二階線性常微分方程地冪級數(shù)解法

1、實用文案二階線性常微分方程的冪級數(shù)解法從微分方程學(xué)中知道， 在滿足某些條件下， 可以用冪級數(shù)來表示一個函數(shù)。因此，自然想到，能否用冪級數(shù)來表示微分方程的解呢？例 1、求方程yxy0 的通解解：設(shè)ya0a1xa2 x2an xn為方程的解，這里有ai (i0,1,2, n,) 是待定常系數(shù)，將它對 x 微分兩次，y2 1a23 2a3 xn(n1)an xn 2( n1)nan 1xn 1將 y ， y 的表達(dá)式代入方程，并比較的同次冪的系數(shù)，得到x2 1a2 0 ， 3 2a3 a0 0,4 3a4 a1 0,5 4a5 a2 0,或一般的可推得a3 ka0，2 3 56(3k1)3ka3 k

2、1a1，3 46 73k(3k1)a3 k20其中 a1 ， a2 是任意的，因而代入設(shè)的解中可得：y a0x3x6x3nx4x712 3 562 3 56(3n1) 3n a1 x3 4 673n(3n2 33 41)這個冪級數(shù)的收斂半徑是無限大的，因而級數(shù)的和（其中包括兩個任意常數(shù) a0 及 a1 ）便是所要求的通解。標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案例6 求方程 y 2xy 4 y0 的滿足初值條件y(0)0 及 y(0)1 的解。解設(shè)級數(shù) ya0a1 xa2 x2an xn為方程的解。 首先，利用初值條件，可以得到a00 ，a11，因而y x a x2a x3a xn23ny1 2a x 3a x2na

3、 xn 123ny2a3 2a xn(n 1)a xn 223n將 y ， y ， y 的表達(dá)式帶入原方程，合并x 的各同次冪的項，并令各項系數(shù)等于零，得到a20, a11,a40, ann2 an 2 ,1因而a51111, a6 0,a76, a8 0, a9,2!3!4!最后得a2 k 1111 ,a2k 0 ,k (k 1)!k !對一切正整數(shù) k 成立。將 ai (i 0,1,2,) 的值代回 ya0 a1x a2x2an xn就得到y(tǒng) xx3x5x2 k 12!k !x(1x2x4x2 k)xex2,2!k!這就是方程的滿足所給初值條件的解。是否所有方程都能按以上方式求出其冪級數(shù)解

4、？或者說究竟方程應(yīng)該滿足什么條件才能保證它的解可用冪級數(shù)來表示呢？級數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案形式怎樣？其收斂區(qū)間又如何?這些問題，在微分方程解析理論中有完滿的解答，但因討論時需要涉及解析函數(shù)等較專門的知識，在此我們僅敘述有關(guān)結(jié)果而不加證明，若要了解定理的證明過程， 可參考有關(guān)書籍?？紤]二階齊次線性微分方程d 2 yp(x) dyq( x) y 0dx2dx及初值條件 y( x0 )y0 的情況。y0 及 y (x0 )不失一般性，可設(shè) x00 ，否則，我們引進(jìn)新變量 tx x0 ，經(jīng)此變換，方程的形狀不變，在這時對應(yīng)于xx0 的就是 t00 了，因此，今后我們總認(rèn)為 x0 0。定理 10 若方程d

5、 2 ydydx2p( x) dxq( x) y 0 中系數(shù) p( x) 和 q( x) 都能展成 x 的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為 | x | R ，則方程d 2 ydyq( x) y 0dx 2p(x)有dx形如yan xnn0的特解，也以 | x |R 為級數(shù)的收斂區(qū)間。在上兩例中方程顯然滿足定理的條件， 系數(shù) x ， 2x 和 4 可看作是在全數(shù)軸上收斂的冪級數(shù)， 故方程的解也在全數(shù)軸上收斂。 但有些方程，例如 n 階貝賽爾方程x2 d 2 yx dy(x2n2 ) y 0dx2dx標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案這里 n 為非負(fù)常數(shù) ，不一定是正整數(shù)，（ d 2 yp( x) dyq(x) y 0 ）dx

