特殊三角形期末復(fù)習(xí)含答案

1、期末復(fù)習(xí) (二) 特殊三角形01 知識(shí)結(jié)構(gòu)軸對(duì)稱圖形圖形的軸對(duì)稱 軸對(duì)稱軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)軸對(duì)稱性等腰三角形 性質(zhì)定理判定定理互逆命題特殊三角形 逆命題和逆定理互逆定理線段垂直平分線定理的逆定理性質(zhì)定理直角三角形判定定理勾股定理勾股定理的逆定理 全等的判定角平分線的性質(zhì)定理02 重難點(diǎn)突破 重難點(diǎn) 1 等腰三角形的性質(zhì)及判定【例 1】 (蕭山區(qū)期中 )如圖，在 ABC中， AD 平分 BAC.(1)若 ACBC，B C 2 1，試寫出圖中的所有等腰三角形 ，并給予證明； (2)若 AB BD AC，求 B C 的比值【思路點(diǎn)撥】 (1)根據(jù)等腰三角形的定義及 “等角對(duì)等邊 ”判定等腰三角

2、形； (2)利用 “截長(zhǎng)法”或“補(bǔ)短法 ”添加輔助線 ，將 ACAB 或 ABBD 轉(zhuǎn)化成一條線段 ，通過(guò)全等得到 線段相等 ，從而得到角相等解： (1)等腰三角形有 3個(gè)： ABC，ABD，ADC， 證明： AC BC，ABC 是等腰三角形 B BAC. B C2 1，B BAC C 180 ， B BAC72 ，C36.1 BAD DAC 2 BAC36， B ADB72 ，DACC36 ABAD，DADC. ABD 和 ADC 是等腰三角形(2)在 AC 上截取 AEAB ，連結(jié) DE， 又 BAD DAE，ADAD， ABD AED. AED B，BD DE.ABBDAC， ACAEE

3、C， BDEC.DEEC. EDC C.B AED EDC C2C. B C2 1.1(上城區(qū)期中 )如圖，ABC、ADE中，C、D 兩點(diǎn)分別在 AE、AB上，BC與DE 相交 于點(diǎn) F.若 BDCDCE，ADCACD104，則DFC 的度數(shù)為 ( C )A104B118C128D1362如圖，在ABC中，ABAC，點(diǎn)D、E、F分別在 AB、BC、AC邊上，且BECF，BD CE.(1)求證： DEF 是等腰三角形；(2)當(dāng)A40時(shí)，求DEF 的度數(shù)解： (1)證明： AB AC， B C.在 BDE 和 CEF 中 ，BECF，BC，BDCE， BDE CEF (SAS)DEEF，即 DEF

4、 是等腰三角形(2) A40， ABAC， B C 70 .由(1)知，BDE CEF， BDE CEF. DEF 180 BED CEF 180 BED BDE B70 .重難點(diǎn) 2 直角三角形的性質(zhì)及判定【例 2】 在 RtABC 中，BAC90，BF 平分 ABC，AEF AFE.(1)求證： AD BC(請(qǐng)用一對(duì)互逆命題進(jìn)行證明 )； (2)寫出你所用到的這對(duì)互逆命題【思路點(diǎn)撥】 由“ 直角三角形的兩個(gè)銳角互余 ”得到ABFAFB 90， 又因?yàn)?ABFCBF，AEFBED，從而轉(zhuǎn)化為 CBFBED90，從而 ADBC 得證解： (1)證明：在 RtABC 中 ， BAC90 ， AB

5、F AFB 90. BF 平分 ABC， ABF CBF. AEF AFE， BED AEF， BED AFE. CBF BED 90. BDE90 . ADBC. (2)互逆命題：直角三角形的兩個(gè)銳角互余；有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形3(慶元縣嶺頭中學(xué)月考 )已知 ，如圖，B、C、D 三點(diǎn)共線 ，ABBD，EDCD，C 是 BD 上的一點(diǎn) ，且ABCD，12，請(qǐng)判斷 ACE 的形狀并說(shuō)明理由解： ACE 是等腰直角三角形 ，理由： 1 2， ACCE.ABBD，EDCD， B D 90.在 Rt ABC 和 RtCDE 中 ，AC CE，AB CD ，RtABCRtCDE. ACB CE

