比率估計(jì)回歸估計(jì)(抽樣技術(shù)——蔣妍)

1、 Chapter 4 Ratio and Regression Estimator 1802年，拉普拉斯想要估計(jì)法國的人口數(shù)目。他獲得 了一個(gè)遍布全國范圍的30commune的樣本，截至1802 年9月23日總共有2，037615居民。在包括1802年9月23 日以前的三年中，215599個(gè)新生兒在30個(gè)commune。 拉普拉斯認(rèn)為30個(gè)commune的每年注冊的新生兒數(shù)為 215599/3=71866.33.把2037615按照71866.33來分，拉普 拉斯估計(jì)每年每28.35人里有一個(gè)注冊新生兒。 具有眾多人口的鄉(xiāng)鎮(zhèn)也就可能有同樣眾多的注冊新生 兒，通過用28.35乘以全法國年度新生兒

2、總數(shù)來估計(jì)得 出法國人口總數(shù)。 調(diào)查中都有輔助信息，抽樣框也通常有每個(gè)單元額外 的信息，這些信息能被用來提高我們的估計(jì)精度。 為什么要使用比率估計(jì)為什么要使用比率估計(jì)/回歸估計(jì)回歸估計(jì) 利用總體的輔助信息提高估計(jì)的精度利用總體的輔助信息提高估計(jì)的精度。 輔助指標(biāo)的選擇 ：輔助指標(biāo)應(yīng)該與調(diào)查指標(biāo)有較好較好 的正的相關(guān)關(guān)系的正的相關(guān)關(guān)系 。 的抽樣分布較 的抽樣分布變 動性要小得多。 輔助指標(biāo)的總體總量或總體均值已知總體均值已知。 比率估計(jì)、回歸估計(jì)需要有足夠的樣本量足夠的樣本量才能 保證估計(jì)的有效。 有偏估計(jì)：當(dāng)樣本量足夠大時(shí)，估計(jì)的偏倚趨于0。 y x u y x 簡單地想要估計(jì)一個(gè)比率簡單地

3、想要估計(jì)一個(gè)比率 :假定總體由面 積不同農(nóng)業(yè)用地構(gòu)成， yi =i地谷物的產(chǎn) 量, xi ：i地的面積，B=每畝谷物的平均 產(chǎn)量 想要估計(jì)一個(gè)總體總數(shù)，但總體大小但總體大小N是未是未 知的知的。但是我們知道,于是可以通過來估計(jì)N, 由此我們可以使用不同于總數(shù)N的方法而是采 用輔助變量來進(jìn)行測量。 要估計(jì)漁網(wǎng)中長度長于12cm的魚的總數(shù)，抽取 一個(gè)魚的隨機(jī)樣本，估計(jì)長度長于12cm的魚所 占的比例，用魚的總數(shù)N乘以這個(gè)比例即可得 到，但如果N未知不能使用。 能稱量漁網(wǎng)中魚的總重量。魚的長度與其重量 相關(guān)。 yN yt x y yr x t t 調(diào)整來自樣本的估計(jì)量以便它們反映人調(diào)整來自樣本的估計(jì)

4、量以便它們反映人 口統(tǒng)計(jì)學(xué)的總量?？诮y(tǒng)計(jì)學(xué)的總量。 在一所具有4000名學(xué)生的大學(xué)提取一個(gè) 400個(gè)學(xué)生的簡單隨機(jī)樣本，此樣本可能 包含240個(gè)女性，160個(gè)男性，且其中被 抽中的84名女性和40名男性計(jì)劃以教學(xué) 為畢業(yè)后的職業(yè)。 4000 1241240 400 8440 270013001270 240160 比率估計(jì)量被用來對無回答進(jìn)行調(diào)整對無回答進(jìn)行調(diào)整 設(shè)抽取一個(gè)行業(yè)的樣本：令yi為i行業(yè)花費(fèi)在健 康保險(xiǎn)上的金額，xi為i行業(yè)的雇員數(shù)。假定對 總體中的每個(gè)行業(yè)xi均已知。我們希望一個(gè)行 業(yè)花費(fèi)在健康保險(xiǎn)上的金額與雇員數(shù)相關(guān)。某 些行業(yè)在調(diào)查中可能涉及不到。估計(jì)保險(xiǎn)費(fèi)用 的總花銷時(shí)調(diào)整

