2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練：橢圓（含解析）

橢圓--2025屆高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)高頻考點(diǎn)專題練

一、選擇題

2222

1.已知橢圓C：土+匕=1仿〉0）與橢圓土+乙=1有相同的焦點(diǎn)，則。=（）

16b2v）125

A.2^3B.2小C.3D.4

2.焦點(diǎn)在y軸上，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2:1,焦距為的橢圓方程為（）

2222

土土

A.+>2=1B.+y2=lC.x2+>1=1D.X2+2L=1

4-2-24

3.已知橢圓C：/+提=1（。>6>0）的離心率e=4,短軸的右端點(diǎn)為&"（1,0）為線

段。8的中點(diǎn)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

AX2y2□尤2yI

A.——+—=1B.——+—=1

2448

2222

C.土+乙=1D.土+匕=1

81684

4.橢圓/+4/=1的焦距為（）

A.9B.2百C.2百D.百

22

5.若橢圓土+乙=1的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,則幾的值為（）

A5

A.lB.1或3C.9D.1或9

22

6.若橢圓。：二+4=1（?！?〉0）滿足a=2b，則該橢圓的離心率e=（）

ab1

A.lB.BC.立D正

2234

7.已知橢圓。：二+；=1（機(jī)〉0）的離心率為等，則m=（）

A.20B.2行或0C.8或2D.8

8.若將一個(gè)橢圓繞其中心旋轉(zhuǎn)90。,所得橢圓短軸兩頂點(diǎn)恰好是旋轉(zhuǎn)前橢圓的兩焦點(diǎn),

這樣的橢圓稱為“對(duì)偶橢圓''.下列橢圓中是“對(duì)偶橢圓''的是（）

22222222

A.土+2L=1B.土+工=1C.上+21=1D.三+2L=1

84356269

22

9.橢圓c：=+[=1（?！祇〉o）的左右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)2，過點(diǎn)耳的直線I交橢圓C于

a2b1

A,3兩點(diǎn)，已知+=0,A《則橢圓。的離心率為（）

A.-B史C正D.l

7233

10.如圖，圓。與橢圓相切，已知耳，工分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上,

線段尸&與圓。相切于點(diǎn)。，且點(diǎn)Q為線段P8的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）

二、填空題

11.已知△ABC的頂點(diǎn)A。。），8（-3,0）,且周長(zhǎng)為驍，求頂點(diǎn)C的軌跡方程

12.如果方程2/+02=左表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是.

22

13.設(shè)小工是橢圓E：2T+3=1（?！?〉0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)《且斜率為由的直線

a1b2

交橢圓于點(diǎn)P,若NP￡鳥=2NP月耳，則橢圓E的離心率為.

14.橢圓[+￡=1（?！?〉0）的離心率e滿足6=與1,則稱該橢圓為“黃金橢圓”.若

22

三+匕=1（10〉機(jī)〉0）是''黃金橢圓"，則m=________黃金橢

10m、）

22

圓"0乏+方=1（?！?〉0）兩個(gè)焦點(diǎn)分別為耳（一°,0）、E（c,o）（C>O）,P為橢圓c

上的異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)〃是△「片B的內(nèi)心，連接尸”并延長(zhǎng)交月工于N,則

\PM\

\MN\~'

三、解答題

15.已知橢圓0：=+J=l（a〉6〉0）的離心率e=4,且橢圓C經(jīng)過點(diǎn)1,

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)P（2,0）且斜率不為零的直線與橢圓C交于8D兩點(diǎn)乃關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A,

求證:直線AD與x軸交于定點(diǎn)Q.

參考答案

1.答案：c

2222

解析：因?yàn)闄E圓c±+匕=l彷〉0）與橘圓二+匕=1有相同的焦點(diǎn).所以

216&2v）125

16-/=12-5,解得b=3或/?=-3（舍去）.故選C.

2.答案：D

22

解析:因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，故設(shè)橢圓方程為匕+±=1,

a2b2

則/=a?-//=f；=3,且a=2Z?,

2

解得：/=4,〃=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+匕=1.

4

故選:D

3.答案：B

解析：因?yàn)?（I，。）為線段的中點(diǎn)，且8低0）,所以6=2,

又橢圓C的離心率0=當(dāng)，所以￡=1—所以a=20,

2a\a\a2

22

所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為一+2=1.

48

2,V—1

解析：先將橢圓爐+4/=1化為標(biāo)準(zhǔn)方程1+—=1,

4

則a=l,b=Lc=yla2-b1=-

22

故焦距為2c=Q.

