數學建模冰山運輸

1、拖運冰山的費用估算摘要據資料顯示：地球上的水資源有 97%被鹽化，僅有 3%是淡水資源，且大部 分是主要分布在南北兩極地區(qū)的固體冰川， 眾所周知，水是生命的源泉， 是人類 賴以生存和發(fā)展的重要物質資源之一。 而在一些淡水資源非常匱乏的地方， 各種 產水方式應運而生， 本文主要針對以盛產石油著稱的波斯灣地區(qū)， 在采用高成本 的海水淡化下， 專家建議用拖船從相距 9600km外的南極把冰山運到波斯灣地區(qū)， 取代海水淡化的方法， 在拖運過程中采用三種不同的船型、 船速會產生不同的費 用，為了使獲得淡水資源費用合理化。 需要對總費用進行合理的估算， 為了解決 這個問題， 我們建立初等函數模型， 計算船

2、只以最大運量運一次的總費用和剩余 的冰山體積；總費用 =日租金 天數 +總燃料消耗費用，考慮到實際運輸過程中， 冰山的融化會引起燃料消耗費用的變化， 我們應該求出體積變化的臨界值 （即所 運的冰山何時會縮小到原來體積的 1 ），再根據表 2 可求出對應的消耗原料。剩10 余冰山的體積 =船的最大運量 -運輸過程中融化的冰。 運輸過程中冰的融化速率與 冰山到達處與南極的距離有關。根據表 3，在特定的船速條件下，將冰山融化速 率與南極距離看成線性關系 y ax b ，根據曲線積分可以求出融化的冰，然后 求剩余的冰轉換成水的體積，計算每立方米水的成本， ，經過計算選擇大型船， 船速為 5km/h，每

3、立方米水的成本 0.054 英鎊 / m3 。關鍵字： 燃料消耗費用 冰山融化的體積 融化速率 臨界值1、問題重述 在以盛產石油著稱的波斯灣地區(qū)， 浩瀚的沙漠覆蓋著大地， 水資源十分缺乏， 不得不采用淡化海水的辦法為國民提供用水， 成本大約是每立方米 0.1 英鎊，有 些專家提出從相距 9600km外的南極用拖船運送冰山到波斯灣，以取代淡化海水 的辦法。在運送冰山的過程中， 拖船的租金、 運量、燃料消耗及冰山運送過程中融化 速率等方面的數據如下：（1） 三種拖船的日租金和最大運量如表 1 所示。表1船型小中大日租金 / （英鎊）4.06.28.0最大運量 / m35 1051061072）燃料

4、消耗（英鎊 /km），主要依賴于船速和所運冰山的體積，船型的影響可以忽略，如表 2 所示表2冰山體積/ m3 船速 /km/h10510610718.410.512.6210.813.516.2313.216.519.83）冰山運輸過程中的融化速率（ m/d），指在冰山與海水接觸處每天融化的深度，融化速率除與船速有關外，還與運輸過程中冰山到達處與南極的距離有關，這是由于冰山要從南極運往赤道附近的緣故，如表 3 所示。表3與南極距離 /km船速 /km/h010004000100.10.3200.150.45300.20.6根據所給數據， 建立數學模型， 解決問題 ：試選擇拖船的船型與船速，使冰

5、 山到達目的地后， 可以得到的每立方米水所花的費用最低， 并與海水淡化的費用相比較2、問題分析此題研究的是每立方米水成本的數學建模問題，題目給出的數據有三種船 型，三種船速，那么可分 9 種情況去求解問題。 求解每立方米水的成本就要求解 出運輸一次的費用和剩余的冰山體積。 由于在運輸過程中， 單位路程燃料消耗與 冰山的體積成正相關關系。 但是冰山的體積是動態(tài)變化的， 從而單位路程燃料消 耗也隨之改變。 為了計算方便， 利用均值求一段路程的燃料的消耗， 而冰山的融 化速率與冰山到達處與南極的距離有關， 根據圖 1 可以得出當船速確定時， 融化 速率與距南極距離成線性相關。 同樣地可采用均值求解，

6、 可以確定到達目的地后 冰山的剩余體積。將冰轉化為水，從而估算出每立方米水的成本。圖1圖23、模型的假設及符號說明拖船在托運冰山的過程中，有以下假設 ：假設 1、假設拖船航行過程中的船速不變， 航行不考慮天氣等任何因素的影響， 總航行距離 9600km；假設 2、假設冰山形狀為球形，球面各點的融化速率相同；假設 3、假設冰山到達目的地后， 1m3的冰可以融化成 0.85 m3的水。假設 4、假設冰山在運輸過程中融化的速率與距離為線性關系。假設 5、三種型號的船是按最大運輸量拖運冰山。假設 6、冰山到達目的地后融化過程中不考慮損耗。假設 7、假設拖船所在地就在南極，不用考慮返程費用。符號說明：符

