普通光纖基礎(chǔ)理論5

1、3.3 截止條件截止條件 以上所討論的各種模式僅是光波導(dǎo)中可能以上所討論的各種模式僅是光波導(dǎo)中可能 存在的模式，某一模式是否實際存在于光波導(dǎo)存在的模式，某一模式是否實際存在于光波導(dǎo) 中，則要根據(jù)它所特有的截止條件來判斷。對中，則要根據(jù)它所特有的截止條件來判斷。對 于于結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)一定的一定的(即即n1、n2及及a值值一定一定)光波導(dǎo)，光波導(dǎo)， 每一可能存在的模式都有自己的截止條件。每一可能存在的模式都有自己的截止條件。 傳輸模傳輸模:從式從式(77)可知，當(dāng)可知，當(dāng)x2r=時，時， km(x2r)exp(-x2r)。如果。如果x20是實數(shù)，是實數(shù)， 表明表明包層中的場隨包層中的場隨r增大而單調(diào)地減

2、小。增大而單調(diào)地減小。 截止條件截止條件:如果當(dāng)如果當(dāng)x20時，包層中的時，包層中的 場不再單調(diào)減小，表明它不再是傳輸模，即傳場不再單調(diào)減小，表明它不再是傳輸模，即傳 輸模被截止輸模被截止。這樣，在色散關(guān)系式中令。這樣，在色散關(guān)系式中令x2=0 即可求得其截止條件。即可求得其截止條件。 對對TE0n模或?；騎M0n模，因為模，因為m=0，所以式，所以式 (87)變成變成: (94) 對對TE0n模模: 22 0000 12 0000 ()()()() 0 ()()()() JUKUJUKU kk UJ UWK UUJ UWK U (95) 對對TM0n模模: (96) 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)W0時，

3、式時，式(95)和式和式(96)都都 要求要求J0(U)=0，這就是，這就是TE0n和和TM0n模的截止模的截止 條件。條件。因為因為J0(U)是個振蕩函數(shù)，它有許多根是個振蕩函數(shù)，它有許多根 00 00 ()() 0 ()() JUKU UJ UWK U 2 001 2 200 ( )( ) 0 ( )( ) JUKUk k UJ UWK U n=1時時U01=2.41，當(dāng)纖芯半徑，當(dāng)纖芯半徑a的值使的值使 U012.41時，時，TE0n模和模和TM0n模就截止模就截止 而不復(fù)存在了。而不復(fù)存在了。 n=2時，時，U02 =5.52，當(dāng)，當(dāng)a值使值使U015.52 時，時， TE0n模和模和

4、TM0n模就截止而不復(fù)存在。模就截止而不復(fù)存在。 對對HEmn和和EHmn模，因為模，因為m0，所以情，所以情 況要復(fù)雜得多。故略去繁瑣的數(shù)學(xué)運算，只給況要復(fù)雜得多。故略去繁瑣的數(shù)學(xué)運算，只給 出如下結(jié)論。出如下結(jié)論。 HE1n模模:J1(U)=0，當(dāng)，當(dāng)n=1時，時，U11=0， 說明它沒有截止限制，所以稱說明它沒有截止限制，所以稱HE11模為光波模為光波 導(dǎo)中的優(yōu)勢模導(dǎo)中的優(yōu)勢模(即該?？偸谴嬖诩丛撃？偸谴嬖?。 HEmn(m2)模模 (97) 這時模式截止條件與折射率這時模式截止條件與折射率n1，n2值有關(guān)。利值有關(guān)。利 用公式用公式 可將可將(97)式化簡為式化簡為 。當(dāng)。當(dāng) 2 1

