，解得 ，化 為 ，由圖可知，當直線 過A 時，直線在 y 軸上的截距最小， z 有最大值為： 6 故答案為： 6由約束條件作出可行域， 化目標函數(shù)為直線方程的斜截式， 數(shù) 形結(jié)合得到最

13、優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題15.答案：解析： 解：如圖：行駛航程最短時，就是船垂直到達對岸， 和速度為： 行駛航程最短時，所用時間是： 故答案為： 利用河的寬度為 4km，結(jié)合船的靜水速度船的速度，水流速度 ，利用數(shù)列的減法運算求出和速度，即可求解行駛航程最短時所用時間本題考查三角形的解法，實際問題的處理方法，是基本知識的考查16.答案：解析： 解： 不等式 在 R 上恒成立，即 ，函數(shù) 在 上恰好只有一個極值點，即 ，結(jié)合 可得，當 ， 時， 故答案為： 因為不等式在 R 上恒成立，所以，又函數(shù) 在 上恰好只有一個極值

14、點， 所以 ，解得 ，結(jié)合 可得，當 ， 時， 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查學(xué)生的邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題17. 答案： 解： 在 中，由 ，知： 所以由正弦定理可知：；，即由 ，及，因此 ，可知 所以 的面積為 解析： 由已知結(jié)合同角平方關(guān)系及和差角公式即可求解； 由已知結(jié)合正弦定理可求 b，進而可求 a，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解本題主要考查了同角平方關(guān)系及和差角公式，正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔試題18. 答案： 解： 在平面 ABCD 中， ， ，即 ，又 平面 ABCD ，則，又，平面 分在平面 ABCD 中，過 A 作 BC 的平行線交 CD 的延長線 于 M ，

15、 ， ，又 ，則 ，由 可知：即 ，則 ， 在 中， B 點到直線 PC 的距離 設(shè)二面角 的平面角為 ，則 所以 解析： 依題意，可得 ，由線面垂直的性質(zhì)可得 ，進而得證； 利用等體積法求出 B 點到直線 PC 的距離，進而求得二面角 的余弦值 本題考查線面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理論證能力及運算求解能力，屬于中檔題19. 答案： 解： 設(shè) ，則 ，則，橢圓 的標準方程為 由 知 ，且直線 AM 和 AN 的斜率存在，設(shè)直線 AM 和 AN 的方程分別為和 ，設(shè) ， ，聯(lián)立 ，直線 AM 和橢圓 交于 A，M 兩點，同理設(shè) x 軸上存在一定點，使得 成立， ，則，可得 ，因此 x

16、軸上存在一定點，使得 成立解析： 設(shè) ，利用直線的斜率關(guān)系，結(jié)合 ，求解 a， b，然后求解橢圓方程設(shè)直線 AM 和 AN 的方程分別為 和 ，設(shè) ， ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程， 求出 M、N的坐標，設(shè) x軸上存在一定點，使得 成立， ，轉(zhuǎn)化求解即可本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是難題20. 答案： 解： 第一輪投籃時，甲乙兩位同學(xué)中都沒有投中的概率為甲乙兩位同學(xué)中至少有一人投中的概率為對甲： ， ，對乙： ， ，記 ：則有 ， ，所以， 解析： 利用相互獨立數(shù)據(jù)的概率的乘法，求解概率，結(jié)合對立事件的概率求解即可 求出 ，然后求解期望即可本題考查

17、離散型隨機變量的的概率的求法，期望的求法，考查分析問題解決問題的能力21.答案： 證明：設(shè)，則若關(guān)于 x 的不等式 在 上恒成立，可以轉(zhuǎn)化為 ，在 上恒成立，對 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得：，在 時，有 ，則在 為增函數(shù)，而，因此在為增函數(shù)，有從而 所以 符合要求在 時，由 可知： ，令 ， ，因此 在 為減函數(shù)，則 ， 單調(diào)遞減， 于是有 在 恒成立，從而矛盾，因此 不符合綜合討論可知： 設(shè)，對 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得：上恒成立，由 可知當 時， 即 在 上恒成立， 所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，可知： ，在 上為增函數(shù)，則解析： 設(shè) ，問題可以轉(zhuǎn)化為 ，在 上恒成立，先求 ，再 求 ，分兩種情況： 在 時

18、， 在 時， 分析 的正負， 的增減，得 的增減， 進而得 的函數(shù)值取值范圍 是否符合題意， 進而得出結(jié)論設(shè) ，對 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)得： ，由 可知當 時，在 上恒成立， 得 在 上恒成立， ， 在 上為增函數(shù)，則 ，進而得出結(jié)論本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，三角函數(shù)化簡，屬于中檔題22.答案： 解： 由 ： 消去參數(shù) t 得到，所以曲線 的直角坐標方程為 由曲線 ：根據(jù)，整理得直角坐標方程為：設(shè)，則 P 到直線 ：的距離為當 時， ，當 時， ，所以當 ，且 時，整理得 ，此時 解析： 直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉(zhuǎn)換 利用點到直線的距離公式的應(yīng)用和基本不等式的應(yīng)用求出結(jié)果本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉(zhuǎn)換，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng) 用，基本不等式的應(yīng)用，點到直線的距離公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換