三角函數(shù)講義(最新)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載三角函數(shù)復(fù)習(xí)講義一、基礎(chǔ)知識定義 1角，一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r針方向，則角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向?yàn)轫槙r針方向，則角為負(fù)角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義 2角度制，把一周角 360 等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360 度 =2弧度。若圓心角的弧長為L，則其弧度數(shù)的絕對值 | |=L ,其中 r 是圓的半徑。定義 3rx 軸的正三角函數(shù)，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，把角 的頂點(diǎn)放在原點(diǎn)，始邊與半軸重合，在角的終邊上任意取一個不同于原點(diǎn)的點(diǎn)P，設(shè)它的坐標(biāo)為（x,y），到原點(diǎn)的距離為 r,則正弦函數(shù) sin

2、= y ,余弦函數(shù) cos=x ,正切函數(shù) tan =y ，余切函數(shù) cot = x ，rrxy定理 1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，1sin, cotcos；倒數(shù)關(guān)系： tan=,商數(shù)關(guān)系： tan =sincotcos乘積關(guān)系： tan× cos =sin ,cot × sin =cos ；平方關(guān)系： sin2 +cos2 =1定理 2誘導(dǎo)公式（） sin( +)=-sin , cos(+ )=- cos , tan (+)=tan ;（） sin(- )=-sin , cos(- )=cos , tan(- )=- tan ;（） sin( - )=sin , cos(-

3、 )=-cos , tan=(- )=-tan ;（） sin=cos , cos=sin （奇變偶不變，符號看象限）。22定理 3正弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得y=sinx （x R）的性質(zhì)如下。單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k,2k上為增函數(shù)， 在區(qū)間2k,2k3上為減函2222數(shù)，最小正周期為2. 奇偶數(shù) . 有界性：當(dāng)且僅當(dāng)x=2kx+時， y 取最大值 1，2當(dāng)且僅當(dāng) x=3k- 時 , y 取最小值 -1。對稱性：直線 x=k+ 均為其對稱軸，點(diǎn)22（k, 0）均為其對稱中心，值域?yàn)?1， 1。這里 k Z.學(xué)習(xí)必備歡迎下載定理 4 余弦函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)圖象可得 y=cosx( x R)的性質(zhì)。

4、單調(diào)區(qū)間：在區(qū)間 2k, 2k+上單調(diào)遞減，在區(qū)間 2k-, 2k上單調(diào)遞增。最小正周期為 2。奇偶性：偶函數(shù)。對稱性：直線 x=k均為其對稱軸，點(diǎn)k,0 均為其對稱中心。2有界性：當(dāng)且僅當(dāng) x=2k時， y 取最大值1；當(dāng)且僅當(dāng) x=2k-時， y 取最小值 -1。值域?yàn)?-1， 1。這里 k Z.定理 5 正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=tanx(xk+)在開區(qū)間 (k- ,22k+ )上為增函數(shù) , 最小正周期為 ，值域?yàn)椋?-， +），點(diǎn)（ k，0），（ k+，220）均為其對稱中心。函性數(shù)ysin x質(zhì)圖象定義R域值1,1域當(dāng) x2kk時， 當(dāng) x2最y1；當(dāng) x2kymax值ma

5、x2k時， ymin1k周2期性ycosxR1,12kk時，1；當(dāng) x2k時， ymin12ytan xx xk,k2R既無最大值也無最小值學(xué)習(xí)必備歡迎下載奇奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)偶性在 2k,2 k22在 2k,2 kk上是單k上是增函數(shù)；在在 k, k2調(diào)增函數(shù)；在 2k,2 k2性,2 k3k上是增函數(shù)2k2k上是減函數(shù)2k 上是減函數(shù)對稱中心 k ,0k,0對稱中心對對稱中心 kkk稱2k對稱軸 xkk,0性22對稱軸 x kk無對稱軸定理 6兩角和與差的基本關(guān)系式：cos()= cos cossin sin ,sin( )=sin cos cos sin ;tan( )=(tantan)

6、 .(1tantan)定理 7和差化積與積化和差公式 :sin +sin =2sincos1sin( + )+sin ( -),2,sin cos =22sin -sin =2sin2cos,cos sin =1sin ( +)-sin( - ),22cos+cos =2 coscos,coscos =1cos(+ )+cos( - ),222cos -cos =-2sinsin,sin sin =-1cos( + )-cos( - ).222學(xué)習(xí)必備歡迎下載定理 8倍角公式 :sin 2=2sin cos ,cos2=cos2 -sin 2 =2cos2 -1=1-2sin2 ,2 tan.