故選：D.

5.答案：C

解析：根據(jù)右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2,0）,可得c=2,且焦點(diǎn)在x軸上,

故丸=。2+5=9，

故選：C

6.答案：B

22

解析：橢圓C：5+3=1（?！?〉0）滿足。=2/?，

故選：B.

7.答案：C

解析：橢圓c：；+；=i（機(jī)〉0）的離心率為令，

可得牛i=交或三五=也,解得機(jī)=8或m=2.

4m222

故選：C.

8.答案：A

解析：由“對(duì)偶橢圓”定義得:短半軸長(zhǎng)b與半焦距c相等的橢圓是“對(duì)偶橢圓”,

2

對(duì)于A,c=8—4=4=/,即b=c，A是"對(duì)偶橢圓”;

2

對(duì)于B,c=5-3=2-2,即Z?HC，B不是“對(duì)偶橢圓”;

對(duì)于C,0?=6—2=4w/，即Z?wcC不是“對(duì)偶橢圓”;

對(duì)于D"=9-6=3#與,即五c，D不是“對(duì)偶橢圓”.

故選:A

9.答案：A

解析：設(shè)閨周=2c,

因?yàn)?初+大外.M=(A￡+片引.(A月一斗月)=伍2—片62=0,

所以I鏈1=1耳司=2c，所以|A1=2a-2c,

因?yàn)锳￡=g片瓦所以忸制=|(a—c)，所以忸閭=￡+5，

設(shè)A片中點(diǎn)為H,則將/，A5,|AH|=a—C,忸M=g(a—C),

\F2Af-1AHF=|g時(shí)-1『代入數(shù)據(jù)并整理得：7。2—12ac+5a2=0,

等式兩邊同除以/得：7e?-12e+5=0，解得：e=*或e=l(舍).

7

故選：A.

10.答案：A

解析：由題可令。為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，5為短半軸長(zhǎng)，如圖，連接尸耳，OQ.因?yàn)榫€段

Pg與圓相切于點(diǎn)Q,所以P^LOQ.又因?yàn)?。為線段耳工的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段2工的

中點(diǎn)，所以P耳〃OQ,抽且歸娟=2|。。|=28，所以歸閭=2a—2"所以

4Z;2+4(?-b)2=4c2=4a2-4b2,整理得3Z?=2a,所以9(4—02)=4。2,所以離心率

解析：因?yàn)?(3,0)，3(-3,0)，所以|AB|=6，

又因?yàn)椤鰽BC的周長(zhǎng)為16,

所以|04|+|。|=16-|謖|=10，并且|C4|+|Cfi|>|A^.

所以頂點(diǎn)C在以A,3為焦點(diǎn)的橢圓上,

22

設(shè)橢圓方程為「+與=1（。〉0涉〉0），

a2b2'）

因?yàn)?a=10，2c=6,a2=b2+c29所以。2=25，b2=169

22

又因?yàn)锳,民C三點(diǎn)不共線，所以頂點(diǎn)。的軌跡方程為工+2L=i（ywo）.

2516'）

22

故答案為：工+匕=1（丁/0）

2516I）

12.答案：（2,”）

解析：因?yàn)榉匠?月+份2=左表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，顯然左wo,則方程可化為

X221

T+y=1

2

所以g〉l，解得左〉2,所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（2,收）.

故答案為.（2,+8）

13.答案：V3-1

解析：因過點(diǎn)耳斜率為出的直線交橢圓于點(diǎn)P,則有NP4鳥=60。，NP￡G=30。,

因此，在△2耳瑪中，/耳2耳=90,令橢圓半焦距為c,

于是得歸耳|=|耳國(guó)cos6（r=c，忸閶=閨閶sin6（T=Gc，

由橢圓定義得：2a=|尸娟+歸閶=（6+1）。，=若-1,

所以橢圓石的離心率是e=6-1.

故答案為：^/3-1.

V5+1

14.答案：5班-5,

2

解析：因?yàn)樾?川。2。）是“黃金橢圓"，故與=曙，故…63

連接，因?yàn)镸為內(nèi)心，故工”,月〃為角平分線,

F2M,FXM

有\(zhòng)PF\_\PM\JPF\

由角平分線性質(zhì)2.故

朋|\NM\|N周

\PF^+\PF\_\PM\_2a_g_2A/5+1

|N用+［阿一|N閭-五一】一逐/2

故答案為：50-5,縣工

2

2

15.答案：（1）工