7、合符號說明vi拖船的速度i1,2,3zizi 拖船的日租金wij燃料消耗速度i1,2,3 j 1,3,5li距離南極的距離 i1,2,3uij融化速度 i 1,2,3R冰山的半徑Rj耗運動過程中冰山融化的深度 j 1,3,5Rj 0 ，初始時刻冰山的半徑j 1,3,5Vj最后剩余的冰山體積j 1,3,5Rj 末最后時刻冰山的半徑j 1,3,5ZiZi 拖船的總租金LL 為總長度mij全程燃料費用 i1,2,3 j 1,3,5pij運冰的總費用 i 1,2,34、模型建立為了求解每立方米水的成本， 就要計算出拖船運輸一次的總費用和剩余的冰 山體積，Ri耗 L1 ui1 L2 ui2 L3 ui3

8、首先，根據題目所給的冰山融化速率與船速、 距南極距離的相關數據， 我們 可以求解出當船速確定的時候， 冰山融化速率與距南極距離成線性關系， 利用均 值和曲線積分可以求解出船只行駛一段距離與融化冰山的體積的關系。1)其次，由上述計算可以得出燃料消耗與冰山體積的關系， 因為冰山體積是動態(tài)變化的， 所以燃料消耗也是動態(tài)的， 為了計算的簡單化， 我們把計算一段路程 的燃料消耗簡化為固定兩個端點的單位路程燃料消耗與行駛路程的乘積和的均 值。mij w1j l1 w2j l2 w3j l3ZiL24 vizi2)最后：由上述條件利用總費用和冰融化成水后的單位成本：pijZi mijp(3)Vj Rj 末

9、0.855)5、模型求解首先，計算出不同船型以不同速度拖運冰山所需的總費用。其次，計算出不同船型以不同速度拖運冰山到達目的地，融化成的水。最后，由上述條件求出冰山拖運到目的地融化為水后每立方米的成本， 與淡 化每立方米水的成本相比較得出成本最低的方案。第一步：計算總費用mij w1j l1 w2j l2 w3j l3( 4)不同船型以不同船速拖冰山，所需的燃料費：表4ZiL24 vi船型船速小 5 105 /m3中106/m3大 107 /m31km/h無意義無意義118780 英鎊3km/h100800 英鎊121070 英鎊155520 英鎊5km/h120960 英鎊158202 英鎊1

10、90080 英鎊Zi 拖船的總租金 ：用不同船型拖運所用的總租金：船型船速53 小 5 105 /m中106/m3大 107 /m31km/h84.583384.583384.58333km/h42.291742.291742.29175km/h33.833333.833333.83338)Ri0不同船型以不同船速拖冰山，冰山融化的深度：表73xi表5船型船速53 小 5 105 /m3中106/m3大107 /m31km/h無意義無意義3200 英鎊3km/h533.3332英鎊826.6665英鎊1066.7英鎊5km/h320 英鎊496 英鎊640英鎊總費用：pij Zi mij（6）

11、表6船型船速53 小 5 10 /m中106/m3大 107 /m31km/h無意義無意義119100 英鎊3km/h101333.33 英鎊121896.66 英鎊156586.7 英鎊5km/h121280 英鎊158698 英鎊190720 英鎊第二步：Ri耗 L1 ui1 viL22 ui2viL33 ui3vi(7)9)Ri末Ri0Ri耗計算可知用小船拖運時以 1km/h 到達目的地時冰塊已經完全融 化，中船拖運時以 1km/h 到達目的地時冰塊已經完全融化所以不再考 慮這兩種情況。不同船型以不同船速拖冰山，到達目的地剩余體積： Ri末 Ri0 Ri耗表8船型船速3小 5*105/

12、m33 中 106/ m3 大 107/ m1km/h無意義無意義3494840 m3km/h3331403.5 m32236 m3194000 m5km/h33315310 m93954 m4165900 m冰山到達后無其他損耗全部都融化成水的體積： Vj Rj 末 0.85表9船型船速小 5*105/ m33 中 106/ m3 大 107/ m1km/h無意義無意義3420614 m3km/h3331193m27401 m2714900 m5km/h33313014 m79861 m3541015 m第三步：每立方米冰的成本從南極運冰到目的地的每立方米成本為：表 10船型船速3小 5*1

