理學(xué)保形映射正式PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 理學(xué)保形映射正式理學(xué)保形映射正式 2 t tzttz )()( 00 O x y z(t0) P0 P z(t0+Dt) C (z) 當(dāng)點(diǎn)P沿C無(wú)限趨向于點(diǎn)P0, 割線P0P的極限位置就是 C 上P0處的切線. 因此, 表示 t tzttz tz t )()( lim)( 00 0 0 的向量與C相切于點(diǎn)z0=z(t0), 且方向與C的正向一 致. z (t0) 第1頁(yè)/共83頁(yè) 3 O x (z) z0 1 C 2 C 第2頁(yè)/共83頁(yè) 4 Ox y Ou v z0 P0r z P Dz C (z) (w) G w0 Q0 Q w r Dw 0 0 0000 00 lim,lim

2、zz w fzArg fz z D D D D 0 () 0 0 000 0 e limlimlimlime e i i i zzzzz wwwww fz zzzzz D D D DDD DDD 第3頁(yè)/共83頁(yè) 5 若原來(lái)的切線的正向與映射過(guò)后的切線的正向之間的夾 角理解為曲線C經(jīng)過(guò)w=f (z)映射后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角, 則 1)導(dǎo)數(shù)f (z0)0的輻角Arg f (z0)是曲線C經(jīng)過(guò)w=f (z)映射 后在z0處的轉(zhuǎn)動(dòng)角; Ox y Ou v z0 P0r z P Dz C (z)(w) G w0 Q0 Q w r Dw 0 0 00. 即Arg f (z0)= Arg w (t0)Arg

3、 z (t0) 第4頁(yè)/共83頁(yè) 6 通過(guò)z0點(diǎn)的可能的曲線有無(wú)限多條, 其中的每一條都 具有這樣的性質(zhì), 即映射到w平面的曲線在w0點(diǎn)都轉(zhuǎn)動(dòng)了 一個(gè)角度Arg f (z0). Ox y Ou v (z) (w) z0w0 第5頁(yè)/共83頁(yè) 7 y a O x O u v (z) (w) z0 w0 a C1 C2 G1 G2 11222121 a 第6頁(yè)/共83頁(yè) 8 3) 稱為C在z0的伸縮率. 上式表明 |f (z)|是兩象點(diǎn)間距離和兩原象點(diǎn)間距離比 值的極限，從而可視為映射w=f (z)在點(diǎn)z0處沿曲線C的伸 縮率, 它與曲線 C 的形狀及方向無(wú)關(guān). 所以這種映射又具 有 伸縮率不變性

4、.上式可視為 000 f zf zfzzz 0 1,fz 0 表示從z 出發(fā)的任一無(wú)窮小距離伸長(zhǎng)； 0 1,fz 0 表示從z出發(fā)的任一無(wú)窮小距離縮短； 0 1,fz 0 表示從z 出發(fā)的任一無(wú)窮小距離不變。 0 0 0 0 0 |()| limlim zzz www fz zzz D D D 第7頁(yè)/共83頁(yè) 9 僅具有保角性和伸縮率不變性的映射稱為第一類保 形映射；而具有伸縮率不變性和保持角度絕對(duì)值不變而 旋轉(zhuǎn)方向相反的映射稱為第二類保形映射。 例如 是 第二類保形映射。 w z 第8頁(yè)/共83頁(yè) 10 定理一 設(shè)函數(shù)w=f (z)在區(qū)域D內(nèi)解析, z0為D內(nèi)的一點(diǎn), 且 f (z0)0,

5、 則映射w=f (z)在z0具有兩個(gè)性質(zhì): 1)保角性. 即通過(guò)z0的兩條曲線間的夾角跟經(jīng)過(guò)映射后 所 得兩曲線間的夾角在大小和方向上保持不變 。 2)伸縮率的不變性. 即通過(guò)z0的任何一條曲線的伸縮率 均 為|f (z0)|而與其形狀和方向無(wú)關(guān). 第9頁(yè)/共83頁(yè) 11 O x y O u v (z) (w) z0 w0 a a C1 C2 G1 G2 定理一的幾何意義. 第10頁(yè)/共83頁(yè) 12 保形映射是把區(qū)域雙方單值的映射成區(qū)域，在每一 點(diǎn)保角，在每一點(diǎn)具有伸縮率不變性。 例如函數(shù) 在 不是保形的； z we04Imz 在 是保形的。0 Im2z 第11頁(yè)/共83頁(yè) 13 1. 冪函數(shù)

6、 w=zn(n2為自然數(shù))在z平面內(nèi)處處可 導(dǎo), 它的導(dǎo)數(shù)是 1 d , d n w nz z d 0. d w z 因而當(dāng)z0時(shí), 所以, 在z平面內(nèi)除去原點(diǎn)外, 由w=zn所構(gòu)成的映 射處處保形. , n n w zii r zrewe n r r 圓周圓周； 射線射線。 映射的特點(diǎn)是: 把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成 以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域, 但張角變成了原來(lái)的n倍. 第12頁(yè)/共83頁(yè) 14 O (z) 0 O (w) n0 w=zn (z) (w) OO n 2 上岸 下岸 w=zn 00 2 ) n 00 0 角形域:角形域:n (由單值性可知 00 2 特別，沿實(shí)軸剪開(kāi)的w平面:2

