復(fù)變函數(shù)(課件)

1、西安電子科技大學(xué)西安電子科技大學(xué)復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí)杜杜 鳴鳴1. 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)z = x + yi一、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算一、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算加減法、乘法、除法；運(yùn)算律；共軛復(fù)數(shù)121211121222221) ()2)3)Re( )Im ( )4)2 Re( ), -2 Im ( )zzzzzzz zzzzzzzz zzzzzzzziz1. 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)幾種表示方法幾種表示方法1.點(diǎn)點(diǎn) 表示法表示法2.向量表示法向量表示法3.三角表示法三角表示法4.指數(shù)表示法指數(shù)表示法5.復(fù)球面復(fù)球面1. 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的乘冪與方根1. 乘積（三角表示式）乘

2、積（三角表示式）2.商（三角表示式）商（三角表示式）3.冪冪4.方根方根1. 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)函數(shù)的極限與連續(xù)性函數(shù)的極限與連續(xù)性定理一定理一設(shè)設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0 , z0=x0+iy0, 那么那么的充要條件是的充要條件是0lim ( )zzf zA000000lim ( , ), lim ( , )xxxxyyyyu x yuv x yv設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，f(z)在在z0=x0+iy0處連續(xù)處連續(xù)的充要條件是：的充要條件是：u(x,y)和和v(x,y)在在(x0,y0)處連續(xù)。處連續(xù)。定理三定理三2. 解

3、析函數(shù)解析函數(shù)1.復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)000()()limzf zzf zz 00zzz其中，其中，z 0的方式是任意的。的方式是任意的。2.解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念如果函數(shù)f(z)在z0以及z0的鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)，那么稱(chēng)f(z)在z0解析。如果f(z)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)解析，那么稱(chēng)f(z)在D內(nèi)解析，或稱(chēng)f(z)是D內(nèi)的一個(gè)解析函數(shù)。2. 解析函數(shù)解析函數(shù)有極限有極限連續(xù)連續(xù)可導(dǎo)（可微）可導(dǎo)（可微）解析解析 1、可導(dǎo)、可導(dǎo)可微可微2、可導(dǎo)、可導(dǎo)連續(xù)，反之不連續(xù)，反之不成立成立3、連續(xù)、連續(xù)有極限，反之不有極限，反之不成立成立定理定理：函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定義在區(qū)

4、域D內(nèi)，則f(z)在D內(nèi)一點(diǎn)z=x+iy可導(dǎo)(在D內(nèi)解析)的充要條件是：u(x,y)與v(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微（在D內(nèi)可微），且在該點(diǎn)（在D內(nèi)）滿(mǎn)足柯西黎曼方程（C-R方程）,uvuvxyyx 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：( )uvfzixx1 uviyy函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)(解析解析)的充要條件：的充要條件：2. 解析函數(shù)解析函數(shù)2. 解析函數(shù)解析函數(shù)初等函數(shù)初等函數(shù)1、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)exp(cossin )xz ey iy(cossin )zxeey iy2、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)lnL n zziA rg zlnlnzziargz解析性：解析性：lnz在除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析在

5、除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析 Lnz的各分支在除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析的各分支在除原點(diǎn)及負(fù)實(shí)軸的平面內(nèi)解析在整個(gè)復(fù)平面解析在整個(gè)復(fù)平面解析2. 解析函數(shù)解析函數(shù)3、乘冪與冪函數(shù)、乘冪與冪函數(shù)nbb Laaenbb Lzze4、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)cos,sin22izizizizeeeezzi三角函數(shù)：三角函數(shù)：3. 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分積分存在的條件及其計(jì)算方法積分存在的條件及其計(jì)算方法 1、 f(z)為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù),且且C是光滑是光滑(或按段光滑或按段光滑)曲曲 線(xiàn)時(shí)，積分是一定存在的。線(xiàn)時(shí)，積分是一定存在的。 cfz dzfztztdt2、 化為參變量的定