7、tan2=2(1 tan)定理 9半角公式 :sin=(1cos)(1cos )2,cos=,222tan(1cos)sin(1 cos)=cos=cos )sin.2(1) (12 tan21tan22定理 10萬能公式 :sincostan2,tan2,12122tantan2.1tan 22定理 11輔助角公式：如果22x 軸正半軸，終a, b 是實(shí)數(shù)且 a +b0，則取始邊在邊經(jīng)過點(diǎn) (a, b)的一個角為 ，則 sin =b,cos =a，對任意的a 2b2a 2b2角 .asin +bcos = (a 2b2 ) sin( + ).定理 12正弦定理： 在任意 ABC 中有abc2

8、R ，其中 a, b, csin Asin Bsin C分別是角 A， B，C 的對邊， R 為 ABC 外接圓半徑。定理 13余弦定理：在任意ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分別是角 A，B，C 的對邊。定理 14圖象之間的關(guān)系：y=sinx 的圖象經(jīng)上下平移得y=sinx+k 的圖象；經(jīng)左右平移得 y=sin(x+)的圖象（相位變換） ；縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼? ，得到 y=sinx (0 )的圖象（周期變換） ；橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換） ； y=Asin( x+)(>0) 的圖象（周期變換）

9、；橫學(xué)習(xí)必備歡迎下載坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼腁 倍，得到 y=Asinx 的圖象（振幅變換） ；y=Asin (x+)(,>0)(|A|叫作振幅 )的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=Asinx的圖象。定義 4函數(shù) y=sinx x,22的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作 y=arcsinx(x -1,1) ，函數(shù) y=cosx( x0, )的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作 y=arccosx(x -1, 1).函數(shù) y=tanxx2,的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx(x - , + ).2y=cosx(x 0, )的反函數(shù)稱為反余切函數(shù)，記作y=arccotx(x - , + ).定理 15三

10、角方程的解集， 如果 a (-1,1)，方程 sinx=a 的解集是 x|x=n+(-1) narcsina ,n Z 。方程 cosx=a 的解集是 x|x=2kxarccosa, k Z . 如果 a R，方程 tanx=a的解集是 x|x=k+arctana, k Z 。恒等式：arcsina+ar ccosa=；arctana+arccota=.22定理 16若 x0,，則 sinx<x<tanx.2習(xí)題1、三角函數(shù)線的應(yīng)用1，則 tan =_.1.已知 sin =32.滿足 sin x 1的 x 的取值范圍是 _.23.已知 0 < x < ， sinx、 t

11、anx、 x 的大小為 _.24.(2005 全國1)已知 是第三象限的角，則是（ ）2A. 第一或二象限的角B. 第二或三象限的角C.第一或三象限的角D. 第二或四象限的角5.(2002 全國高考文5)在 (0， 2)內(nèi)，使 sinx>cosx 成立的 x 的取值范圍是（ ） 5B.()C. 5D.()5 3，A. (4 2)(4 )4(4 4)4(4 2)6.(2000 全國高考題 )已知 sin >sin，那么下列命題成立的是（ ）A. 若 、 是第一象限角，則cos >cos B. 若 、 是第二象限角，則tan >tan C.若 、 是第三象限角，則cos &

12、gt;cos D. 若 、 是第四象限角，則tan >tan 學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、求三角函數(shù)值7.(04 湖北 13) tan2010的°值為.8. (05 北京 ) 已知 tan2 ，則 (I) tan(+) 的值為 _ ；24( )6sin+ cos 的值為 _.3sin 2cos19.(05 福建卷 17 )已知x 0 ， sin xcos x.則253sin2x2sin x cos xcos2x(I) sinx cosx=_ ；( )2222_.tan xcot x10.(04 全國高考題 )已知銳角三角形3 ，sin(A B) =1ABC 中， sin(A + B)

13、= 55 .( )求證： tanA=2tanB ；( )設(shè) AB=3 ，求 AB 邊上的高 .( )證明： sin(A + B) =3 ， sin(AB)=1，553、已知三角函數(shù)值求角， ，則 可以是 （ ）11.(04 全國卷 )已知函數(shù) y=tan(2x+ )的圖象過點(diǎn) (0)12C.A.B.12D.661212.(1995 全國 ) sin220°+cos250°+sin20cos50° °的值是 _.4、三角恒等變換13.(03 全國高考1)已知 x4 ，則 tan2x=（ ）(，0）， cosx =25A. 7B.7C. 24D.247242

