高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3.2 函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）1-1

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精33。2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)提出問(wèn)題如圖是函數(shù)yf（x)的圖象問(wèn)題1:yf(x)在xa處的導(dǎo)數(shù)f(a)等于多少？提示：f(a）0.問(wèn)題2:當(dāng)xa時(shí),f(x)取最大值嗎？提示:不是，但f（a）比xa附近的函數(shù)值都大問(wèn)題3：在xa附近兩側(cè)導(dǎo)數(shù)f(x)的符號(hào)有什么特點(diǎn)？提示：在xa附近左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0。問(wèn)題4:當(dāng)xd時(shí)，請(qǐng)回答以上問(wèn)題提示：f（d)0；不是，但f（d)比xd附近的函數(shù)值都??；在xd附近左側(cè)f（x)0，右側(cè)f（x）0。導(dǎo)入新知1極值點(diǎn)與極值(1）極小值點(diǎn)與極小值若函數(shù)yf（x）在點(diǎn)xa的函數(shù)值f（a）比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0，而

2、且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f（x）0，右側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0，那么f（x0）是極大值;(2）如果在x0附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f（x）0,那么f（x0）是極小值化解疑難1對(duì)極值概念的理解（1）函數(shù)的極值是一個(gè)局部概念,是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近的函數(shù)值比較是最大的或是最小的（2)在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)極大值或極小值并不唯一，也可能極值不存在,并且極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系2極值與極值點(diǎn)辨析（1)函數(shù)的極值點(diǎn)是指函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而不是點(diǎn)；極值是函數(shù)在極值點(diǎn)處取得的函數(shù)值，即函數(shù)取得極值時(shí)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)(2）極值點(diǎn)一定在區(qū)間的內(nèi)部，端點(diǎn)不可能為極值點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值例1求

3、下列函數(shù)的極值：（1）f(x）x3x23x3；(2）f(x）.解（1）f（x)x22x3。令f(x）0,得x13，x21。當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x）的變化情況如下表：x(，1）1(1,3)3（3，）f(x）00f（x)單調(diào)遞增單調(diào)遞減6單調(diào)遞增故當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極大值，且極大值為f（1）;當(dāng)x3時(shí)，函數(shù)取得極小值，且極小值為f(3)6。(2）函數(shù)f(x）的定義域?yàn)?0，），且f（x）.令f（x）0,得xe.當(dāng)x變化時(shí)，f(x）,f(x）的變化情況如下表：x(0，e)e(e，）f（x）0f（x）單調(diào)遞增單調(diào)遞減故當(dāng)xe時(shí),函數(shù)取得極大值，且極大值為f(e）。無(wú)極小值類題通法(1)求函數(shù)極值

4、的步驟:求方程f(x）0在函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；用f（x)0的根將定義域分成若干小區(qū)間,列表；由f（x)在各個(gè)小區(qū)間內(nèi)的符號(hào),判斷f(x）0的根處的極值情況(2)表格給出了當(dāng)x變化時(shí)y,y的變化情況,表格直觀清楚，容易看出具體的變化情況，并且能判斷出是極大值還是極小值，最后得出函數(shù)的極大值、極小值活學(xué)活用求下列函數(shù)的極值：(1）f（x)x312x6；（2）f（x)2.解：(1)f(x)3x2123(x2)(x2)令f(x）0，解得x12,x22。當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f（x）的變化情況如下表:x(,2）2（2,2)2(2，)f(x）00f（x）單調(diào)遞減10單調(diào)遞增22單調(diào)遞減當(dāng)x2時(shí)，f（x)

5、有極小值，并且極小值為f（2)10；當(dāng)x2時(shí)，f（x)有極大值，并且極大值為f（2）22。（2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞。f(x）.令f(x）0，得x1或x1。當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x）的變化情況如下表：x(，1)1（1，1)1(1，)f(x)00f（x）單調(diào)遞減3單調(diào)遞增1單調(diào)遞減由上表可以看出，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取極小值3；當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取極大值1.已知函數(shù)極值求參數(shù)例2已知函數(shù)f（x)x33ax22bx在點(diǎn)x1處的極小值為1,試確定a，b的值，并求f(x)的單調(diào)區(qū)間解由已知f(x）3x26ax2b，f（1)36a2b0.又f(1)13a2b1，由解得a，b,f（x)x3x2x。由此得f(

6、x）3x22x1（3x1）（x1)，令f(x）0，得x或x1；令f（x)0,得x1，f(x）在x1的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x）0，即f(x)在x1處取得極小值，故a，b，且f（x)x3x2x。它的單調(diào)遞增區(qū)間是和(1，)；單調(diào)遞減區(qū)間是。類題通法已知函數(shù)極值,確定函數(shù)的解析式中的參數(shù)時(shí)，注意以下兩點(diǎn):(1)根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個(gè)條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解(2)因?yàn)閷?dǎo)數(shù)值等于零不是此點(diǎn)為極值點(diǎn)的充要條件,所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗(yàn)證充分性活學(xué)活用已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc，且當(dāng)x1時(shí)取得極大值7，當(dāng)x3時(shí)取得極小值，試求函數(shù)f（x）的極小值，并求a，b，c的值解:f（