5、無回答的方法之一是用總體數(shù) X 乘以比率 y x y x 一一、 Ratio Estimator 在 srs 條件下, 1 )( 1 ) ( 2 2 N RXY Xn f RV x y R yNX x y X x y Y X x y X x y y ii RR R 輔助指標(biāo)輔助指標(biāo)x x，其總體均值（總量）已知，其總體均值（總量）已知 【例例4.14.1】對以下假設(shè)總體（N=6），用簡單隨機(jī)抽樣抽 取的樣本，比較簡單隨機(jī)抽樣比估計(jì)及簡單估計(jì)的性質(zhì)。 i Y i X 123456平均值 01358104.5 131118294618 15 2 6 C R y 樣本樣本簡單估計(jì)簡單估計(jì)比估計(jì)比估計(jì)

6、 11，2218 21，3618 31，49.517.1 41，51516.875 51，623.521.15 62，3715.75 72，410.515.75 82，51616 92，624.520 103，414.516.3 113，52016.36 123，628.519.73 134，523.516.27 144，63219.2 155，637.518.75 y y x X y x X R i i 簡單估計(jì)是無偏的，而比估計(jì)是有偏的。 簡單估計(jì)量的方差遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于比估計(jì)量的方差，比估計(jì)的偏差不大， 其均方誤差也比簡單估計(jì)的小得多。 因此對這個(gè)總體，比估計(jì)比簡單估計(jì)的效率高。 18 15 1

7、 )( 15 1 i i yyE 87.97)( 15 1 )( 15 1 2 i i yEyyV 686.17 15 1 )( 15 1 i RiR yyE 31356. 0)()(YyEyB RR 82. 2)( 15 1 )( 15 1 2 i RRiR yEyyV 92. 2)()()( 2 RRR yByVyMSE 二、比率估計(jì)的性質(zhì)二、比率估計(jì)的性質(zhì) 偏倚量會小，如果： 樣本量n 很大 抽樣比n/N很大 很大 S x很小 相關(guān)系數(shù)R接近于1 )( 1 )( 2 2 xyx RSSS Xn f RrE xu xu 比率估計(jì)的近似方差比率估計(jì)的近似方差 ) 2( 1 ) ( 222 2

8、 2xxyy sRsRs xn f Rv n i ii xRy nXn f Rv 1 2 2 1 ) ( 1 11 ) ( ) () ( ) () ()( 22 2 RVXNYV RVXRXVyV R R 當(dāng) R0.5 時(shí),比估計(jì)比 srs 有更高的精度。 分層抽樣下，比估計(jì)有兩種方法： 1.Separate Ratio estimator , 1 1 1 x y r, 2 2 2 x y r 厖. L L L x y r (h=1,2,.L) 2 2 2 )( 1 ) () (XRyE X RRERV V R f nX N Y RX f nX SRSRS ii i N yxyx 11 1 1

9、 2 2 2 1 2 22 2 n i ii xRy nXn f Rv 1 2 2 1 ) ( 1 11 ) ( 三、比率估計(jì)的效率三、比率估計(jì)的效率 1.與簡單估計(jì)的比較 簡單估計(jì)量無偏，而比率估計(jì)量漸近無偏。 因此這里只比較當(dāng)?shù)那樾巍?比率估計(jì)量優(yōu)于簡單估計(jì)量的條件是： V y f n S y 1 2 V y f n SR SRS Ryxyx 1 2 222 222 1 2 yxyx f SR SR S S n 22 20 xyx R SR S S 1 22 SX SY C C x y x y 正高度 相關(guān) 2.比率估計(jì)成為最優(yōu)線性無偏估計(jì)的條件 (1).與的關(guān)系是過原點(diǎn)的直線 (2).對