6、D. CED ECD 90， ACB ECD 90. ACE90 .ACE 是等腰直角三角形重難點(diǎn) 3 勾股定理及其逆定理如圖 ，在 RtABC 中 ，ABC90，點(diǎn) D 是 AC 的中點(diǎn) ，作 ADB 的平分線DE 交 AB 于點(diǎn) E.(1)求證： DE BC ；(2)若AE3，AD5，點(diǎn)P為線段 BC上的一動(dòng)點(diǎn) ，當(dāng)BP為何值時(shí) ，DEP為等腰三 角形？請(qǐng)求出所有 BP 的值思路點(diǎn)撥】 (1)要證 DE BC，可轉(zhuǎn)化為證 AEDABC90， 即證 DEAB， 由等腰三角形 “ 三線合一 ”的性質(zhì)可推導(dǎo)得出； (2)DEP 為等腰三角形 ，存在三種情況：DEEP，DP EP，DEDP，結(jié)合勾

7、股定理可求得 BP 的值 解： (1)證明： ABC90，點(diǎn)D 是AC的中點(diǎn) ，1 BDAD2AC.DE 是 ADB 的平分線 ， DEAB.又 ABC90，DE BC.(2) AE 3，AD5，DEAB，DE AD 2 AE 2 4.DEAB，ADBD， BEAE3. DEEP 時(shí)， BP 42 32 7；11 DPEP 時(shí)， BP2DE242； DEDP 時(shí)，過(guò)點(diǎn) D 作 DFBC于點(diǎn) F，則 DF BE 3， 由勾股定理 ，得 FP 4232 7，點(diǎn) P 在 F 下邊時(shí) ，BP 4 7，點(diǎn) P 在 F 上邊時(shí) ，BP 4 7，綜上所述 ， BP 的值為 7，2，4 7或 4 7.4如圖，

8、在 RtABC 中，C90，AB5 cm， AC 3 cm，動(dòng)點(diǎn) P從點(diǎn) B出發(fā)沿射線 BC 以 1 cm/s 的速度運(yùn)動(dòng) ， 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t(s)(1)當(dāng) ABP 為直角三角形時(shí) ，求t的值；(2)當(dāng) ABP 為等腰三角形時(shí) ，求t的值解：(1)C90，AB5 cm， AC 3 cm， BC 4 cm. 當(dāng) APB 為直角時(shí) ，點(diǎn) P與點(diǎn) C重合 ，BPBC4 cm， t4. 當(dāng) BAP 為直角時(shí) ，BPtcm，CP(t4)cm，AC3 cm， 在 Rt ACP 中，AP232 (t4)2， 在 Rt BAP 中，AB2AP2BP2， 5232(t4)2t2，解得 t 25.4綜上，當(dāng) A

9、BP 為直角三角形時(shí) ，t4或 .4(2)當(dāng) BP BA 5 cm 時(shí)，t5.當(dāng) ABAP時(shí)，BP2BC8 cm，t8. 當(dāng) PBPA 時(shí)， PB PA t cm，CP(4t)cm，AC3 cm， 在 Rt ACP 中，AP2AC2 CP2，2 2 2t2 32（4t）2，解得 t25.8.綜上，當(dāng) ABP 為等腰三角形時(shí)t5 或 8 或25.8.03 備考集訓(xùn)一、選擇題 (每小題 3分，共 30分)1(上城區(qū)期中 )下列四個(gè)圖形中 ，是軸對(duì)稱圖形的是 ( C )2下列各命題的逆命題成立的是 ( C )A全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等B如果兩個(gè)數(shù)相等 ，那么它們的絕對(duì)值相等C兩直線平行 ， 同位角相等

10、D 如果兩個(gè)角都是 45 ，那么這兩個(gè)角相等3如圖，在ABC中，ACB90，CD是AB邊上的高 ，如果A50，那么DCB( A )A50B45C40D254下列條件不可以判定兩個(gè)直角三角形全等的是( B )A兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等B兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等C一條直角邊和它所對(duì)的銳角對(duì)應(yīng)相等D一個(gè)銳角和銳角所對(duì)的直角邊對(duì)應(yīng)相等5(永嘉縣校級(jí)期中 )等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30，則頂角的度數(shù)為 ( D )A 60B120C60或 150D 60或 1206如圖，在 RtABC中，C90，D為 AC上一點(diǎn)，且DA DB 5，如果 DAB的面 積為 10，那么 DC 的長(zhǎng)是 ( B )A 4 B3C5