14、4714.(03 全國高考4)函數(shù) y=2sinx(sinx+cosx) 的最大值為（ ）A.1 2B.21C. 2D.2學(xué)習(xí)必備歡迎下載15.(04 福建 2)tan15 +cot15° °值是的（）A.2B.2+3C.443D.316.(04 湖南，理 17)sin(1 + 2)sin(2) =， (4， ) ，4442求 2sin2 +tancot 1 的值 .17.(04湖南，文 17)已知 tan(，求1的值 .+ ) = 22sin cos cos2418.(05福建卷 17)已知1< x < 0， sinx + cosx = .253sin2x2s

15、in x cos x + cos2 x(I) 求 sinx cosx 的值； ( )求2222 的值.tanx + cotx312319.(1992 年 )已知2 < < <4 ，cos( ) =13， sin(+ ) =5，求 sin2 的值5、三角函數(shù)圖像及性質(zhì)20. (2002 全國文， 17)如圖，某地一天從 6 時至 14 時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin( x ) b.( )求這段時間的最大溫差；( )寫出這段曲線的函數(shù)解析式.21.(2003 全國高考題文20)已知函數(shù)f(x)=2sinx(sinx+cosx).( )求函數(shù) f(x) 的最小正周期和最大

16、值； ( )在給出的直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間 ， 上的圖像 .2 222.(2000 全國高考題17)已知函數(shù) y =1cos2 x +3sinxcosx +1， x R .22( )當(dāng)函數(shù) y 取得最大值時，求自變量x 的集合；( )該函數(shù)的圖像可由y=sinx(x R)的圖像經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到？23.(04 重慶 17)求函數(shù) y=sin 4x+ 2 3 sinxcosx cos4x 的最小正周期和最小值；并寫出該函數(shù)在 0， 上的單調(diào)遞增區(qū)間 .學(xué)習(xí)必備歡迎下載6、三角函數(shù)的應(yīng)用(1) 三角函數(shù)的最值問題形如 y=asinx+bcosx+c 型，轉(zhuǎn)化為 ya2

17、b2 sin(x)k 型x3 cosx 的 （ ）24. (1996 全國高考題 )當(dāng)時，函數(shù) f(x)=sinx+22A. 最大值是1，最小值是 1B. 最大值是1，最小值是12C.最大值是2，最小值是 2D. 最大值是2，最小值是 1形如 y=asin2x+bsinx cosx+cos·2x 型，通過降冪轉(zhuǎn)化成 Asin2x+Bcos2x型2cosx+3cos·2的最小值及取得最小值時的x 的集合， 并求其最例：求 y=sinx+2sinxx大值 .形如 y=asin2 x+bsinx+c 或 y=acos2x+bcosx+c 型，令 sinx=t 或 cosx=t 轉(zhuǎn)

18、化成y=at2 +bt+c 的二次函數(shù)型 .25.(1997 全國高考題 )函數(shù) y=cos2x 3cosx+2 的最小值為（）A.2B.0C.1D.64形如 y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c·型，令 sinx+cosx=t(2t2)，則 sinx ·cosx=t 2 1b 2+ atb，轉(zhuǎn)化為 y =t+ c 的二次函數(shù)型 .22226.求函數(shù) y=1+sinx+cosx+sinxcosx· 的值域 .形如 ya cosxb 或 (yasin xb ) 型，可用分離常數(shù)法或|cosx|1來解ccos xdcsin xd決.27.(1999 廣

19、東高考題 )函數(shù) y =2 + cosx 的最大值是 （ ）2cosxA. 3B. 5C.3D.552形如 y = cosx + a 型，常使用幾何法，轉(zhuǎn)化為斜率問題研究，也可以轉(zhuǎn)化為sinx + bya2b2 sin(x)k 型.(2) 解三角形學(xué)習(xí)必備歡迎下載28.(04 全國 12)ABC 中， a、 b、 c 分別為 A 、 B 、 C 的對邊 .如果a、b、 c 成等差數(shù)列， B=30°， ABC 的面積為3 ，那么 b=（ ）213C.233A.B.13D. 222(3) 三角函數(shù)與向量x，x，x29.(05 江西 18)已知向量 a = (2cos 2tan( 2+ 4

20、)b = (2sin( 2 +，4)tan(x2) .令 f(x) = a b ，求函數(shù) f(x) 的最大值， 最小正周期， 并寫出 f(x) 在0 ，4上的單調(diào)區(qū)間 .(4) 三角函數(shù)與解析幾何30.(04 湖南 2)設(shè)直線ax+by+c=0 的傾斜角為 ，且 sin +cos=0，則 a，b 滿足 （ ）A.a+b=1B. a b=1C. a+b=0D. a b=0(5) 三角函數(shù)與方程、不等式31.求函數(shù) y =2 + log 1 x +tanx 的定義域 .21.解：已知1，則 tan=2.sin =342.解：滿足 sin x1 的 x 的取值范圍是2k+ x2k+ 5 k z266

