管理)第1節(jié)中值定理課件

1、管理)第1節(jié)中值定理課件1第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 中值定理中值定理一、羅爾定理一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理管理)第1節(jié)中值定理課件2導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：oxy)(xfy TM0 x)()(,()(000 xfKxfxMxfy處處的的切切線線的的斜斜率率在在點(diǎn)點(diǎn)特特點(diǎn)點(diǎn)：?jiǎn)枂栴}題：下下面面幾幾個(gè)個(gè)圖圖形形的的0)(, fba）使使（至至少少存存在在管理)第1節(jié)中值定理課件3一、羅爾(Rolle)定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在

2、閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且)3 , 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf管理)第1節(jié)中值定理課件4點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停物理

3、解釋物理解釋: :變速直線運(yùn)動(dòng)在變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速瞬時(shí)速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點(diǎn)處的切線是在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC管理)第1節(jié)中值定理課件5證證.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時(shí)時(shí)在在端端點(diǎn)點(diǎn)),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)

4、則則在在),()( fxf, 0)()( fxf管理)第1節(jié)中值定理課件6, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有管理)第1節(jié)中值定理課件7注意注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其其結(jié)論可能不成立結(jié)論可能不成立.例如例如,21 ,310 ,1)(xxxxxf 1 , 1,)(xxxf2,0,)(2xxxf管理)第1節(jié)中值定理課件8例例1 1.10155的的正正實(shí)實(shí)根根

5、有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為為唯唯一一實(shí)實(shí)根根管理)第1節(jié)中值定理課件92例例有幾個(gè)實(shí)根

6、。有幾個(gè)實(shí)根。說明說明的導(dǎo)數(shù)，的導(dǎo)數(shù)，不求不求0)()7)(5)(3()( xfxxxxxf解：解：0)7()5()3()0(ffff上應(yīng)用羅爾定理，上應(yīng)用羅爾定理，、分別在分別在對(duì)對(duì)7 , 55 , 33 , 0)(xf使使得得、至至少少存存在在),(),(),(755330321xxx, 0)()()(321xfxfxf上應(yīng)用羅爾定理，上應(yīng)用羅爾定理，、分別在分別在再對(duì)再對(duì),)(3221xxxxxf 使使得得、至至少少存存在在),(),(322211xxxx , 0)()(21 ff兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根，為為二二次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，最最多多有有又又因因?yàn)闉?(xf 只只有有兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根。0)

7、( xf管理)第1節(jié)中值定理課件103例例設(shè) 在0, 上連續(xù),在(0, )內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)(0, ),使得 =)(xf)( f cot)(f證明證明: 只要證明只要證明 0sincos)()( ff0cos)()(sin ff0sin)( xxxfxxfxFsin)()(設(shè)設(shè)0)()0( FF則則由羅爾定理由羅爾定理,至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn) 0)(0 F），使使得得，（0cos)(sin)( ff即即 cot)()(ff管理)第1節(jié)中值定理課件11求證：存在求證：存在, ) 1 ,0()( . 0)()( Rnffn 使使 設(shè)設(shè) 1 , 0可導(dǎo)，且可導(dǎo)，且,0) 1 (f在在連續(xù)，連

8、續(xù)，) 1 ,0()(xf證：證：)()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在因此至少存在則則)(x在在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件上滿足羅爾定理?xiàng)l件, 1 , 0)(即即0)()(ffn設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù)使得使得)()(1ffnnn0例例40)1()0( 管理)第1節(jié)中值定理課件125例例.)(2)(21, 2)2(,21) 1 ()2 , 1 (2 , 1 )( ffffxf）使得）使得，（證明至少存在證明至少存在內(nèi)可導(dǎo)，內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)設(shè)證明：證明：.)(2)( ff0)(2)( ff0)(2)(42 ff管理)第1節(jié)中值定理課件13,)()(2xxfxF作作21)2()