6、積分來(lái)計(jì)算?；癁閰⒆兞康亩ǚe分來(lái)計(jì)算。cccfzd zu d xv d yiv d xu d y3. 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分 0cfzdz 若若f(z)解析解析001( )()d2Cf zf zzizz若若f(z)不解析不解析 010!1,2,2nncfznfzdz nizz解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)解析函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)1( )( )inccif z dzf z dz復(fù)合閉路定理3. 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分1010( )()()zzf z dzG zG z原函數(shù)原函數(shù)22220 xy且 滿(mǎn) 足(x,y)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)調(diào)和函數(shù)調(diào)和函數(shù)4. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)定理一定理一：

7、設(shè)：設(shè)n(n=1,2,)為一復(fù)數(shù)列，其中為一復(fù)數(shù)列，其中n =an+ibn，設(shè)設(shè) =a+ib為一確定復(fù)數(shù)則為一確定復(fù)數(shù)則limlimlimnnnnnnaabb且復(fù)數(shù)列復(fù)數(shù)列 n =an+ibn復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)121.nnn都收斂。和收斂定理二、1111)(nnnnnnnnnbaiba4. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)0010000010()()()z0nnnnnnnnnnczzcc zzczzc zcc zc z定義： 當(dāng)時(shí)， ,limlim nnnnnnccc或若1.1 R則收斂半徑的求法：收斂半徑的求法：冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閳A域冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閳A域4. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)00()0( )()

8、1(),0,1,2,.!nnnnnfzczzcfznn其 中洛朗級(jí)數(shù)洛朗級(jí)數(shù)設(shè)設(shè)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析內(nèi)解析, z0為為D內(nèi)的一點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn)0( )()nnnfzczz設(shè)設(shè)f(z)在區(qū)域在區(qū)域D： 內(nèi)解析，內(nèi)解析，z0為為D內(nèi)的一點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn)102RzzR101( )(0,1,2,)2()nncfzcdz nizz4. 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)3521sin( 1)3!5!(21)!nnzzzzzzn 231ln(1)(1)|1 .231nnzzzzzzn211( 1),| 1.1nnzzzzz 2e1.2!nzzzzzn 211,|11nzzzzz常用級(jí)數(shù)展開(kāi)式常用級(jí)數(shù)展開(kāi)式242cos1( 1)2!4!

9、(2 )!nnzzzzzn 5. 留數(shù)留數(shù)留數(shù)定義：留數(shù)定義：設(shè)設(shè) z0 為為 f (z) 的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)， f (z) 在在 z0 鄰鄰域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)一次冪項(xiàng)域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)一次冪項(xiàng) (z- z0)1 的系數(shù)的系數(shù) c1 稱(chēng)為稱(chēng)為f (z)在在 z0 的的留數(shù)留數(shù)，記作，記作 Res f (z), z0 或或 Res f (z0)。Res f (z), z0= c1 011Re ( ),( )2cs f z zcf z dzi留數(shù)定理留數(shù)定理()Cfz dz ?12Re ( ),nkkis f z z5. 留數(shù)留數(shù) 有限點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則有限點(diǎn)處留數(shù)的計(jì)算規(guī)則2)本性奇點(diǎn)本性奇

10、點(diǎn):展開(kāi)展開(kāi)1)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)10c1( ),Res( ),0nkkRes fzzfz 5. 留數(shù)留數(shù)3)極點(diǎn)極點(diǎn)000Re ( ),lim() ( )zzs f z zzzf z一級(jí)極點(diǎn)一級(jí)極點(diǎn)010011R e(),lim()()(1) !mmmzzdsfzzzzfzmd zm級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn)000( )Re ( ),( )P zs f z zQ zf(z)=P(z)/Q(z)時(shí)，時(shí)，P(z0) 0,Q(z0)=0, ,Q(z0) 0, z0是是 f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，的一級(jí)極點(diǎn)，且且5. 留數(shù)留數(shù)判斷孤立奇點(diǎn)類(lèi)型判斷孤立奇點(diǎn)類(lèi)型2、判定定理：、判定定理：若若z0為函數(shù)為函數(shù) f (z)的孤立

