(完整版)大連理工大學(xué)高等數(shù)值分析偏微分方程數(shù)值解(雙曲方程書稿)

1、雙曲型方程的有限差分法 線性雙曲型方程定解問題: (a(a) 階線性雙曲型方程 u t (b(b) 階常系數(shù)線性雙曲型方程組 u A u c A 0 t x 其中A，s階常數(shù)方程方陣，u為未知向量函數(shù)。 (c(c)二階線性雙曲型方程(波動方程) 2 u u c 迂 a x 0 t x x a x為非負(fù)函數(shù) (d(d)二維，三維空間變量的波動方程 2 2 u u c 2 0 x y 2 u c 0 z 1 1 波動方程的差分逼近 1.11.1 波動方程及其特征 線性雙曲型偏微方程的最簡單模型是一維波動方程: 2 2 U a 2 x 其中a 0是常數(shù)。 2 ( (1.11.1)可表示為：十 2 2

2、 U a 2 x 進(jìn)一步有 2 u t7 (1.1(1.1) / du dt (1.3(1.3) a t x u dx x dt dx dt u、 a -) x a 時為 u x, t 的全導(dǎo)數(shù) ，故由此定出兩個方向 dt dx 解常微分方程（1.31.3）得到兩族直線 (1(1. 4 4) x a t C| 和 x a t C2 稱其為特征。 特征在研究波動方程的各種定解問題時，起著非常重要的作用。 比如，我們可通過特征給出（1.11.1）的通解。 （行波法、特征線法） 將（1.41.4）視為（x,t）與（G，C2）之間的變量替換 由復(fù)合函數(shù)的微分 法則 u C1 C1 x u C2 x C

3、2 C1 u C2 同理可得 CI 2 u G2 CI C2 CI x C2 u _u C2 C1 C2 x CI C1 C2 2 u C2 C1 C2 2 2 -u C1 u G _u_ G t C2 C2 C2 t 2 _u c； u C2 2 Ci u u C2 C1 C1 u CI u CI u C2 C1 t C2 G 2 u Cl 2 u C1 C2 C2 2 將聲和 x 1.11.1)可得: 即有 2 2 u a 2 C12 2 2 G C2 2 G C2 2 u CI 求其對C2的積分得：u C1 再求其對Ci的積分得: (1.5(1.5) u x,t f G dCi 2 u

4、C1 C2 f Ci其中f C1 f1 C1 f2 C2 是Ci的任意可微函數(shù)。 1 x at 2 x at 其中fi ?和f2?均為任意的二次連續(xù)可微函數(shù)。 （1.51.5）為（1.11.1）的通解，即包含兩個任意函數(shù)的解。 為了確定函數(shù)f1 x at 和 f2 x at的具體形式，給定u在x軸的初值 (1.5(1.5) ut 0 u t 將（1.51.5）式代入上式，則有 f1 x 注意 ut x, t f1 x at a at a ； ut x, 0 2 x f1 x a 1 x，有 1 1 X a 并對x積分一次，得 與（i）式聯(lián)立求解，得 即為法國數(shù)學(xué)家 Jea nJea n Le

5、Ro nd d Le Ro nd d lembert (1717lembert (1717- -1783)1783)提出的著名的 D Alembert D Alembert 公式。 由 D Dlembertlembert 公式還可以導(dǎo)出解的穩(wěn)定性，即當(dāng)初始條件（1.51.5） 僅有微小的誤差時，其解也只有微小的改變。如有兩組初始條件: U1 x, 0 0 x , U1 t x, 0 0 x x u2 x, 0 1 x , u2 t x, 0 1 x 2 x f1 x f1 x 將其回代到通解中，即得 (1.6(1.6) u x, t 1 2 1 2 (1.1(1.1) 1 2 0 x x 2a

6、 0 1 x 2a 0 1 在(1.51.5) at o x C 2 C 2 條件下的解： 1 x at at 1 2a x at 0 0 1 1 ，則 u1 x, t u2 x, t -0 x at 2 at + 1 x 2 at 1 x at 1 2a x at x at 1 1 1 u1 x,t u2x,t 2 2 方 2at 1 t 滿足 d 顯然，當(dāng)t有限時，解是穩(wěn)定的 此外，由 D Dlembertlembert 公式可以看出，解在x。,t。點(diǎn)，t。0的值 僅依賴于x軸上區(qū)間Xo ato,x ato內(nèi)的初始值 x ， 1 x，與其他點(diǎn) 上的初始條件無關(guān)。故稱區(qū)間xo ato,Xo

7、ato為點(diǎn)Xo,to的依存域。它 是過點(diǎn)Xg,to的兩條斜率分別為 1的直線在X軸上截得的區(qū)間。 a 對于初始軸t 0上的區(qū)間X1,X2，過冷點(diǎn)作斜率為丄的直線 a x X1 at ；過X1點(diǎn)作斜率為 1的直線x X2 at。它們和區(qū)間捲飛一 a 起構(gòu)成一個三角區(qū)域。此三角區(qū)域中任意點(diǎn) x,t的依存區(qū)間都落在 X1,X2內(nèi)部。所以解在此三角形區(qū)域中的數(shù)值完全由區(qū)間 X1,X2上的初 始條件確定，而與區(qū)間外的初始條件無關(guān)。這個三角形區(qū)域稱為區(qū)間 X1,X2的決定域。在X1,X2上給定初始條件，就可以在其決定域中確定 初值問題的解。 1.21.2 顯格式 n 1 n n 1 n n n uj 2u

8、j uj 2 uj 1 2uj uj 2 a 2 h j 0, 1, 2, ，n 0,1,2, 這里u；表示U于網(wǎng)點(diǎn)Xj,tn處的近似值。初值條件（1.51.5）用下列差分 方程近似: X2 現(xiàn)在構(gòu)造（1.11.1）的差分逼近。取空間步長 h和時間步長，用兩 族平行直線 X Xj jh ， j 0, 1, 2, ， t t n 0,1, 2, 作矩形網(wǎng)絡(luò) 于網(wǎng)點(diǎn) xtn處 TaylorTaylor 展開成 u Xj 1, tn 2u Xj, tn U Xj 1, tn h1 Uxx Xj , t O h2 u Xj , tn 1 2u Xj, tn U Xj , tn 1 2 utt Xj ,

9、 tn 代入（1.11.1） ，并略去截斷誤差，則得差分格式: (1.7(1.7) 0 Uj o Xj(1.8(1.8) 2 2 2 X 其中r a h 1 Uj 并用 2 0 Xj (1.11(1.11) 1 Uj 這樣，利用（ 1.81.8) 1 0 Uj 2uj 1 Uj 1.101.10)式的 1 Uj 0 Xj 1 2 1 xj 0 xj 1 Uj 0 r Uj 1 1 1 Uj 2U0 0 Xj 1 2 r 0 Xj 0 Uj 1 Xj 代入上式得 0 Xj 0 Xj 1 1 Xj （1.111.11）, ,可以由初始層n 0的已知值，算出第一 1各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值。然后利用（1.7

10、1.7） 或顯式三層格式 (1.12(1.12) n 1 2 n Uj r Uj 1 n Uj 1 2 n n 1 21 r uj uj 可以逐層求出任意網(wǎng)點(diǎn)值。 以上顯式三層格式也可用于求解混合問題: (1.13(1.13) t2 U X, 0 U 0, t 0 X Ut X, 0 t U l, t (1.9(1.9) 注意：（1.71.7）的截斷誤差階是o 2 h2，而（1.91.9）的截斷誤差階僅是 O 。為此需要提高（1.91.9）的精度，可用中心差商代替ut，即 1 1 Uj Uj 2 1 Xj 進(jìn)一步, 1 Xj (1.10(1.10) 為了處理Uj ，在（1.71.7）中令n 0

11、，得 u1j 2U0 Uj1 2 2U0 U：1 化成二層格式。 (1.15(1.15) 注意到: a； x 則（1.51.5）可寫成 (1.16)(1.16) 取h L， J （1.141.14） T。除（1.71.7）（1.91.9）外。再補(bǔ)充邊值條件 N u0N n , uJN n 1 1. 3 3 穩(wěn)定性分析 F F 面我們要討論（1.71.7）的穩(wěn)定性。 波動方程（1.11.1）化成一階偏微分方程組, 相應(yīng)地把顯式三層格式（1.71.7） 為引用 FourierFourier 方法，我們把 一種簡單的做法是引進(jìn)變量 t ,于是（1.11.1）化為 x2 這樣會使得初值 u x, 0與