9、 1 ( FF則則上上用用羅羅爾爾定定理理，在在對(duì)對(duì))(21xF使使得得至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn))2 , 1( 0)( F.)(2)( ff管理)第1節(jié)中值定理課件14羅羅爾爾定定理理的的推推廣廣：abafbff)()()( 管理)第1節(jié)中值定理課件15二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()

10、2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成管理)第1節(jié)中值定理課件16ab1 2 xoy)(xfy ABCD幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減去弦減去弦曲線曲線., 兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得曲曲線線ba管理)第1節(jié)中值定理課件17作輔助函數(shù)作輔助函

11、數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :1 1、也也成成立立；定定理理對(duì)對(duì)ab 管理)第1節(jié)中值定理課件18xfxfxxf)()()( 則有則有設(shè)設(shè)),(,baxxx).()(10 xxxfy即即.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.一表達(dá)法：一表達(dá)法：、拉格朗日中值公式另、拉格朗

12、日中值公式另2之間之間與與在在xxx 10, xx令令管理)第1節(jié)中值定理課件19證證: : 在在I I上任取兩點(diǎn)上任取兩點(diǎn).)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf定理定理3, )(,2121xxxx在 上用拉格,21xx朗日中值公式 , 得)()(12xfxf)(12xxf 0)(21xx )()(12xfxf由 的任意性知, 21xx、)(xf在 I 上為常數(shù)推推論論CxgxfxgxfI)()(),()(則則上上如如果果在在管理)第1節(jié)中值定理課件20例例6 6).11(2arccosarcsin xxx證

13、證明明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 ) 1 , 1(,)(xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 ,2 C即即,2arccosarcsin xx) 1 , 1(x2) 1 () 1( ff而而 1 , 1x管理)第1節(jié)中值定理課件21例例7 7.)1ln(1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)證證明明當(dāng)當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上上滿滿足足拉拉氏氏定定理理的的條條件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又,11x

14、xxx .)1ln(1xxxx 即即管理)第1節(jié)中值定理課件228例例baba arctanarctan證證明明證明：證明：,ab 不不妨妨設(shè)設(shè),arctan)(xxf作作上上用用拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理在在對(duì)對(duì),)(abxf)(arctanarctanbafba bababa)(11arctanarctan2 )(ab 管理)第1節(jié)中值定理課件239例例. 0)(), 0)(),(, 0)()(),()(,)()( fbacfbacbfafbaxfbaxfxf使得使得（少存在一點(diǎn)少存在一點(diǎn)證明：至證明：至使使且存在且存在內(nèi)存在，內(nèi)存在，在在上連續(xù)，上連續(xù)，在在、設(shè)設(shè)證明：證明：上上分

15、分別別用用中中值值定定理理在在對(duì)對(duì),)(bccaxf, 0)()()(1acafcff , 0)()()(2cbcfbff 上上用用中中值值定定理理在在再再對(duì)對(duì),)(21 xf bafff 0)()()(1212使使）（故故存存在在),(,21bcca管理)第1節(jié)中值定理課件240)0(, 0)( fxf設(shè)設(shè)10例例 證明對(duì)任意 有有0, 021xx)()()(2121xfxfxxf 證明證明： 不妨設(shè)不妨設(shè) 210 xx 因?yàn)橐驗(yàn)?)0()()()()()()(12211221fxfxfxxfxfxfxxf1112)()(xfxf 2122xxx )()()(2121xfxfxxf所所以以0

16、)(121 fx)()(121 ffx 21 110 x 管理)第1節(jié)中值定理課件25三、柯西(Cauchy)中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .管理)第1節(jié)中值定理課件26幾何解釋幾何解釋:)(1 F)(2 FXoY )()(xfYxFX)(aFA

17、)(bFBCD.),(),(ABfFCAB弦弦該點(diǎn)處的切線平行于該點(diǎn)處的切線平行于在在一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba管理)第1節(jié)中值定理課件27, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba,)(xxF 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()( fabafbf管理)第1節(jié)中值定理課件28例例1111).0()1(2)(),1 ,