第一章自由振動(dòng)

1、 34206332-818 興建興建 34206332-818 EM206 辦公室 機(jī)械樓A樓818/818室 基礎(chǔ)知識(shí) 單自由度自由振動(dòng) 單自由度強(qiáng)迫振動(dòng) 任意激勵(lì)下的響應(yīng) 正弦函數(shù)的描述正弦函數(shù)的描述 t 正弦函數(shù)的描述正弦函數(shù)的描述 簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可由長(zhǎng)度為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可由長(zhǎng)度為A且以固定的角速且以固定的角速 度旋轉(zhuǎn)的向量來(lái)表示度旋轉(zhuǎn)的向量來(lái)表示 求兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的和求兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的和 方法方法1： 三角函數(shù)法三角函數(shù)法 方法方法2：矢量運(yùn)算法：矢量運(yùn)算法 根據(jù)矢量加法的幾何表示可求得合矢量為：根據(jù)矢量加法的幾何表示可求得合矢量為： 方法方法3：復(fù)數(shù)方法：復(fù)數(shù)方法 分別表示為復(fù)數(shù)形式后再按復(fù)數(shù)的分別

2、表示為復(fù)數(shù)形式后再按復(fù)數(shù)的 加減法規(guī)則：加減法規(guī)則： Mass - m Stiffness - k 不論采用什么方法，單自由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程最終可以不論采用什么方法，單自由系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程最終可以 歸結(jié)為一個(gè)二階常微分方程組歸結(jié)為一個(gè)二階常微分方程組 0mxkx Not driven by external force ( )estx tcLetthen 2est xcs 代入方程，可以得到 2 0msk 1,2n si 且：/ n k m 固有圓頻率固有圓頻率 所以，解的一般形式可以寫(xiě)成 12 ( ) s ts t x tAeBe ( ) nn itit x tAeBe 12 ( )sin()c

3、os() nn x tctct (1) 單自由系統(tǒng)的解單自由系統(tǒng)的解 特征值特征值特征方程特征方程 求求 c1 和和 c2 c1 和 c2 是和初值相關(guān)的常數(shù)，可有x(0) and 得到 (0) x 12 ( )cos()sin() nnnn x tctct 12 ( )sin()cos() nn x tctct 2 (0)xc 1 (0) n xc 2 (0)cx 1 (0) n x c (0) ( )sin()(0)cos() nn n x x ttxt 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) (0) ( )sin()(0)cos() nn n x x ttxt 22 (0)( (0)/) n Rxx (0)

4、arctan (0)0 (0) (0) +arctan (0)0 (0) n n x x x x x x ( )cos() n x tRt with and 簡(jiǎn)諧振子簡(jiǎn)諧振子 x t o (0)x R n n 2/ nn (2) 固有頻率的討論固有頻率的討論 ,/ / nst kkgg W k mmgW k n st g 固有頻率固有頻率 1 2 n st g f 1 2 st n n T fg 固有周期固有周期 固有圓頻率固有圓頻率 速度、加速度速度、加速度 通過(guò)簡(jiǎn)單的微分關(guān)系，可以從振動(dòng)位移通過(guò)簡(jiǎn)單的微分關(guān)系，可以從振動(dòng)位移 求得振動(dòng)速度及加速度求得振動(dòng)速度及加速度 ( )sin() nn

5、 v tRt 2 ( )cos() nn a tRt Position, velocity and acceleration of a harmonic oscillator ( )cos() n x tRt Position, velocity and acceleration of a SHM as phasors 能量關(guān)系能量關(guān)系 l系統(tǒng)的 動(dòng)能動(dòng)能 T 隨時(shí)間的變化規(guī)律可寫(xiě)為 222222 111 ( )( )sin ()sin () 222 nnn T tmv tmRtkRt l系統(tǒng)的 勢(shì)能勢(shì)能 U 隨時(shí)間的變化規(guī)律可寫(xiě)為 222 11 ( )( )cos () 22 n U tkx