13、05/ m33 中 106/ m3 大 107/ m1km/h無意義無意義30.283 英鎊 /m3km/h384.940 英鎊 /m34.449 英鎊 /m30.058 英鎊 /m5km/h39.320 英鎊/m31.987 英鎊 /m30.054 英鎊 /m根據計算結果與已知條件（成本每立方米 0.1 英鎊）對比得出 0.054 英鎊/ m3的成本價格是最低的，所以我們選擇大型船，船速為 5km/h6、模型評價優(yōu)點：1、構造的模型比較簡單2、該模型的建立將實際問題模型化，復雜問題簡單化；3、我們采用了均值與曲線積分的計算方法，使計算變得相對簡單；4、此模型的全局規(guī)劃比較合理。缺點：1、利用

14、均值求解融化冰山的體積與燃料消耗不準確；2、運輸過程融化速率與距南極距離并不成線性關系。7、模型的改進與推廣模型改進：雖然得到的最低費用 0.054 英鎊/ m3小于海水淡化需要的成本，但是模型中未考慮天氣等其它因素會導致拖船過程中成本變高。 我們在計算過程中應該以冰 山拖運過程中最大損耗、 燃料的最大費用， 來避免由自然因素帶來的船只到達目的地的時間延期增加的費用。方法改進冰山融化速率 r （m/d） 與船速 u（km/h）與南極距離 d（km）的關系r 是 u 的線性函數； 0 d 4000 時 u 與 d 成正比， d 4000時 u 與 d 無關，a1d (1 bu)a2 (1 bu)

15、0 d 4000d 400010)代入（u，d）=（1,3）；r（u，d）=（1,5）得出a1=7.5 10 5，a2 =0.225b =0.33航行t 天后，融化速率為rt4000a1ud (1 bu)t 0 tu4000a2 (1 bu) tu(11)5 40007.5 10 5u (1 0.33u)t 0 tu40000.225 (1 0.33u)(12)又因為 t 天冰山的半徑為(13)tRtR0rtt0故剩余冰山的體積為14)43 vt 43 Rt v0 43 R03燃料消耗費用 q（英鎊 /km）z對u線性，對 log10 v線性，z c1 u c2 lgv c315)代入數據得出

16、 c1 =0.3 ， c2=6c3=-143c1c33rt)3016)航行第 t 天的燃料消耗z 7.2u utk03rk)317)而日租金與船的型號有關故54.0V0 5 105f (V0 ) 6.2 5 105 V0 1068.0106 V0 10718)所以船型運輸一次的總費用為400f (v0)u7.2u(u6)t 1 lg 43t 1 3rt 1t119)此模型的建立會減少誤差，由第一次模型計算的結果，將大型船，船速為5km/h。的數據代入上述公式，計算結果。參考文獻1）、姜啟源、謝金星，葉俊，數學模型（第三版）北京，高等教育出版社， 2003；2）、韓忠庚，數學建模方法及其應用，北

17、京高等教育出版社，2005；3）、吳建國，數學建模案例精編北京，中國水利水電出版社2005；附錄模型求解在 Matlab 中的實現：畫圖1：船速固定時，冰山體積與燃料的關系圖clear a=0 1000 4000 9600;b1=0 0.1 0.3 0.3;b3=0 0.15 0.45 0.45;c=0:100:9600;interp1(a,b1,c,cubic);interp1(a,b3,c,cubic);interp1(a,b5,c,cubic);plot(a,b1,o,a,b1,g,a,b3,o,a,b3,r ,a,b5,o,a,b5,b) gtext(船速 1/km/h )gtext(

18、船速 3/km/h )gtext(船速 5/km/h )畫圖 2：船速固定時，燃料消耗與冰山體積的關系圖 a=105 106 107; b1=8.4 10.5 12.6; b3=10.8 13.5 16.2; b5=13.2 16.5 19.8; c=105:100:107; interp1(a,b1,c,cubic); interp1(a,b3,c,cubic); interp1(a,b5,c,cubic); plot(a,b1,o,a,b1,g,a,b3,o,a,b3,r,a,b5,o,a,b5,b) gtext( 船速 1/km/h) gtext( 船速 3/km/h) gtext( 船

19、速 5/km/h)計算過程x=(0.75*105/(pi)(1/3) x1=(0.75*105/(pi)(1/3) x=(0.75*106/(pi)(1/3) x=(0.75*107/(pi)(1/3) 1000/(5*24) 8.3333*0.1 3000/(5*24)*0.2 5600/(5*24)*0.6 x=(0.75*105/(pi)(1/3)x=(0.75*5*105/(pi)(1/3) 133.6505-2.0833-12.5 ans =119.0672 119.0672-62.0350 84.5833-2.0833-12.5 60-2.0833-12.5 ans =45.4167 12.9678/0.3*24 ans =1.0374e+003 9600-1.0374e+003 ans =8.5626e+0036441.1*13.5+3158.9*10.8ans =1.2107e+005 9540*16.5+60*13.2ans =158202 8562.6*12.6+1037.4*10.5ans =1.1878e+0