5、1 2 ()1()() 1 mm nU JUJU nm 1 2 (1)()1 ()() 2 m mm mJU JUJU U 22 221 22 21 ( ) ( ) m m JUnn JUnn n1n2時，即纖芯和包層折射率差很小時，即時，即纖芯和包層折射率差很小時，即 得到得到Jm-2(U)=0。 對對EHmn模模(m1)，Jm(U)=0但但U0， 這里這里U0表示表示m=1時時Jm(U)=0的第一個根要的第一個根要 從從U0的根算起。如的根算起。如 EH11模模: U11=3.83,當(dāng)纖芯半徑當(dāng)纖芯半徑a值使值使 U113.83時時EH11模就截止而不能存在了。模就截止而不能存在了。 幾個

6、低階模的截止條件列于表幾個低階模的截止條件列于表1。 現(xiàn)進(jìn)一步討論上述截止條件的物理意義。現(xiàn)進(jìn)一步討論上述截止條件的物理意義。 從式從式(78)可求得可求得: 表1 低階模的截止條件 (98) n m 12345模式模式 02.4055.5208.65411.79214.931TE.TM 103.8327.01610.17313.324HE 13.8327.01610.17313.32416.471EH 25.1368.41711.62014.79617.960EH 36.3809.76113.01516.22319.409EH 47.58811.06514.70017.61620.827EH

7、 2 2222 2121 2 ()xnnx c 式中，式中，是光波頻率，是光波頻率，c是光速。是光速。 截止頻率截止頻率:當(dāng)當(dāng)x22=0時，令時，令=c。 因為因為x1=Umn/a，所以，所以: (99) 該式說明了截止頻率與光波導(dǎo)參量之間的關(guān)系該式說明了截止頻率與光波導(dǎo)參量之間的關(guān)系 。在纖芯半徑。在纖芯半徑a，纖芯與包層的折射率，纖芯與包層的折射率n1和和n2 一定時，一定時，如果光波頻率如果光波頻率c，則相應(yīng)的模式，則相應(yīng)的模式 就不能在波導(dǎo)中傳播。就不能在波導(dǎo)中傳播。 對對TE01(或或TM01)模模: 22 12 mn c Uc a nn 對對HE11模，模，c=0此式表明此式表明H

8、E11模沒有截止模沒有截止 頻率。因此頻率。因此HE11模模是光纖波導(dǎo)中的是光纖波導(dǎo)中的優(yōu)勢模優(yōu)勢模， 稱為稱為基?；?。它的。它的單模工作頻率范圍單模工作頻率范圍是是: (100) 上式可改寫為上式可改寫為: 22 12 2.41 c c a nn 22 12 2.41 0 c a nn 22 12 02.41 a nn c 歸一化頻率參量歸一化頻率參量(V) (101) 單模光纖波導(dǎo)單模光纖波導(dǎo):當(dāng)當(dāng)V2.41時其它高階模就出時其它高階模就出 現(xiàn)，現(xiàn)，V值愈大，出現(xiàn)的模式就愈多，值愈大，出現(xiàn)的模式就愈多， 對式對式 (87)求解，可得到各模式傳播常求解，可得到各模式傳播常 數(shù)數(shù)與歸一化頻率

9、參量與歸一化頻率參量V的關(guān)系曲線，如圖的關(guān)系曲線，如圖 22 12 a Vnn c 16所示。圖中曲線明顯反映出，隨著所示。圖中曲線明顯反映出，隨著V值增值增 大傳輸模式不斷增多的情況。大傳輸模式不斷增多的情況。 圖16 歸一化傳播常數(shù)/k與參量V的關(guān)系曲線 4 階躍光纖的標(biāo)量近似階躍光纖的標(biāo)量近似 在分析光纖時，一般采用的近似方法之一在分析光纖時，一般采用的近似方法之一 為為標(biāo)量近似法標(biāo)量近似法: 階躍光纖里的橫向電場階躍光纖里的橫向電場( ， )或橫向磁或橫向磁 場場( ， )的幅度滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程的幅度滿足標(biāo)量亥姆霍茲方程。 (實際上，已知只有直角坐標(biāo)系里各分量或?qū)嶋H上，已知只有直角