6、tkRt l系統(tǒng)的總能量總能量可以寫(xiě)為 2 22 11(0) ( )( )( )(0) 22 n x E tT tU tkRkxk 22 1 (0)(0)(0)(0) 2 kxmxUT 自由振動(dòng)的特點(diǎn)自由振動(dòng)的特點(diǎn) 黏性阻尼系統(tǒng)的解黏性阻尼系統(tǒng)的解 令得到特征方程 兩個(gè)特征根 對(duì)應(yīng)的解 解的一般形式 臨界阻尼與阻尼比臨界阻尼與阻尼比 當(dāng)阻尼滿(mǎn)足 ，稱(chēng)為系統(tǒng)的臨界阻尼臨界阻尼 無(wú)量綱量稱(chēng)為阻尼比阻尼比，此時(shí)有： 解的一般形式 （量綱：牛頓秒/米 ） c c 欠阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng) 當(dāng)系統(tǒng)的阻尼小于其臨界阻尼，稱(chēng)為欠阻尼系統(tǒng)欠阻尼系統(tǒng)。即： 為負(fù)數(shù) 通解可寫(xiě)成 初始條件初始條件 為任意常數(shù) 給定初始

7、條件可求得 解的具體形式為 常數(shù)可寫(xiě)為 （圖中 ） 欠阻尼系統(tǒng)的時(shí)域曲線欠阻尼系統(tǒng)的時(shí)域曲線 即為阻尼振動(dòng)的角頻率阻尼振動(dòng)的角頻率 1 ?X 阻尼增大頻率阻尼增大頻率 變??！變??！ 根據(jù)初始條件 有： 臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng) 臨界阻尼系統(tǒng)的兩個(gè)根相等，即： 通解為 此時(shí)，稱(chēng)為臨界阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng) （ ） 過(guò)阻尼系統(tǒng)過(guò)阻尼系統(tǒng) 稱(chēng)為過(guò)阻尼系統(tǒng)過(guò)阻尼系統(tǒng)。其兩個(gè)實(shí)根 通解為 當(dāng) 由初始條件可得： 不同阻尼系統(tǒng)響應(yīng)不同阻尼系統(tǒng)響應(yīng) 臨界阻尼是使系統(tǒng)作非周期運(yùn)動(dòng)的最小阻尼！ 根軌跡根軌跡 （反映了特征方程的根隨阻尼變化的規(guī)律） 相軌跡相軌跡 對(duì)數(shù)衰減系數(shù)對(duì)數(shù)衰減系數(shù) 定義：任意兩個(gè)相鄰的振幅之比

8、的自然對(duì)數(shù)任意兩個(gè)相鄰的振幅之比的自然對(duì)數(shù) 定義 t1和 t2 為兩個(gè)連續(xù)的振幅相對(duì)應(yīng)的時(shí)間，則有 則有 因?yàn)?所以 令 稱(chēng)為稱(chēng)為“對(duì)數(shù)衰減系數(shù)對(duì)數(shù)衰減系數(shù)”或或“對(duì)數(shù)衰減率對(duì)數(shù)衰減率” 小阻尼情形有 對(duì)數(shù)衰減率與阻尼比之間的相互關(guān)系為 對(duì)數(shù)衰減率與阻尼比對(duì)數(shù)衰減率與阻尼比 （用于實(shí)驗(yàn)測(cè)試阻尼） 也可通過(guò)任意m個(gè)整數(shù)周期的位移來(lái)求得 ， 則有： 當(dāng) ， 二、有阻尼情形二、有阻尼情形 運(yùn)動(dòng)方程一般形式運(yùn)動(dòng)方程一般形式 假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動(dòng)方程得假設(shè)穩(wěn)態(tài)解形式并代入運(yùn)動(dòng)方程得 用三角函數(shù)公式展開(kāi)用三角函數(shù)公式展開(kāi) 令兩邊同諧波項(xiàng)相等令兩邊同諧波項(xiàng)相等 幅頻特性幅頻特性 相頻特性相頻特性 穩(wěn)態(tài)穩(wěn)