21、3.解：已知0 < x < ，則 sinx 、 tanx、 x 的大小為 tanx> x>sinx.24.D 5.C6.D7.解： 2010°=5×3600+2100， tan2010 °= tan 2100= tan300338. 解： (I) tan2 ，tan2 tan2224 ;21tan21432學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以tantantan141143tan(4)1 tan471 tantan134( )由 (I) 得 tan 4所以,36sin+ cos6tan16(41)7.3sin 2cos 3tan233(4)2639. 解法一

22、： (I) 由 sin xcos x1，平方得 sin2x+2sinxcosx+cos 2x=1，525即 2sinxcosx24249， (sinx cosx)=1 2sinxcosx=.2525又7< x < 0 ， sinx<0 ， cosx>0， sinx cosx<0，故 sinx cosx.25解法二： (I) 聯(lián)立方程sinx + cosx = 15 ，sin 2 + cos2 x = 1由得 sinx = 1cosx 將其代入，整理得25cos2x 5cosx 12=0，534， cosx或 cosx< x < 0 ，5523sin x

23、5 ，4cos x5故 sinxcosx7 .53sin 2 x2sin x cos x + cos2x2sin2 xsinx +12 (cosx sinx)( )22222tanx + cotxtanx + cotxtanx + cotx108.=2 (sinx+cosx)sinxcosx=12510. 由 sin(A + B) = 3 ， sin(AB)=155學(xué)習(xí)必備歡迎下載 sin A cosBcosAsin B3sinA cosB255tan A112.sin A cosBcosAsin BcosAsin Btan B55： tanA=2tanB.， tan(A B)3( )解：&l

24、t; A + B < ， sin(A + B) = 3，254即 tanA + tanB3 ，將 tanA=2tanB代入上式并整理得，1 tanAtanB4226 ，舍去負(fù)值得 tanB =2+ 6，2tan B 4tanB 1=0，解得 tanB =22 tanA=2tanB= 26. 設(shè) AB 邊上的高為 CD.則 AB=AD+DB= CD + CD= 3CD ，由 AB=3 ，得 CD= 26 .tanA tanB2+ 6所以 AB 邊上的高等于 26 .11.A1112.解：原式(1 cos40 °)(1 cos100 °) sin20 cos50°

25、; °2211 1 (cos100 °cos40 °) (sin70 °sin30 )°223 sin70 °sin30 °13sin70 =°42413.D解 : x4， sin x =3，tan x =3，則(，0），cos x =55423224tan2x =49711614.A解: y=2sin 2 x+sin2x=sin2x cos2x +12 sin(2x) 1.4函數(shù) y=2sinx(sinx+cosx) 的最大值為 12 .故選擇 A.學(xué)習(xí)必備歡迎下載15.C 解 : tan15 +cot15

26、76;°124 .故選擇 Csin300sin150 cos150sin(2)sin( 2)cos( 2)16.解 : 由 sin(2)4444111cos4=1sin(+ 4) =cos4=，22242 55又 (, ) ，4 ( ， 2)，4=3， =12.42于是 2sin2 +tancot1sin2 cos2 cos22cos2cos2+sincos=sin2=(2cos2+2cot2 )=55323)53 .(cos+ 2cot) = (226617.解：由 tan(1+ tan1+ ) = 2 ，得 tan .41- tan3(1)2 +11=sin2 + cos22+1

27、2于是22tan=31=.2sincos+ cos2sincos+ cos=2tan+132+1318.本題主要考查三角函數(shù)的基本公式、三角恒等變換、各個象限內(nèi)三角函數(shù)符號的特點(diǎn)等基本知識，以及推理和運(yùn)算能力解法一： (I) 由 sin x cosx1，平方得 sin2 x+2sinxcosx+cos 2x=1 ，525即 2sinxcosx24249， (sinx cosx)=1 2sinxcosx=.25257cosx又< x < 0 ， sinx<0 ， cosx>0， sinx cosx<0，故 sinx.25解法二：(I) 聯(lián)立方程sinx + cosx = 15 ，22sin + cos x = 112由得 sinx =cosx 將其代入，整理得 25cos x 5cosx 12=0，5學(xué)習(xí)必備歡迎下載 cosx3或 cosx4< x < 0 ， sin x3，5 ，552cosx45故 sinx cosx7.53sin 2 x2sin x cos x + cos2 x2sin 2 xsinx +12