10、坐標(biāo)系里各分量或 圓柱坐標(biāo)系里的圓柱坐標(biāo)系里的Ez、Hz分量才嚴(yán)格滿足亥姆分量才嚴(yán)格滿足亥姆 霍茲方程霍茲方程。) 現(xiàn)在假設(shè)現(xiàn)在假設(shè) ， 能夠滿足，就是假設(shè)它們能夠滿足，就是假設(shè)它們 的分布彼此相同，相對關(guān)系到處不變，的分布彼此相同，相對關(guān)系到處不變，橫向橫向 電場的極化電場的極化(偏振偏振)方向到處相同方向到處相同(即偏振方即偏振方 向不變向不變)。 r EE r H H r EE 這種近似在這種近似在弱傳導(dǎo)弱傳導(dǎo)的情況下，即相對折射的情況下，即相對折射 率差很小率差很小 (102) 以及入射角很小以及入射角很小(即與光纖軸平行即與光纖軸平行)的光纖里，的光纖里， 傳導(dǎo)模的一般理論將大大簡化

11、傳導(dǎo)模的一般理論將大大簡化(弱導(dǎo)情況弱導(dǎo)情況:纖纖 芯中電磁波幾乎是橫波芯中電磁波幾乎是橫波Ez=Hz=0；可不考可不考 慮介質(zhì)分界面對電磁波偏振態(tài)的影響慮介質(zhì)分界面對電磁波偏振態(tài)的影響)，并能，并能 得到好的計算精度。得到好的計算精度。 一般模式理論一般模式理論: 22 1212 2 11 1 2 nnnn nn Ez、Hz嚴(yán)格滿足亥姆霍茲方程。嚴(yán)格滿足亥姆霍茲方程。 標(biāo)量近似標(biāo)量近似( ): 也滿足亥姆霍茲方程，也滿足亥姆霍茲方程，橫向橫向 分布彼此相同，相對關(guān)系到處不變，極化分量分布彼此相同，相對關(guān)系到處不變，極化分量 方向相同。方向相同。 在在弱傳導(dǎo)近似下弱傳導(dǎo)近似下，普通光纖的數(shù)值孔

12、徑可，普通光纖的數(shù)值孔徑可 以近似表示成以近似表示成: (103) 光纖的歸一化頻率是光纖的歸一化頻率是: zzrr EHEHEH 規(guī)則波導(dǎo)理論 ， 1 rr EHEH ， 1 2 1 . .(2 )N An (104) 式中的式中的a是是纖芯半徑纖芯半徑，k0為為自由空間的波數(shù)自由空間的波數(shù)。 這時纖芯和包層交界處的邊界條件是在兩這時纖芯和包層交界處的邊界條件是在兩 種介質(zhì)的交界處，種介質(zhì)的交界處，標(biāo)量本身連續(xù)，標(biāo)量在與邊標(biāo)量本身連續(xù)，標(biāo)量在與邊 界正交的方向上界正交的方向上(即法線上即法線上)的變化率連續(xù)；的變化率連續(xù)；就就 是橫向場的幅度和它的幅度沿是橫向場的幅度和它的幅度沿r方向上的變

13、化方向上的變化 (即即 )連續(xù)。連續(xù)。 1 22222 2 12010 ()(2 )VUWannkn k a / r 近似方程可使許多重要問題如近似方程可使許多重要問題如: 1.模式的傳輸系數(shù)、模式的傳輸系數(shù)、 2.截止條件、截止條件、 3.單模傳輸條件、單模傳輸條件、 4.多模傳輸時模式數(shù)量、多模傳輸時模式數(shù)量、 5.各模式在纖芯、包層的功率及交界面的功率各模式在纖芯、包層的功率及交界面的功率 密度密度 等等，得到簡便的計算公式，這是近似方法的等等，得到簡便的計算公式，這是近似方法的 優(yōu)點。優(yōu)點。 4.1 波動方程的解及特征方程波動方程的解及特征方程 設(shè)階躍光纖中傳播一平面電磁波，傳播方設(shè)階