11、 D 4.5第 6 題圖 第 7 題圖7如圖，在ABC中，A36，ABAC，AB的垂直平分線 OD 交 AB 于點(diǎn) O，交 AC 于點(diǎn) D，連結(jié) BD，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 （ D ）AC 2AB BD 平分 ABCC圖中有三個(gè)等腰三角形D SBCDSBOD 8（蕭山區(qū)期中 ）ABC 中，ABAC5，BC 8，點(diǎn) P 是 BC 邊上的動(dòng)點(diǎn) ，過(guò)點(diǎn) P 作 PDAB 于點(diǎn) D ，PE AC 于點(diǎn) E，則 PD PE的長(zhǎng)是 （ A ）A4.8B4.8 或 3.8C3.8D 5 9（慶元縣嶺頭中學(xué)月考 ）如圖，三角形紙片 ABC 中，B2C，把三角形紙片沿直線 AD折疊，點(diǎn) B落在 AC 邊上的 E處，

12、那么下列等式成立的是 （ B ）AACADBDB ACABBDCACADCDD ACABCD第 9 題圖10 （河北中考 ）如圖，AOB120，OP 平分 AOB，且OP2.若點(diǎn) M，N 分別在 OA，OB 上，且 PMN 為等邊三角形 ，則滿足上述條件的 PMN 有 （D） A1 個(gè)B2個(gè)C3 個(gè)D3 個(gè)以上、填空題 （每小題 4分，共 24分） 11 等腰三角形的一個(gè)角是 110，則它的底角是 35，根據(jù)圖中的尺12 （永嘉縣校級(jí)期中 ）如圖是一個(gè)外輪廓為長(zhǎng)方形的機(jī)器零件的平面示意圖 寸（ 單位： cm），計(jì)算兩個(gè)圓孔中的 A 和 B 的距離為 10cm.第 12 題圖13如圖，在ABC中

13、，ABAC7，BC6，AFBC于 F，BEAC于E，D是AB的中 點(diǎn)，則 DEF 的周長(zhǎng)是 1014 （蕭山區(qū)期中 ）如圖，已知 MON30，點(diǎn) A1、A2、A3在射線 ON上，點(diǎn) B1、B2、B3在射線 OM 上， A1B1A2、A2B2A3、A3B3A4均為等邊三角形 ，若 OA11，則A6B6A7 的邊長(zhǎng)為 3215 （江山期末 ）如圖，在邊長(zhǎng)為 2的等邊 ABC中，AD是BC邊上的高 ，點(diǎn)E是AC中點(diǎn)，點(diǎn) P 是 AD 上一動(dòng)點(diǎn) ，則 PCPE 的最小值是 316（杭州期中 ）已知：如圖 ，BD 為 ABC 的角平分線 ，且 BDBC，E 為 BD 延長(zhǎng)線上的一 點(diǎn)，BEBA，過(guò) E

14、作 EFAB，F(xiàn) 為垂足 ，下列結(jié)論： ABD EBC； BCE BCD 180； ADEFEC； BABC2BF.其中正確的結(jié)論有 （填序號(hào) ）三、解答題 （共 46 分 ）（要求重新畫圖 ， 且標(biāo)出每個(gè)17 （10 分）如圖 ，請(qǐng)將下面兩個(gè)三角形分成兩個(gè)等腰三角形等腰三角形的內(nèi)角的度數(shù)解：如圖：18 (10分)(杭州中考 )如圖，在ABC中，已知 ABAC，AD 平分BAC，點(diǎn)M，N分別在AB，AC 邊上 ，AM2MB，AN2NC.求證： DM DN.證明： AM 2MB，AN2NC，AMAN. AD 平分 BAC， MAD NAD. 在 AMD 和 AND 中，AM AN，MAD NAD

15、 ，ADAD ， AMD AND (SAS) DM DN.， 使得底邊長(zhǎng)為線段 a，底邊上19 (12 分)(蕭山區(qū)期中 )(1)用直尺和圓規(guī)作一個(gè)等腰三角形的高的長(zhǎng)為線段 b，要求保留作圖痕跡； (不要求寫出作法 ) (2)在(1)中，若 a6， b4，求等腰三角形的腰長(zhǎng)解： (1)如圖，等腰三角形 ABC 即為所求作三角形 ，其中 AB a， OCb.(2)由題意知 ACBC ，AOBO，COAB，且 CO4，AB6， AO 3. AC OA 2 OC2 5，即等腰三角形的腰長(zhǎng)為 5.20 (14分)如圖 1，OA2，OB4，以 A點(diǎn)為頂點(diǎn)、 AB為腰在第三象限作等腰 RtABC.(1)求 C 點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)如圖 2，P 為 y 軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn) ，當(dāng) P 點(diǎn)沿 y 軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí) ，以 P 為頂點(diǎn) ， PA為腰作等腰 RtAPD，過(guò)D作DEx軸于 E點(diǎn)，求OPDE的值解： (1)過(guò)C作CMx軸于 M點(diǎn)， MAC OAB90，OAB OB