6、2dx在此1n2，顯然它不滿足定理 10x ， q(x)1x的條件，因而不能p( x)2肯定有形如yan xn 的特解。但它滿足下述定理 11 的條件，從n 0而具有別種形狀的冪級數(shù)解。d 2 ydyq(x) y0 中系數(shù) p( x) ， q(x) 具有定理 11 若方程2 p( x)dxdx這樣的性質(zhì)，即xp( x) 和 x2q(x) 均能展成 x 的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為d 2 yp(x)dy| x | R ， 若 a00，則方程dx2q(x) y 0 有 形 如dxyxan xnn0即yan xnn0的特解，是一個特定的常數(shù)， 級數(shù) yan xn也以 | x |Rn0為收斂區(qū)間。若 a0，

7、或更一般的，i0( i0,1,2, m 1)，但am0 ，0則引入記號m ， bkamk ，則y xan xnx mam k xkxbk xk ，nmk 0k0這里 b0 am0 ，而仍為待定常數(shù)。例7 求解 n階貝賽爾方程 x2d 2 yxdy(x22) y 0 。dx2dxn標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案解將方程改寫成d 2 y 1 dyx2n2y 0 ，dx2x dxx2易見，它滿足定理11 的條件（ xp( x) 和 x2 q( x) 均能展成 x 的冪級數(shù)，且收斂區(qū)間為 | x |R ），且 xp x1, x2 q xx2n2 ，按展成的冪級數(shù)收斂區(qū)間為x，由定理 11，方程有形如yak xa k

8、k0的解，這里 a00 ，而 ak 和是待定常數(shù)， 將 yak xa k代k 0入： x2d 2 yxdy(x22) y0 中，得dx2dxnx2(ak)( ak1)ak xa k 2k 1x (a k)ak xa k 1k1( x2n2 ) ak xa k0 ，k 0把 x 同冪次項歸在一起，上式變?yōu)?k )(k 1) (k ) n2 ak xa kak xa k 20k 0k 0令各項的系數(shù)等于0，得一系列的代數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案a 2n2 00a1(1)2n2 0ak (k)2n2 ak 20k2,3,因為 a00 ，故從 a0 2n2 0 解得的兩個值n 和n先考慮n 時方程x2d

9、2 ydy( x22) y0 的一個特dx2xndx解，這時我們總可以從以上方程組中逐個地確定所有的系數(shù)ak 。把n 代入以上方程組，得到a10akak2k(2nk) ， k 2,3或按下標(biāo)為奇數(shù)或偶數(shù)，我們分別有a2k 1a2k12k12n2k1a2kk 1,2,a2k22n2k2k從而求得a2 k 10k1,2,a2a01 n122標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案a42a012! n 1 n 224a63a011 n 2 n326 3! n一般地a2kka01n k22 k k ! n 1 n 2k1,2,將 ak 各代入 yak xa k得到方程 x2 d 2 yx dy( x2n2 ) y 0k 0d

10、x2dx的一個解ky1a0 xn1 a0x2k nk 1 22k k! n 1 n2n k既然是求 x2 d 2 ydy( x22) y 0的特解，我們不妨令dx2xndxa012nn 1其中函數(shù)s 定義如下：當(dāng) s 0 時，s0xs 1e x dx ；當(dāng) s 0 且非整數(shù)時，由遞1s1 定義。推公式(s)ss 具有性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案s 1ss ; n1n!n 為正整數(shù)1kyaxna0x2 k n而2 k10k 12k! n 1 n 2n k變?yōu)閗x2k ny11k 0 k ! n kn 1n 1 2注意到函數(shù)的性質(zhì)，即有k2k ny11xx0 k!n k 1Jnk2Jn x 是由貝塞爾方程