7、. n 第13頁(yè)/共83頁(yè) 15 例1 求w=z2把角形域0arg z/4映射成何區(qū)域 2 :0wzz注意在處就不是保角映射 4 12(1)2 2z2 2, 4 i fiiei 在處的伸縮率是 旋轉(zhuǎn)角是 第14頁(yè)/共83頁(yè) 16 000 2 : 00()n n n nn 根式函數(shù)z= w 于是w=z 和z= w的映射特點(diǎn)是擴(kuò)大與縮小角形域。 O (z) 0 O (w) n0 n z= w n z= w n z= w n0 n z= w 第15頁(yè)/共83頁(yè) 17 設(shè)z =x+iy, w =r e i, 則w = e z =e x+iy =r e i 推出 r= e x ：z平面上垂直線x映射成w

8、平面上圓周r； （x0 單位圓周,x0 單位圓外） = y： z平面上水平直線y映射成w平面上射線 。 第16頁(yè)/共83頁(yè) 18 ai Ox y (z) arg w=a u O v (w) 2i Ox y (z) Ou v (w) w=ez z=lnw 第17頁(yè)/共83頁(yè) 19 帶形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa. 特別是帶形域0Im(z)2 映射成沿正實(shí)軸剪開(kāi) 的w平面:0arg w0映射成 單位圓|w|1. 由于上半平面總有一點(diǎn)z=l要映成 單位圓周|w|=1的圓心w=0, 第49頁(yè)/共83頁(yè) 51 , ,0 | 1. , . zz ww w z w ll l 實(shí)軸要映射成單位

9、圓 而與是關(guān)于實(shí) 軸的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)與是與之對(duì)應(yīng)的關(guān) 于圓周的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn)所以根據(jù)分式線性 映射具有保對(duì)稱點(diǎn)不變的性質(zhì)知必映成 . l l z z kw其中k為常數(shù). 第50頁(yè)/共83頁(yè) 52 | |,| 1 ,1,| 1,e , . i z wkzw z z kk z l l l l 因?yàn)槎鴮?shí)軸上的點(diǎn) 對(duì)應(yīng)著 上的點(diǎn) 這時(shí)所以即這里 是任意實(shí)數(shù)因此所求的分式線性映射的一般 形式為 , 1|e|e| l l l l z z z z w ii e,(Im( )0)(6.3.3) i z w z l l l 第51頁(yè)/共83頁(yè) 53 6.3.3, 2 i l 當(dāng)（）中取時(shí)即得解法一的結(jié)果： . zi w

10、i zi 6.3.3,0il當(dāng)（）中取時(shí)即得： . zi w zi 第52頁(yè)/共83頁(yè) 54 2 . 2 i zi we zi 2 4 ( )e, (2 ) i i w z zi 故有 (2 ). 4 i i wie arg(2 )0,. 22 wi 從而得所求的映射為 2 . 2 zi wi zi 解：由條件w(2i)=0知, 所求的映射要將上半平面 中的點(diǎn)z=2i映射成單位圓周的圓心w=0. 所以由 (6.3.3)得 第53頁(yè)/共83頁(yè) 55 x 1 y (z) O O u v (w) 1 a a 1 第54頁(yè)/共83頁(yè) 56 1 | 1 (0)., 1 ,0,. z ww zwzw a

11、a a a 點(diǎn) 對(duì)稱于單位圓周的點(diǎn)應(yīng)該被映射成 平面上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)即與對(duì)稱的點(diǎn) 因此 當(dāng)時(shí)而當(dāng)時(shí)滿足這些條 件的分式線性映射具有如下的形式 , 1 11 z z k z z k z z kw a a a a a a a akk其中 第55頁(yè)/共83頁(yè) 57 |,1|1| 1| 1 1 | | aa a a 又因 wk 因此, 將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1的分式線 性映射的一般表示式是 e. (| 1)(6.3.5) 1 i z w z a a a 第56頁(yè)/共83頁(yè) 58 . 1 e e e1 e e| a a a a i i i i i w 同時(shí)單位圓|z|1內(nèi)有一點(diǎn)z=a映射成w=0

12、.所以 (6.3.5)必將單位圓|z|1映射成單位圓|w|1. 第57頁(yè)/共83頁(yè) 59 2 1 2 11 1 1 1 1422 2 2 e,ee 1 23 1 1 1 2 2 iii z zz z ww z z 解 由條件w(1/2)=0知, 所求的映射要將z=1/2 映射成|w|0映射成|w2i|2且滿足條件w(2i)=2i, arg w(2i)/2的分式線性映射. 2221 ee(2 )2e, 2224 iii ziwizi wi zizii 解 容易看出, 映射=(w2i)/2將|w2i|2映射成|0映射成|1且滿足(2i)=0的映射易知為 第59頁(yè)/共83頁(yè) 61 arg(2 )ar