10、這條直線的方差與成比例。 則比率估計(jì)是最優(yōu)線性無偏估計(jì)(BLUE)。 i yi x i x i y 【例例4.24.2】某縣在對船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量進(jìn)行調(diào)查 時(shí)，對運(yùn)管部門登記的船舶臺帳進(jìn)行整理后獲得注冊 船舶2860艘，載重噸位154626噸，從2860艘船舶中抽 取了一個(gè)的簡單隨機(jī)樣本，調(diào)查得到樣本船舶調(diào)查月 完成的貨運(yùn)量及其載重噸位如下表（單位：噸），要 推算該縣船舶調(diào)查月完成的貨運(yùn)量。 i i Y i X i i Y i X 178010062170120 215005071823150 31005508145080 437610915820 56002010137050 i 該縣船

11、舶在調(diào)查月完成貨運(yùn)量的比率估 計(jì)為 用簡單估計(jì)對貨運(yùn)量進(jìn)行估計(jì) 1123.2 1546262671937 65 R y YX x R v Y 2 222 (1) yx Nf sR s n 11 22.10617 10 yx Rs R s Y ()458930 R v Y 2860 1123.23212352YNy 2 211 (1) 3.43303 10 y Nf v Ys n ( )585921v Y s Y () 0.6135 ( ) R v Y deff v Y 實(shí)際中對于樣本量較小的情形， 使用比率估計(jì)量時(shí)不能忽視其偏倚。 ) () ( ) () ()( 22 2 RVXNYV RVX

12、RXVyV R R 當(dāng) R0.5 時(shí),比估計(jì)比 srs 有更高的精度。 分層抽樣下，比估計(jì)有兩種方法： 1.Separate Ratio estimator , 1 1 1 x y r, 2 2 2 x y r 厖. L L L x y r (h=1,2,.L) 四、分層隨機(jī)抽樣下的比率估計(jì)四、分層隨機(jī)抽樣下的比率估計(jì) 如果各層的樣本量不小的話，則可以采用 各層分別進(jìn)行比率估計(jì)，將各層加權(quán)匯總 得到總體指標(biāo)的估計(jì)，這種方式稱為分別 比率估計(jì)量。separate ratio estimator h h h hRhhRS X x y WyWy Rhh h h RSRS YX x y yNY 2.C

13、ombined Ratio estimator 由 h y估計(jì) st y，由 h x估計(jì) st x。 XRX x y y C st st RC XRyNX x y Y CRC st st RC 方差的比較 如果每一層樣本量都比較大，各層R相差較大，則分別比 率估計(jì)量的方差小于聯(lián)合比率估計(jì)量的方差。 但當(dāng)每層的樣本量不太大時(shí)，還是采用聯(lián)合比率估計(jì)量更 可靠些，因?yàn)檫@時(shí)分別比率估計(jì)量的偏倚很大，從而使總 的均方誤差增大。 2 2222 2 2222 ()(2) ()(2) h Rsyhhxhhyxh h h Rcyhcxhcyxh h W V YNSR SR S n W V YNSR SR S n

14、 RS Y RC Y 六六、Regression Estimator LrLr Lr yNY XxyxXyy )()( 若令 , 0 則 )(srsyyLr ； 若令 ,R 則 RLr yxX x y yy)( （比估計(jì)） () 011uu reg yx BBBxx y 回歸估計(jì)應(yīng)用的兩種情況： 1. 事先確定 設(shè)的確定值為 0 ， 0 是一常數(shù)，則： )( 0 xXyy Lr （1） )2()2( 1 )()( 1 11 )( 0 22 0 2 2 0 yxxy i N iLr SSS n f XXYY Nn f yV ) 3 ()2( 1 )( 0 22 0 2 yxxyLr sss n