7、x)x3ax2bxc,f(x)3x22axb.x1時(shí)函數(shù)取得極大值，x3時(shí)函數(shù)取得極小值，1，3是方程f（x)0的根,即為方程3x22axb0的兩根故解得f（x)x33x29xc。x1時(shí)取得極大值7，(1）33(1)29（1）c7.c2。函數(shù)f(x）的極小值為f(3)3333293225.函數(shù)極值的綜合應(yīng)用例3已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)x33xa.(1）求函數(shù)f(x)的極值，并畫出其圖象(草圖）；（2）當(dāng)a為何值時(shí)，方程f（x）0恰好有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？解（1)由f（x）x33xa,得f（x)3x23，令f(x）0,得x1或x1。當(dāng)x(，1)時(shí),f(x)0；當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x（1,）

8、時(shí),f(x）1m.當(dāng)x變化時(shí)，f(x），f（x)的變化情況如下表：x(，1m）1m(1m,1m)1m（1m，）f（x)00f(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以函數(shù)f（x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（，1m）和(1m，)，單調(diào)遞增區(qū)間為（1m,1m)函數(shù)f（x）在x1m處取得極小值f（1m）m3m2;函數(shù)f(x）在x1m處取得極大值f(1m)m3m2.隨堂即時(shí)演練1下列四個(gè)函數(shù)中,能在x0處取得極值的是()yx3;yx21；ycos x1；y2xabc d解析：選b為單調(diào)函數(shù)，不存在極值2已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋╝,b),導(dǎo)函數(shù)f(x）在（a，b)上的圖象如圖所示,則函數(shù)f（x)在（a，b

9、)上的極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（)a1b2 c3d4解析：選b由函數(shù)極值的定義和導(dǎo)函數(shù)的圖象可知，f(x)在（a，b）上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4，但是在原點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)值恒大于零，故x0不是函數(shù)f（x)的極值點(diǎn)，其余的3個(gè)交點(diǎn)都是極值點(diǎn)，其中有2個(gè)點(diǎn)滿足其附近的導(dǎo)數(shù)值左正右負(fù)，故極大值點(diǎn)有2個(gè)3函數(shù)y3x39x5的極大值為_解析：y9x29.令y0,得x1。當(dāng)x變化時(shí),y，y的變化情況如下表：x(，1）1(1,1)1(1，）y00y單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增從上表可以看出,當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y有極大值3(1）39(1)511.答案:114已知函數(shù)f(x)x3ax23x9，若f(x）在x3時(shí)取得極值,則

10、a_。解析:f（x）3x22ax3,由題意知3是3x22ax30的根，解3(3)22a（3)30，得a5，經(jīng)檢驗(yàn)a5時(shí)符合題意答案:55求下列函數(shù)的極值:（1）f(x)x312x；(2）f(x)sin xx，x（0,2)解：（1)函數(shù)的定義域?yàn)閞，f(x）3x2123(x2)(x2），令f(x）0，得x2或x2。當(dāng)x變化時(shí)，f（x)，f（x）的變化情況如下表：x（，2)2(2,2）2（2，）f(x）00f(x)單調(diào)遞增16單調(diào)遞減16單調(diào)遞增從表中可以看出，當(dāng)x2時(shí),函數(shù)有極大值f(2)16；當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)有極小值f(2）16。（2）f（x)cos x，令f（x）cos x0，得cos x。又

11、x（0，2），x或x。當(dāng)x變化時(shí)，f(x）,f(x）的變化情況如下表：xf(x）00f（x）單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞增當(dāng)x時(shí)，f(x）取極大值;當(dāng)x時(shí)，f(x)取極小值。課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1函數(shù)f（x）2x2x3的極值情況是()a有極大值，沒(méi)有極小值b有極小值,沒(méi)有極大值c既無(wú)極大值也無(wú)極小值d既有極大值又有極小值解析：選df(x）2x3x2,令f(x）0有x0或x.當(dāng)x時(shí)，f(x)0；當(dāng)x0時(shí)，f（x）0;當(dāng)x0時(shí),f（x)0。從而在x0時(shí),f(x）取得極大值，在x時(shí)，f（x)取得極小值2函數(shù)f（x）ax3bx在x1處有極值2，則a，b的值分別為()a1，3b1,3c1,3 d1，3解析：

12、選af（x)3ax2b,由題意知f(1)0，f(1)2，a1，b3。3設(shè)函數(shù)f（x）xex，則(）ax1為f(x）的極大值點(diǎn)bx1為f(x)的極小值點(diǎn)cx1為f(x)的極大值點(diǎn)dx1為f(x）的極小值點(diǎn)解析：選d求導(dǎo)得f（x）exxexex(x1），令f(x）ex(x1）0，解得x1。易知x1是函數(shù)f（x）的極小值點(diǎn)4已知f（x)x3ax2(a6）x1有極大值和極小值,則a的取值范圍為（）a(1，2）b(3,6)c（，1)(2,)d(，3)（6，)解析：選df（x）3x22ax（a6)，因?yàn)閒（x)既有極大值又有極小值，那么（2a）243(a6)0，解得a6或a3.5對(duì)于函數(shù)f（x)x33x2，給出命題：f(x)是增函數(shù)，無(wú)極值；f(x）是減函數(shù)，無(wú)極值;f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，0），(2，)，單調(diào)遞減區(qū)間為（0,2）；f(0)0是極大值，f（2)4是極小值其中正確的命題有()a1個(gè)b2個(gè)c3個(gè) d4個(gè)解析：選bf(x）3x26x.令f（x）3x26x0，得x