多面體外接球半徑常見的5種求法

1、僅供個人參考多面體外接球半徑常見的5種求法如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接 多面體，這個球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個 重點，也是高考考查的一個熱點.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識, 又要運用球的知識，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān) 系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用公式法例1 一個六棱柱的底面是正六邊形， 其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點 都在同一個球面上，且該六棱柱的體積為 9，底面周長為3,則這個球的體積8為 .解設(shè)正六棱柱的底面邊長為x，高為h，則有*

2、6x = 3,9廠 732 一_ = 6匯x h, .841,2h = 5/3.二正六棱柱的底面圓的半徑r=i，球心到底面的距離擰.二外接球的半徑/ 224 兀R = r d =1. V 球=3小結(jié)本題是運用公式R2二r2d2求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個球的表面積是A. 16 二B.20 二C.24 二D. 32 -解 設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，外接球的半徑為R，則有4x2=16，解得x = 2.二 2 22 22 42 =2.6, - R6.二這個球的表面積是 4二 R2=24二.選 C.不得用于

3、商業(yè)用途僅供個人參考小結(jié)本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì) 來求解的.補形法例3若三棱錐的三個側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為3，則其外接球的表面積是 .解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，二把這個三棱錐可以補成一個棱長為3的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.222q設(shè)其外接球的半徑為R，則有（2R）2 =（胎）+（V3）+（73）=9. /. r2=.4故其外接球的表面積S二4二R2二9二.小結(jié)一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c , 則就可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐 的外接球的直徑

4、.設(shè)其外接球的半徑為R，則有2R二.a2 b2 c2 .尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S -ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為2，點S、A、B、C、D都在心為0 ,如圖1上.同一球面上，則此球的體積為.解設(shè)正四棱錐的底面中心為01，外接球的球所示.二由球的截面的性質(zhì)，可得 001平面ABCD .又SOi _平面ABCD，二球心0必在SOi所在的直線ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 ASC 中，由 SA 二 SC =龐，AC = 2，得 SA2 SC2 二 AC2. ASC是以AC為斜邊的Rt ：.二AC =1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故2球=:.2

5、3小結(jié) 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的 一個軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面 圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí)確定球心位置法例5 在矩形ABCD中，AB = 4, BC = 3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B - AC -D，則四面體ABCD的外接球的體積為JI12互相平分，可A、B、C、D的距離相等，即點O為四面體的外接球的球心，如圖2所示.外接解設(shè)矩形對角線的交點為O,則由矩形對角線 知OA

6、=OB =0C =0D. .點O到四面體的四個頂點 球的半徑R2A舟故V球二宀譽.選C.僅供個人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementfinspdesonnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHK