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1、二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用 第六六章 2元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線設(shè)曲線)0()(xfy與直線與直線)(,babxax及及 x 軸所圍曲軸所圍曲則則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 邊梯形面積為邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面

2、積為右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1. 計(jì)算兩條拋物線計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍在第一象限所圍所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點(diǎn)得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxy22oy4 xy例例2. 計(jì)算拋物線計(jì)算拋物線xy22與直線與直線的面積的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點(diǎn)得交點(diǎn))4,8( , )2,2(

3、)4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取選取 y 作積分變量作積分變量,則有則有yyyd42A機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 abxoyx例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應(yīng)用定積分換元法得應(yīng)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng)當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式

4、時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxdoyxababoyx一般地一般地 , 當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程當(dāng)曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時(shí)給出時(shí), 按按順時(shí)針方向順時(shí)針方向規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值規(guī)定起點(diǎn)和終點(diǎn)的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積21d)()(tttttA機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(1axt對(duì)應(yīng))(1bxt對(duì)應(yīng)例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:

5、ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyoa2二二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)(機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xa

6、bxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù),xyoabxyoab)(xfy 特別特別 , 當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)考慮連續(xù)曲線段當(dāng)考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí)軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ayxb例例1. 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓12222byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直

7、角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby則則xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)特別當(dāng)b = a 時(shí)時(shí), 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2. 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中

8、心 , 并并與底面交成與底面交成 角角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標(biāo)系如圖所示取坐標(biāo)系,則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 oRxyxoRxy思考思考: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積

9、如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyoa2例例3. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063

10、332 a6543212325aay機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )2(tu 令xyoa2a繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(1yxx 分部積分分部積分對(duì)稱關(guān)于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(ttttt

11、t)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用利用“偶倍奇偶倍奇零零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226a2柱殼體積柱殼體積說明說明:太復(fù)雜了！事實(shí)上太復(fù)雜了！事實(shí)上 xxxdyyV 也也可可按按圓圓柱柱薄薄殼殼法法求求出出yx2柱面面積柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttax機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函數(shù)偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta

12、2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函數(shù)奇函數(shù)336a機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20練習(xí)題練習(xí)題解：解：1. 求曲線求曲線所圍圖形的面積所圍圖形的面積.1lnlnyx顯然顯然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,lnxex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲線為面積為面積為同理其它同理其它.eyx1exy exy exy S11dex)1(exexex1d)(exxe2121ee機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 又又故在區(qū)域故在區(qū)域設(shè)平面圖形設(shè)平面圖形 A 由由xyx222與與xy 所確定所確定