用放縮法證明不等式

1、用放縮法證明不等式1、若是自然數(shù)，求證2、求證：3、若a, b, c, dr+，求證：4、當(dāng) n 2 時(shí)，求證：5. 設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3b3a2b2，求證。6. 已知a、b、c不全為零，求證：7. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。8. 已知nn*，求。9. 已知且，求證：對(duì) 所有正整數(shù)n都成立。10. 已知函數(shù)，證明：對(duì)于且都有。11. 已知，求證：當(dāng)時(shí)。12. 已知數(shù)列中，證明：13.已知數(shù)列中，求證：14. 已知，求證。15. 已知a，b，c為abc的三條邊，且有，當(dāng)且時(shí)，求證：。16. 已知a，br，求證。用放縮法證明不等式參考答案對(duì)于分子分母均取正值的分式，常用的兩

2、種放縮技巧：（）如果分子不變，分母縮小（分母仍為正數(shù)），則分式的值放大；（）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。1、若是自然數(shù)，求證證明： = =注意：實(shí)際上，我們?cè)谧C明的過程中，已經(jīng)得到一個(gè)更強(qiáng)的結(jié)論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。2、求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)） 得 3、若a, b, c, dr+，求證：證：記m = a, b, c, dr+ 1 m 2 時(shí)，求證：證：n 2 n 2時(shí), 所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對(duì)照證題目標(biāo)進(jìn)行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時(shí)要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨(dú)用來證明不等式，也可以是其他

3、方法證題時(shí)的一個(gè)重要步驟。下面舉例談?wù)勥\(yùn)用放縮法證題的常見題型。一. “添舍”放縮通過對(duì)不等式的一邊進(jìn)行添項(xiàng)或減項(xiàng)以達(dá)到解題目的，這是常規(guī)思路。5. 設(shè)a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3b3a2b2，求證。證明：由題設(shè)得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。6. 已知a、b、c不全為零，求證：證明：因?yàn)?，同理，。所以? 分式放縮一個(gè)分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個(gè)真分式，分子、分母同時(shí)加上同一個(gè)正數(shù)則分式值變大，利用這些性質(zhì)，可達(dá)到證題目的。7.

4、已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則為真分?jǐn)?shù)，則，同理，故.綜合得。三. 裂項(xiàng)放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關(guān)的n項(xiàng)和，可采用數(shù)列中裂項(xiàng)求和等方法來解題。 8. 已知nn*，求。證明：因?yàn)?，則，證畢。9. 已知且，求證：對(duì)所有正整數(shù)n都成立。證明：因?yàn)?，所以，又，所以，綜合知結(jié)論成立。四. 公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡(jiǎn)解。10. 已知函數(shù)，證明：對(duì)于且都有。證明：由題意知又因?yàn)榍?，所以只須證，又因?yàn)樗浴?1. 已知，求證：當(dāng)時(shí)。證明：證畢。12. 已知數(shù)列中，證明：放縮一

5、：點(diǎn)評(píng)：此種放縮為常規(guī)法，學(xué)生很容易想到，但需要保留前5項(xiàng)，從第6項(xiàng)開始放大，才能達(dá)到證題目的，這一點(diǎn)學(xué)生往往又想不到，或因意志力不堅(jiān)強(qiáng)而放棄。需要保留前5項(xiàng)，說明放大的程度過大，能不能作一下調(diào)節(jié)？放縮二：點(diǎn)評(píng)：此種方法放大幅度較（一）小，更接近于原式，只需保留前2項(xiàng)，從第3項(xiàng)開始放大，能較容易想到，還能再進(jìn)一步逼近原式？放縮三： 本題點(diǎn)評(píng)：隨著放縮程度的不同，前面需保留不動(dòng)的項(xiàng)數(shù)也隨著發(fā)生變化，放縮程度越小，精確度越高，保留不動(dòng)的項(xiàng)數(shù)就越少，運(yùn)算越簡(jiǎn)單，因此，用放縮法解題時(shí)，放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運(yùn)算上的麻煩。13.已知數(shù)列中，求證：方法一： 方法二：點(diǎn)評(píng)：方法一用的是放縮法后用裂項(xiàng)法求和；方法二是通過放縮轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，從數(shù)值上看方法二較方法一最后結(jié)果的精確度高，但都沒超過要證明的結(jié)果3。五. 換元放縮對(duì)于不等式的某個(gè)部分進(jìn)行換元，可顯露問題的本質(zhì)，然后隨機(jī)進(jìn)行放縮，可達(dá)解題目的。14. 已知，求證。證明：因?yàn)?，所以可設(shè)，所以則，即。15. 已知a，b，c為abc的三條邊，且有，當(dāng)且時(shí)，求證：。 證明：由于，可設(shè)a=csina，b=ccosa（a為銳角），因?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，所以。六. 單調(diào)函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過構(gòu)造特殊的單調(diào)函數(shù)，利用其單調(diào)性質(zhì)