12、v x, 0不適定 （不唯一），更合理的方法 是再引進(jìn)一個變量 a，將（1.11.1）化為 a 若令U 相應(yīng)地，將 1.71.7) 寫成等價的雙層格式: n 1 n 1 vj vj 1(1.17)(1.17) 因此，稱X軸上含于區(qū)間Xjn,Xj n 的網(wǎng)點(diǎn)為差分解U；的依存域，它是x 1.17 n Vj n j n Vj n j n j 4 n 1 r Vj n j 4 n 1 Vj 1 其中V； n Uj n 1 Uj n aUl n 1 Uj 1 h 可直接驗(yàn)證之。 M 為網(wǎng)比 h 的必要條件是網(wǎng)比 FourierFourier 方法可以證明，差分方程（1.171.17）穩(wěn)定 (1.19(

13、1.19) 充分條件是網(wǎng)比 (1.19(1.19) CoCoUrantUrant 等證明, 1時， 差分解仍穩(wěn)定，收斂。但是要求有更光滑 的初值。習(xí) 上也稱r 1為 Courant Courant 條 件或 C C- -F F- -L L (CoUra nt(CoUra nt- -FridrichsFridrichs- -Lewy Lewy )條件。 穩(wěn)定性條件（1.191.19）有直觀的幾何解釋。 從方程（ 1.121.12) n 1 2 n n uj r uj 1 uj 1 21 n r Uj n 1 Uj 可看出，U；依賴于前兩層的值：U； n Uj n Uj n Uj ，而這四個值 由

14、依賴于，U； 2依賴于: n Uj n 3 Uj 1 n Uj n 4 Uj 以此類推，可知, 0 Uj n Uj n Uj 1依賴于：U；12 n ； Uj 1 ， Uj n Uj 1依賴于：U；2， U； 1依賴于：U； n 2 Uj 2 Uj U；最終依賴于初始層 0 Uj， n 2 ，Uj 1 n 2 Uj 1， n Uj n 3 Uj 1 0上的下列值: 軸上被過Xj,tn和Xj n，0以及右乙和Xj .,0的兩條直線所切割下來 的區(qū)間所覆蓋的網(wǎng)域。而過 Xj,tn的兩條特征線為：X Xj at tn o 差分格式穩(wěn)定的必要條件為： r - 1或 -,并且進(jìn)而 h h a 1 o h

15、 a 可見差分格式穩(wěn)定的必要條件是： 差分解的依存域必須包含微分方程解的依存域， 否則差分格式不 穩(wěn)定。 用依存域的概念容易證明：當(dāng)r 1時，差分解不收斂。 1.4 1.4 隱式 格式的充要條件是: 為了得到絕對穩(wěn)定的差分格式，用第 n 1層、 n層、n 1層的中 心差商的加權(quán)平均去逼近 UXX得到下列差分格式: n 1 c n n 1 uj 2uj uj 2 u； 2u； h2 1 n 1 Uj 1 n n n Uj 1 2Uj Uj 1 h n 1 n 1 n 1 uj 1 2uj uj 1 h1 其中0 1是參數(shù)。 1 2 2 n xUj 2 n xUj 可以證明，對于 差分格式絕對穩(wěn)定

16、; 1/ 當(dāng) 0就是顯格式 ( (1.71.7), 一個常用的隱式格式是取 差分格式為： n 1 n n 1 2 Uj 2Uj Uj a n j # j 亍 Uj 4h 1 n1 n1 n nn n1 n1 1 2uj uj 1 2 uj 1 2uj uj 1 uj 1 2uj n 1 Uj 1 2 a 2 n 1 n n 1 2 x Uj 2uj Uj 4h 高維波動方程! 3 3 一階雙曲方程 雙曲方程與橢圓方程和拋物方程的一個重要區(qū)別是， 雙曲方程具 有特征和特征關(guān)系，其解對初值有局部依賴性質(zhì)。初值的函數(shù)性質(zhì)（如 間斷、弱間斷等）也沿著特征傳播，因而其解一般沒有光滑性質(zhì)。我 們在構(gòu)造雙曲