15、f y 因?yàn)?YxXEyEyE lr )()()( 0 而)( 0iilr xXyy又可表為的樣本均值 后者的總體均值為Y 故（2）式成立 其樣本估計(jì)量： 性質(zhì)： A： Lr y是Y的無偏估計(jì) B：)( Lr y是)( Lr yV的無偏估計(jì) C： 0 的最佳值是 2 0 x yx S S 總體回歸 系數(shù) 大樣本條大樣本條 件下件下 殘差方 差Se2 2 ()(1) e reg n SE Nn S y 3.分層抽樣中的回歸估計(jì) (1)分別回歸估計(jì) )( )( hhhhhLrslrs hhhhhLrh L nLrs xXyNyNY xXyWyWy 當(dāng) h 可以事先確定時(shí)， Lrs y與 Lrs Y

16、 都是無偏的，且 )2( )1 ( )( 222 2 xhhyxhhyh h hh Lrs SSS n fW yV 在).2 , 1( 2 Lh S S xh yxh h 時(shí)達(dá)到極小值 )1 ( )1 ( )( 22 2 minhyh h hh Lrs S n fW yV 若 h 不能事先確定， h h n hhi n hhihhi h xx xxyy b 2 )( )( 當(dāng) 較大時(shí)， 適用場合 ? h n 2 22 2 222 2 22 (1) ()(1) (1) ()()() (2) (1) (1)(1) (2) hh hh Lrsyhh h nn hh Lrshihhhih hh hh

17、hyhh hh Wf V yS n Wf yyybxx n n Wf nSr n n 層內(nèi)殘差 方差Seh2 (2)聯(lián)合回歸估計(jì) ) ( )( , ststLrcLrc ststLrc hhsthhst XXYyNY xXyy xWxyWy 當(dāng)事先設(shè)定時(shí)， )2( )1 ( )( 222 2 xhyxhyh h hh Lrc SSS n fW yV 無偏 當(dāng)無法事先設(shè)定時(shí)， )2( )1 ( )()( ) 1( )1 ( )( 222 2 2 2 xhcyxhcyh h hh hhichhi hh hh Lrc SbSbS n fW xxbyy nn fW y 漸近無偏 其中 2 2 2 (1

18、) ()() (1) (1) () (1) h hh hihhih hh c n hh hih hh Wf yyxx n n b Wf xx n n 如果是按比例分配，則可簡化為聯(lián) 合最小二乘估計(jì)？ 【例例】某市對中央直屬單位和市屬單位專業(yè)技 術(shù)人員總數(shù)進(jìn)行了分層隨機(jī)調(diào)查，已有98年各 層人員總數(shù)，135個(gè)中央直屬單位有75650專業(yè) 技術(shù)人員，1228個(gè)市屬單位有315612專業(yè)技術(shù) 人員。分別在兩層中調(diào)查了15、20家單位，調(diào) 查數(shù)據(jù)如下，試估計(jì)99年全市專業(yè)技術(shù)人員總 數(shù)。 (1)按分別比率估計(jì)量估計(jì) (2)按聯(lián)合比率估計(jì)量估計(jì) RS Y 2 1 0.959859 171400 1.04

19、9725 102900 272536.6 hh h R X RS v Y 2 2 222 1 (1) hh yhhxh h h Nf sR s n 2 hyxh R s 9588.48 RS v Y RC Y 277310 274300271956.1 279700 st st Y X X RC v Y 2 2 222 1 (1) hh yhxh h h Nf sR s n 2 yxh Rs 9289.44 RC v Y 415524 1607 415433 1675 (3)按分別回歸估計(jì)量估計(jì)，用樣本回歸系數(shù)估計(jì)b (2)按聯(lián)合比率估計(jì)量估計(jì) lrS Y 22 11 () hlrhhhhhh hh N yNybXx 415331 lrS v Y 2 2 222 1 (1)1 2 hhh yhhxh h hh Nfn sb s nn 9480.11 lrS v Y1604 c b 22 1 22 2 1 (1) 756.5757 1.0290 (1)735.2535 hh yxh h h hh xh h h Wf s n Wf s n 1.06 lrc Y st Y cst bXX 415386 lrC vY 2 2 22 2 1 (1) hh yhc xh h