11、 x2 d 2 yxdy22) y0 定義的特殊函dx2( xndx數(shù)，稱為 n 階貝賽爾函數(shù) 。因此，對于 n 階貝塞爾方程，它總有一個特解Jn x 。為了求得另一個與 Jnx線性無關(guān)的特解，我們自然想到，求 an時方程 x2d 2 yxdy2n2) y0 的形如2(xdxdxy2a x nkkk 0的解，我們注意到只要n 不為非負(fù)整數(shù)，像以上對于n 時的求解過程一樣，我們總可以求得標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案a2k10k1,2,a2k1ka0,2kk !n1 n22n kk1,2,a02n2 0a1(1)2n2 0使之滿足ak (k)2n2 ak 20 中的一系列方程，因k 2,3,而ky2a x n

12、1 a0x2k n022k k! n 1 n 2n kk 1是 x2d 2 yxdy( x22) y 0 的一個特解。此時，若令dx2dxna012 nn1k則 y2a0 xn1 a0x2knk 1 22kk! n 1 n 2變n k為1 k2k ny2xxk !n k 1Jnk 02標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案稱 J nx 為階貝賽爾函數(shù) 。利用達(dá)朗貝爾判別法不難驗證級數(shù)kyaxn1 a0x2k n2k和10k 1 2k! n 1 n 2n kky2a x n2k1a0x2kn0k 12k! n 1 n 2n k（ 在ky2a x n2k1a0x2kn0k 12k! n 1 n 2n k中x0）都是收斂

13、的， 因此，當(dāng) n 不為非負(fù)整數(shù)時，Jn x 和 J nx都是方程 x2d 2 ydy( x22) y0 的解，而且是線性無關(guān)的，dx2xndx因為它們可展為由x 的不同冪次開始的級數(shù)，從而它們的比不可能是常 數(shù) 。 于是方 程 x2 d 2 ydy( x22) y 0 的 通解 可寫 為dx2xndxy c1 Jn x c2 J n x這里 c1 ，c2 是任意常數(shù)。此情形的 Jnx 和 J n x 稱為第一類貝塞爾函數(shù)。例 8求方程 x2 yxy4x29y 0 的通解。25解引入新變量 t2x ，我們有標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案dydy dt2 dydxdt dxdtd 2 y d 2 dy dt4

14、 d 2 ydx2dtdtdxdt2 ，將上述關(guān)系代入院方程，得到t2 d 2 ytdy29dt2ty 0，dt25這 是 ， n3的貝塞爾方程，由例 7可知，方程5t2 d 2 ydyt29dt2ty 0的通解可表為dt25y c1J3tc2 J 3t ，55代回原來變量，就得到原方程的通解y c1J 32x c2 J 32x55其中 c1, c2 是任意常數(shù)。第二宇宙速度計算作為這一節(jié)的應(yīng)用，我們計算發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，即所謂第二宇宙速度。在這個速度你下 , 物體將擺脫地球的引力, 向地球一樣繞著太陽運行 , 成為人造衛(wèi)星 .讓我們首先建立物體垂直上拋運動的微分方程. 以 M 和 m

15、分別表示地球和物體的質(zhì)量. 按牛頓萬有引力定律, 作用于物體的引力F ( 空氣阻力忽略不計 ) 為標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案F k mM r 2這里 r 表示地球的中心和物理體重心之間的距離，k 為萬有引力常數(shù)。因為，物體運動規(guī)律應(yīng)滿足下面的微分方程m d 2rk mMdt 2r 2或d 2rMdt2k r 2這里的負(fù)號表示物體的加速度是負(fù)的。設(shè)地球半徑為 R( R 63 105 m) ，物理發(fā)射速度為 v0 ，因此，當(dāng)物體剛剛離開地球表面時，我們有 r R, dr v0 ，即應(yīng)取初值條件為dt當(dāng) t0時， r R, drv0dt方程d2rkM不顯含自變量 t , 應(yīng)用 4.3.1（可降階的一些方程類dt2r2型）的方法，把方程降階成為一階方程v dvk M2drr解得v2kM 1 c2r注意到這時初值條件為c v02 kM2R因而標(biāo)準(zhǔn)文檔實用文案v2kMv02kM2r()2R因為物體運動速度必須始終保持是正的，即v20 ，而隨著 r 的不斷2增大，量 kM 變得任意