14、躍光纖中傳播一平面電磁波，傳播方 向與光纖軸線向與光纖軸線(即即z軸軸)方向一致，記為方向一致，記為: (105) 式中，式中，為角頻率，為角頻率，為傳播常數(shù)，為傳播常數(shù)， 為橫向場。為橫向場。 根據(jù)標(biāo)量近似法的假定，根據(jù)標(biāo)量近似法的假定， 滿足滿足 標(biāo)量亥姆霍茲波動方程式標(biāo)量亥姆霍茲波動方程式(60)，式，式(60) 的圓柱坐標(biāo)系表示為的圓柱坐標(biāo)系表示為: () 0 ()() jTz rzre ， ， 0 ()r， 0( )r， (106) 根據(jù)根據(jù)分離變量法分離變量法，設(shè)上式的解為，設(shè)上式的解為: (107) 將式將式(107)代入式代入式(106)，得，得: (108) (109) 2

15、22 00 0 22 11 ()()0rk r rrr 0( )( )( )rR r， 22 22 22 1 ()0 RRm kR rrrr 2 2 2 0m 2 m 式式(109)的解為的解為: (110) 式式(110)為為橢圓極化橢圓極化(偏振偏振)波波，也可取線極，也可取線極 化波化波 或或 來表示。來表示。 式式(108)在纖芯是一個在纖芯是一個m階的貝塞爾函階的貝塞爾函 數(shù)數(shù)，以，以Jm(Ur/a)表示，對于包層，考慮到橫表示，對于包層，考慮到橫 向場是由界面起，沿徑向按指數(shù)函數(shù)衰減的，向場是由界面起，沿徑向按指數(shù)函數(shù)衰減的， 應(yīng)取修正的漢克爾函數(shù)，以應(yīng)取修正的漢克爾函數(shù)，以Km(

16、Ur/a) 表示。表示。 由式由式(105)的標(biāo)量解表示為的標(biāo)量解表示為: ( ) jm e cosmsinm (111) (112) 應(yīng)用邊界條件即可導(dǎo)出特征方程，階躍光應(yīng)用邊界條件即可導(dǎo)出特征方程，階躍光 纖的邊界條件是在纖的邊界條件是在r=a處，橫向場幅度處，橫向場幅度本身本身 和沿邊界的法線上的和沿邊界的法線上的變化率變化率 連續(xù)連續(xù)。由。由 式式(111)、(112)有有: (113) () ()() jtz m m Ur rzJera a ， ， () ()() jtz m m Wr rzAKera a ， ， / r ( )() mm JUAKW (114) 由貝塞爾函數(shù)的遞推公

17、式由貝塞爾函數(shù)的遞推公式: (115) (116) (117) 式式(117)是階躍光纖波導(dǎo)的一種特征方程。是階躍光纖波導(dǎo)的一種特征方程。 這是一個超越方程，由它可以求解這是一個超越方程，由它可以求解U或或W， 進(jìn)而可定出常數(shù)進(jìn)而可定出常數(shù)A。 ( )() mm UJUWAKW 1 ( )( )( ) mmm UJUmJUUJU 1 ( )( )() mmm mKUWKUWKW 11 ()() ()() mm mm UJUWKW JUKW 4.2 截止條件和傳輸模截止條件和傳輸模 由修正的漢克爾函數(shù)性能可知，當(dāng)由修正的漢克爾函數(shù)性能可知，當(dāng)W0 時，時，Km(Wr/a)將很快衰減到零，適合于描

18、述將很快衰減到零，適合于描述 階躍光纖包層中光的傳輸。這樣射入光纖的光階躍光纖包層中光的傳輸。這樣射入光纖的光 將局限于纖芯中傳播。將局限于纖芯中傳播。 截止條件截止條件:W=0表示截止的入射角等于全反表示截止的入射角等于全反 射臨界條件射臨界條件(從幾何光學(xué)的觀點看，截止的從幾何光學(xué)的觀點看，截止的 臨界狀態(tài)即為入射光波的入射角等于全反射臨界狀態(tài)即為入射光波的入射角等于全反射 臨界角的情況臨界角的情況)。 當(dāng)當(dāng)W=0時，由式時，由式(117)得得: (118) 例如例如:當(dāng)當(dāng)m=0時，便有時，便有J-1(U)=0，其根，其根 為為U=0，3.832，7.046，10.173，13.324 ，

19、16.470即當(dāng)即當(dāng)U等于上列值時，導(dǎo)模等于上列值時，導(dǎo)模(正規(guī)正規(guī) 模模)將截止。將截止。 對應(yīng)于這一系列截止時的對應(yīng)于這一系列截止時的U值，是一組標(biāo)值，是一組標(biāo) 量模式，用量模式，用0l表示。表示。第一個角標(biāo)第一個角標(biāo)“0”代表代表m =0；第二個角標(biāo)代表第幾根，用；第二個角標(biāo)代表第幾根，用l表示表示，如，如 00、 01、 02、。 00是主模，它的截止值為是主模，它的截止值為U=0。考慮到?？紤]到 1( ) 0 m JU W=0，則歸一化頻率，則歸一化頻率: 即即: (119) 當(dāng)當(dāng) 時，式時，式(119)成立，這表明成立，這表明00模模 沒有低頻截止，任何頻率都可以傳輸沒有低頻截止，

20、任何頻率都可以傳輸。 當(dāng)當(dāng)m=1時，時，J0(U)=0，其根的系列值為，其根的系列值為: U=2.405，5.520，8.654，11.792， 14.931， 2222222 012 ()0VUWa knn 0 2 0k 對應(yīng)的標(biāo)量模式為對應(yīng)的標(biāo)量模式為1l模。模。 當(dāng)當(dāng)m=2時，有時，有J1(U)=0，其根系列值為，其根系列值為: U=3.882，7.016，10.173，13.324 ，16.470， 當(dāng)當(dāng)U等于上列值時，導(dǎo)波截止等于上列值時，導(dǎo)波截止(注意不要注意不要 取取U=0的根的根)。對應(yīng)的模式為。對應(yīng)的模式為2l模。模。 線極化波線極化波:即波的極化不隨時間變化的波型。即波的極

21、化不隨時間變化的波型。 許多地方采用許多地方采用LPmn來表示上述波型，來表示上述波型，LP為為 Linearly Polarized的英文縮寫，的英文縮寫， 一般的波型屬于這一類，角標(biāo)一般的波型屬于這一類，角標(biāo)n=l+1。m， n，l為正整數(shù)，為正整數(shù)，LP01對應(yīng)對應(yīng)00， LP02對應(yīng)對應(yīng)01， LP11對應(yīng)對應(yīng)10，。 4.3 標(biāo)量模與精細(xì)模的比較標(biāo)量模與精細(xì)模的比較 用標(biāo)量近似法解得的模式是用標(biāo)量近似法解得的模式是簡并模簡并模。這是。這是 因為分析時假設(shè)因為分析時假設(shè) 同同 一樣都滿足標(biāo)量一樣都滿足標(biāo)量 亥姆霍茲方程，亥姆霍茲方程，由于這種近似將本來分離的精由于這種近似將本來分離的精

22、 簡模式簡并起來了簡模式簡并起來了。實際上，。實際上，精確模式應(yīng)當(dāng)是精確模式應(yīng)當(dāng)是 分離的。分離的。一般一般LP模式與模式與HE，EH模式有線性關(guān)模式有線性關(guān) 系，即系，即: (120) 例如例如 EH01是一種對稱的模，它其實可能是是一種對稱的模，它其實可能是TE01或或 r EE， z E 1,1, () mlmnmnmn LPHEEH 10112101 ()LPHEEH TM01模，模，LP11是四重簡并模。是四重簡并模。 這是因為這是因為EH-11模不存在模不存在，表，表5.2表示了兩種模表示了兩種模 式對應(yīng)關(guān)系。式對應(yīng)關(guān)系。 表2 模式對照表(見下頁) 0001111111 ()LP