9、態(tài) 和瞬和瞬 態(tài)問(wèn)態(tài)問(wèn) 題！題！ 全解！全解！ 無(wú)量綱化無(wú)量綱化 振幅放大系數(shù)（幅值比）振幅放大系數(shù)（幅值比） 式中： 卷積積分卷積積分 非周期變化的激振力大小是隨著時(shí)間變換的，最簡(jiǎn)單的非周非周期變化的激振力大小是隨著時(shí)間變換的，最簡(jiǎn)單的非周 期激振力即為沖擊力期激振力即為沖擊力-幅值大但作用時(shí)間短幅值大但作用時(shí)間短 當(dāng)沖擊力很短時(shí)，則可根據(jù)沖量定理當(dāng)沖擊力很短時(shí)，則可根據(jù)沖量定理 更一般的沖量表達(dá)形式為更一般的沖量表達(dá)形式為 則單位沖量則單位沖量 定義為定義為 沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng)沖量作用下的單自由度系統(tǒng)響應(yīng) 考慮具有粘性阻尼的彈簧考慮具有粘性阻尼的彈簧 - 質(zhì)量系統(tǒng)在質(zhì)量系統(tǒng)在 t

10、 = 0 時(shí)受到一個(gè)單位沖量作用時(shí)受到一個(gè)單位沖量作用: 對(duì)沖量的響應(yīng)對(duì)沖量的響應(yīng) 對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為對(duì)于欠阻尼系統(tǒng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為 其中其中 對(duì)沖量的響應(yīng)對(duì)沖量的響應(yīng) 如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即如果質(zhì)量塊在沖量作用之前靜止，即 則系統(tǒng)的初始條件變?yōu)閯t系統(tǒng)的初始條件變?yōu)?系統(tǒng)的響應(yīng)為系統(tǒng)的響應(yīng)為 我們有我們有: 稱(chēng)為稱(chēng)為 單位脈沖響應(yīng)函數(shù)單位脈沖響應(yīng)函數(shù) 對(duì)沖量的響應(yīng)對(duì)沖量的響應(yīng) 如果沖量的大小是如果沖量的大小是 而不是而不是1，那么初始速度，那么初始速度 變?yōu)樽優(yōu)?此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)成為此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)成為 沖量及響應(yīng)如右圖所示。沖量及響應(yīng)如右圖

11、所示。 如果沖量如果沖量 是作用在任意時(shí)刻是作用在任意時(shí)刻 處，處， 則該時(shí)刻速度變化為則該時(shí)刻速度變化為 。假設(shè)沖量。假設(shè)沖量 作用前作用前 ，則系統(tǒng)響應(yīng)為，則系統(tǒng)響應(yīng)為 脈沖發(fā)生的時(shí)刻脈沖發(fā)生的時(shí)刻 對(duì)任意外力的作用，可將任意力看成對(duì)任意外力的作用，可將任意力看成 是一系列大小變化的沖量組成的。是一系列大小變化的沖量組成的。 對(duì)一般力的響應(yīng)對(duì)一般力的響應(yīng) 假設(shè)在假設(shè)在 時(shí)刻，力時(shí)刻，力 在很短的在很短的 時(shí)間時(shí)間 作用在系統(tǒng)上，則在這一時(shí)刻作用在系統(tǒng)上，則在這一時(shí)刻 的沖量就是的沖量就是 ，對(duì)于任意時(shí)刻，對(duì)于任意時(shí)刻 ， 沖量發(fā)生的時(shí)間為沖量發(fā)生的時(shí)間為 ，則該沖量在，則該沖量在 時(shí)刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為時(shí)刻引起的系統(tǒng)的響應(yīng)為: 則系統(tǒng)在則系統(tǒng)在 t 時(shí)刻的總響應(yīng)等于之前所有時(shí)刻的微沖量引起的時(shí)刻的總響應(yīng)等于之前所有時(shí)刻的微沖量引