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1、二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積一、一、 平面圖形的面積平面圖形的面積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定積分在幾何學上的應用 第六六章 2元素法的一般步驟：元素法的一般步驟：機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形直角坐標情形設(shè)曲線設(shè)曲線)0()(xfy與直線與直線)(,babxax及及 x 軸所圍曲軸所圍曲則則xxfAd)(dxbaoy)(xfy xxxdxxfAbad)(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 邊梯形面積為邊梯形面積為 A ,右下圖所示圖形面

2、積為右下圖所示圖形面積為 yobxa)(2xfy )(1xfy xxfxfAbad)()(21xxxd例例1. 計算兩條拋物線計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍在第一象限所圍所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . xxy 2oy2xy xxxd解解: 由由xy 22xy 得交點得交點) 1, 1 ( , )0,0() 1 , 1 (1xxxAdd22332x01331x3110A機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxy22oy4 xy例例2. 計算拋物線計算拋物線xy22與直線與直線的面積的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點得交點)4,8( , )2,2(

3、)4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算為簡便計算, 選取選取 y 作積分變量作積分變量,則有則有yyyd42A機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 abxoyx例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對稱性利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積所圍圖形的面積 . 有有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax應用定積分換元法得應用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當當 a = b 時得圓面積公式

4、時得圓面積公式機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xxdoyxababoyx一般地一般地 , 當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程當曲邊梯形的曲邊由參數(shù)方程 )()(tytx給出時給出時, 按按順時針方向順時針方向規(guī)定起點和終點的參數(shù)值規(guī)定起點和終點的參數(shù)值21,tt則曲邊梯形面積則曲邊梯形面積21d)()(tttttA機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(1axt對應)(1bxt對應例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:

5、ttad)cos1 ( ttad)cos1 (2022ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20A機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyoa2二二、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積、已知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在則對應于小區(qū)間則對應于小區(qū)間d,xxx的體積元素為的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為因此所求立體體積為xxAVbad)(機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xa

6、bxxxd)(xA上連續(xù)上連續(xù),xyoabxyoab)(xfy 特別特別 , 當考慮連續(xù)曲線段當考慮連續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當考慮連續(xù)曲線段當考慮連續(xù)曲線段)()(dycyx繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有有2)(yyddcVxxoy)(yxcdy機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ayxb例例1. 計算由橢圓計算由橢圓12222byax所圍圖形繞所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直

7、角坐標方程利用直角坐標方程)(22axaxaaby則則xxaabad)(220222(利用對稱性利用對稱性)3222312xxaab0a234aboaV02xy d2機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos則則xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當特別當b = a 時時, 就得半徑為就得半徑為a 的球體的體積的球體的體積.343a機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例2. 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中

8、心 , 并并與底面交成與底面交成 角角,222Ryx解解: 如圖所示取坐標系如圖所示取坐標系,則圓的方程為則圓的方程為垂直于垂直于x 軸軸 的截面是直角三角形的截面是直角三角形,其面積為其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 oRxyxoRxy思考思考: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積

9、如何用定積分表示體積 ?),(yx)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyoa2例例3. 計算擺線計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞所圍成的圖形分別繞 x 軸軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對稱性利用對稱性2022)cos1 (tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063

10、332 a6543212325aay機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )2(tu 令xyoa2a繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0注意上下限注意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a注注 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 )(1yxx 分部積分分部積分對稱關(guān)于2注注202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(ttttt

11、t)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用利用“偶倍奇偶倍奇零零”)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226a2柱殼體積柱殼體積說明說明:太復雜了！事實上太復雜了！事實上 xxxdyyV 也也可可按按圓圓柱柱薄薄殼殼法法求求出出yx2柱面面積柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttax機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 xyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02偶函數(shù)偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta

12、2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函數(shù)奇函數(shù)336a機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20練習題練習題解：解：1. 求曲線求曲線所圍圖形的面積所圍圖形的面積.1lnlnyx顯然顯然1ln,1lnyxyoxe1e1e11eeyeexe11,xln,ln x,lnxex 111xeyln,ln y,ln yey 111ye11xe11ye,1exy 中曲線為面積為面積為同理其它同理其它.eyx1exy exy exy S11dex)1(exexex1d)(exxe2121ee機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 又又故在區(qū)域故在區(qū)域設(shè)平面圖形設(shè)平面圖形 A 由由xyx222與與xy 所確定所確定