17、方程的差分逼近時，應(yīng)充分注意這些特性。12 ：U； 下面對于一階雙曲方程，介紹幾種常見的差分格式 3.1 3.1 迎風(fēng)格式 首先考慮一階線性常系數(shù)雙曲方程 （3.13.1） 丄 a丄 0 t x 此方程雖簡單，但是對我們構(gòu)造差分格式很有啟發(fā)。 我們的主要的目 的是構(gòu)造差分格式，因此只限于考慮純初值問題。 設(shè)a 0, ,定義特征線: : dx a dt 則在每一條這樣的特征線上 du u u dx u u a - dt t x dt t x 因此, ,在特征線上，u等于常數(shù). . 對于（3.1 3.1 ）按照用差商代替微商的方法，自然有如下三種格式: 為O h2 記 （3.3 3.3 ） 將3.

18、2 13.2 3式改寫為:dt dx 3.2 1 3.2 2 3.2 3 n 1 Uj n Uj n j n Uj 1 0 a h n 1 n n n Uj Uj a U1 Uj 0 h n 1 n n n Uj Uj aU1 U j 1 0 2h （左偏心格式） （右偏心格式） （中心格式） 其中3.2 1和3.2 2的截斷誤差的階為O h，3.2 3的截斷誤差的階 由（ 3.73.7），并取 rj h a,，則知32 1和32 2右端的系數(shù)非負(fù)。 當(dāng)aj 0時, un1 n max Uj n rj Uj 1 1 rj n Uj rj 1 n rj max U j U： 當(dāng)aj 0時, n

19、n n II呼 Uj rj Uj 1 1 rj Uj 1 rj max w un 其中aj a Xj。 穩(wěn)定性條件為 hmaxa 3.2 i n 1 n n Uj rUj 1 1 r Uj 3.2 2 3.2 3 n 1 n n Uj 1 r Uj rUj 1 n 1 n r n r n Uj Uj 2Uj 1 2Uj 1 用 FoUrierFoUrier 方法分析穩(wěn)定性可知，3.23絕對不穩(wěn)定。a 0時，3.2 2不 穩(wěn)定，而3.2 當(dāng)a 1穩(wěn)定，；a 0時，3.2 1不穩(wěn)定，而3.2 2當(dāng) a 1 h h 穩(wěn)定。這兩個穩(wěn)定條件意味著 差分方程的依存域必須包含微分方程的 依存域。 同樣的思想

20、可用于構(gòu)造變系數(shù)方程 U U c a x 0 t x 的差分格式。此時a可能變號，因此相應(yīng)的格式為: n 1 n Uj Uj (3.6(3.6) n 1 n Uj Uj n n Uj Uj 1 aj h n n Uj 1 Uj ajT 0, 0, aj 0 aj 0 (3.7(3.7) rj un1 穩(wěn)定，按氣體力學(xué)的含義（a a（x x）表示氣流速度），稱（3.63.6）為迎風(fēng)格 式。 初邊值問題：邊值條件應(yīng)該在迎風(fēng)方向給出 3.23.2 積分守恒的差分格式 迎風(fēng)格式是根據(jù)特征走向構(gòu)造出來的向前或向后差分格式。 現(xiàn)在 以積分守恒方程出發(fā)構(gòu)造差分格式。 所謂守恒方程是指如下散度型偏微分方程 u f x, u t 設(shè)G是xt平面中任意有界域，由 GreenGreen 公式 fdt udx 0 0 我們從（3.143.14）出發(fā)構(gòu)造所謂 LaxLax 格式。取G為A j 1, n， 邊界，則 B j 1,n 1 ，C j 1,n 1和D j 1,n為頂點(diǎn)的開矩形。 ABCDA為其 (3.13(3.13) 其中 G 于是可將 u f x, u t dxdt fdt udx