13、g(2e )arg(4 ).arg(2 ),0. 22 222 2(1). 222 i wiiwi wiziz wi zizi 由得 于是所求映射為或 2i (z) O () 2i (w) iz z iw 2 2 )1 (2 iz iz 2 2 w=2(i+) 第60頁(yè)/共83頁(yè) 62 O (z) a b (w) O i () O t ba w=e () i z a b a we O (s) b-a sz a tis 例5 求把帶形域aRe(z)0 的一個(gè) 映射. O (t) (b-a)i 第61頁(yè)/共83頁(yè) 63 第62頁(yè)/共83頁(yè) 64 例 6 中心在 z=1 與 z1, 半徑為2的二圓弧

14、所 圍區(qū)域, 在映射 zi w zi 下映射成什么區(qū)域? x 1 i i 1 C1 C2 y (z) O 第63頁(yè)/共83頁(yè) 65 . 22 )21 ()21 ( 12 12 , 12 1 i i i w zC對(duì)應(yīng)點(diǎn)是與正實(shí)軸的交點(diǎn)取 第64頁(yè)/共83頁(yè) 66 x 1 i i 1 C1 C2 y (z) O C2 C1 O u v (w) 第65頁(yè)/共83頁(yè) 67 00 Re00arg ImzzR zz 例7求映為的分式線性映射。 0;. zR zRwzRwwk zR 解令 01111zwwkk 再取 w 1 z RR0 . zR w zR 第66頁(yè)/共83頁(yè) 68 a 0 (w) O 1 C

15、1C2 a (z) O i i 第67頁(yè)/共83頁(yè) 69 a O () a 0 (w) O 1 C1C2 a (z) O i i iz iz i 0 eiw iz iz ew i) 2 ( 0 1 第68頁(yè)/共83頁(yè) 70 iz iz k 其中k為待定的復(fù)常數(shù). 1 1 111 1 ,. i zkikki i zi iC zi 令。 這樣就把 映射成 平面上的正實(shí)軸 0 0 () 2 ,0arg. . i i zizi wiee zizi a 根據(jù)保角性 所給的月牙域映射成角形域 由此得所求的映射為 第69頁(yè)/共83頁(yè) 71 1. 冪函數(shù) w=zn(n2為自然數(shù))在z平面內(nèi)處處可 導(dǎo), 它的導(dǎo)

16、數(shù)是 1 d , d n w nz z d 0. d w z 因而當(dāng)z0時(shí), 所以, 在z平面內(nèi)除去原點(diǎn)外, 由w=zn所構(gòu)成的映 射處處保形. , n n w zii r zrewe n r r 圓周圓周； 射線射線。 映射的特點(diǎn)是: 把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成 以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域, 但張角變成了原來(lái)的n倍. 第70頁(yè)/共83頁(yè) 72 O (z) 0 O (w) n0 w=zn (z) (w) OO n 2 上岸 下岸 w=zn 00 2 ) n 00 0 角形域:角形域:n (由單值性可知 00 2 特別，沿實(shí)軸剪開(kāi)的w平面:2 . n 第71頁(yè)/共83頁(yè) 73 000 2 : 00(

17、)n n n nn 根式函數(shù)z= w 于是w=z 和z= w的映射特點(diǎn)是擴(kuò)大與縮小角形域。 例1 求把角形域0arg z/4映射成單位圓|w|1 的 一個(gè)映射. 解 =z4將所給角形域0arg z0. 又從上節(jié)的例2知, 映射 4 4 | 1. . i ww i zi w zi 將上半平面映射成單位圓因此 所求映射為 第72頁(yè)/共83頁(yè) 74 (z) O 4 O ( ) 1 (w) z4 i i w iz iz w 4 4 4 0arg01. 4 i zzImww i 第73頁(yè)/共83頁(yè) 75 01 21 0arg 2 z w z 例 求映為單位園的一個(gè)映射. 2 2 2 2 2 2 2 2

18、01 01 0arg0arg 2 Im0 1 Im0 Re01 1 1 1. 1 1 z z z t tsts t z i zsi www si z i z 解： 第74頁(yè)/共83頁(yè) 76 設(shè)z =x+iy, w =r e i, 則w = e z =e x+iy =r e i 推出 r= e x ：z平面上垂直線x映射成w平面上圓周r； （x0單位圓周,x0 單位圓外） = y： z平面上水平直線y映射成w平面上射線 。 帶形域0Im(z)a映射成角形域0arg wa. 特別是帶形域0Im(z)2 映射成沿正實(shí)軸剪開(kāi) 的w平面:0arg w2.它們間的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的. 第75頁(yè)/共83頁(yè) 77 ai Ox y (z) arg w=a u O v (w) 2i Ox y (z) Ou v (w) w=ez z=lnw 第76頁(yè)/共83頁(yè) 78 例4 求把帶形域0Im(z)映射成單位圓|w|1的 一個(gè)映射. w =e zi w i e e z z i w i z i 第77頁(yè)/共83頁(yè) 79 例4 求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓 。 i z i z 1-1 i t 1-1 i w tewt z we 第78頁(yè)/共83頁(yè) 80 xO y (z) C(a+ih) B D aOu v(w) ah a a+h BCD 第79頁(yè)/共83頁(yè) 8