11、奇點(diǎn)，則的孤立奇點(diǎn)，則z0為為f (z)的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn) 存在且有限存在且有限0zzlim(z)fz0為為f (z)的極點(diǎn)的極點(diǎn) 0zzlim(z) =fz0為為f (z)的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn) 不存在且不為不存在且不為0zzlim(z)f1、利用定義：含有負(fù)冪項(xiàng)的情況、利用定義：含有負(fù)冪項(xiàng)的情況3、極點(diǎn)的情況：、極點(diǎn)的情況： 極點(diǎn)與零點(diǎn)的關(guān)系極點(diǎn)與零點(diǎn)的關(guān)系5. 留數(shù)留數(shù)若若z=a分別是分別是(z)、(z)的的m級(jí)與級(jí)與n級(jí)零點(diǎn)，則級(jí)零點(diǎn)，則1) z=a是是(z) (z)的的m+n級(jí)零點(diǎn)；級(jí)零點(diǎn)；2)當(dāng)當(dāng)mn時(shí)，時(shí)，z=a是是(z)/(z)的的m-n級(jí)零點(diǎn)；級(jí)零點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)mn時(shí)，時(shí)，z=a是

12、是(z)/(z)的的n-m級(jí)極點(diǎn)；級(jí)極點(diǎn)；當(dāng)當(dāng)m=n時(shí)，時(shí)，z=a是是(z)/(z)的的可去奇點(diǎn)；可去奇點(diǎn)；3)當(dāng)當(dāng)mn時(shí)，時(shí)，z=a是是(z)+(z)的的L級(jí)零點(diǎn)，級(jí)零點(diǎn)， L=minm,n;當(dāng)當(dāng)m=n時(shí)，時(shí)，z=a是是(z)+(z)的的L級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn)，L m5. 留數(shù)留數(shù)1( ),Res( ),0nkkRes fzzfz Cdzzfizf)(21),(Res 1 c211Res ( ),Res ( ),0f zfzz 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算規(guī)則：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)留數(shù)的計(jì)算規(guī)則：Rz 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域若若f(z)在在 內(nèi)解析，則稱(chēng)內(nèi)解析，則稱(chēng)為為f(z)的的孤立奇點(diǎn)。孤立奇點(diǎn)。5.

13、留數(shù)留數(shù)存在且有限的可去奇點(diǎn)為)(lim)(zfzfz )(lim)(zfzfz的極點(diǎn)為 不存在且不為的本性奇點(diǎn)為)(lim)(zfzfz規(guī)定：規(guī)定：如果如果t=0是是(t)的可去奇點(diǎn)、的可去奇點(diǎn)、m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)，那么稱(chēng)那么稱(chēng)z=是是f(z)的可去奇點(diǎn)、的可去奇點(diǎn)、m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)。1( )( )( )f zftt1tz令無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型：無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型：5. 留數(shù)留數(shù)201.(cos ,sin )Rd11201(cos ,sin )(,)22zzzzzdzRdRiiz()Rxd x 2.形如形如 的積分的積分Im ()0()2(),

14、kkzR x d xiR es Rzz ,)(Res)()Im( kzaizaixzezRidxexRk02( )(0)aixR x edxa3.形如形如的積分的積分6. 共形映射共形映射解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義解析函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義(輻角和模輻角和模)1.輻角輻角Argf(z)導(dǎo)數(shù)的輻角導(dǎo)數(shù)的輻角Argf(z)是曲線(xiàn)是曲線(xiàn)C經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)=f(z)映射后在映射后在z0處處的轉(zhuǎn)動(dòng)角的轉(zhuǎn)動(dòng)角僅與映射僅與映射=f(z)及點(diǎn)及點(diǎn)z0有關(guān)有關(guān)保角性保角性2.導(dǎo)數(shù)的模導(dǎo)數(shù)的模f(z)f(z)為曲線(xiàn)為曲線(xiàn)C在在z0的的伸縮率。具有伸縮率的不變性伸縮率。具有伸縮率的不變性定理：定理：如果函數(shù)如果函數(shù)=f(z)在在z0解析，且解析，且f(z) 0,那么映射那么映射 =f(z)在在z0是共形的，而且是共形的，而且Arg f(z0)表示這個(gè)映射在表示這個(gè)映射在z0的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)角，角，f(z)表示伸縮率。如果解析函數(shù)表示伸縮率。如果解析函數(shù)=f(z)在在D內(nèi)處處有內(nèi)處處有f(z) 0，那么映射，那么映射=f(z)是是D內(nèi)的共形映