23、HEEHHE V值的范圍值的范圍近似解的模式近似解的模式精確解的模式精確解的模式 模式模式 總數(shù)總數(shù) 量量 0 2.4048 00LP01HE112 2.4048 3.3817 10LP11TE0 ，TM01，HE216 3.8317 5.1356 01，20LP02，LP21HE12，EH11，HE3112 5.1356 5.5201 01，30LP02，LP31EH31，HE3116 5.5201 6.3802 11，30LP12，LP31TM02，TE02，HE2320 6.3802 7.0156 11，40LP12，LP41EH31，HE5124 7.0156 7.5883 21，02

24、， 40 LP22，LP03， LP41 HE13，EH12，HE3230 4.4 標(biāo)量模的功率標(biāo)量模的功率 光纖中導(dǎo)模的場不是完全地束縛在纖芯中光纖中導(dǎo)模的場不是完全地束縛在纖芯中 ，而是部分地進(jìn)入包層。當(dāng)光纖工作在遠(yuǎn)離截，而是部分地進(jìn)入包層。當(dāng)光纖工作在遠(yuǎn)離截 止條件時，透入包層的導(dǎo)模場將迅速衰減。但止條件時，透入包層的導(dǎo)模場將迅速衰減。但 光纖工作在鄰近截止條件，或者工作在截止條光纖工作在鄰近截止條件，或者工作在截止條 件時，受導(dǎo)模場幾乎不能在纖芯區(qū)域傳播。這件時，受導(dǎo)模場幾乎不能在纖芯區(qū)域傳播。這 樣，樣，計算各模式在纖芯和包層里的功率是有實計算各模式在纖芯和包層里的功率是有實 際意義

25、的。從計算可知光功率在纖芯的分布際意義的。從計算可知光功率在纖芯的分布。 已知標(biāo)量模為已知標(biāo)量模為(111)、(112)，則在，則在 纖芯和包層的功率纖芯和包層的功率P1mn，P2mn分別為分別為: (121) 式中作了變換式中作了變換x=r/a，dx=(1/a)dr， Jm(Ur/a)=Jm(Ux)，便于應(yīng)用已有的貝塞爾，便于應(yīng)用已有的貝塞爾 函數(shù)的積分公式。函數(shù)的積分公式。 (122) 1 222 1 00 22() a mnmnm PrdraJUx xdx 22 11 ()()() mmm aJUJU JU 222 2 00 22() mnmnm PrdraKWx xdx 22 11 (

26、)()() mmm a KW KWKW 總功率為兩者之和總功率為兩者之和: (123) 一般定義纖芯里的功率與總功率之比為波一般定義纖芯里的功率與總功率之比為波 導(dǎo)效率導(dǎo)效率mn: (124) 注意，式注意，式(121)、(122)、(123) 不是真正的功率，但它們的相對關(guān)系是正確的不是真正的功率，但它們的相對關(guān)系是正確的 。要求纖芯、包層的真正功率，必須知道真實。要求纖芯、包層的真正功率，必須知道真實 的總功率，然后乘以效率的總功率，然后乘以效率mn才能獲得。才能獲得。 12mnmnmn PPP 1mn mn mn P P 4.5 光纖的傳輸模數(shù)光纖的傳輸模數(shù) 一般地，光纖中傳播的模式可能很多，除一般地，光纖中傳播的模式可能很多，除 主模主模和若干和若干低階模低階模外，還有在傳播過程中從有外，還有在傳播過程中從有 用的主模轉(zhuǎn)換為雜散的用的主模轉(zhuǎn)換為雜散的高階模高階模，它們傳播路徑，它們傳播路徑 不同，有些在包層中損耗掉，有