極值點偏移問題3

1、( )( )12() ()()極值點偏移問題（3）變更結(jié)論（操作細(xì)節(jié)）楊春波（高新區(qū)楓楊街 鄭州外國語學(xué)校，河南 鄭州 450001)不 知 細(xì) 心 的 讀 者 是 否 發(fā) 現(xiàn) ， 在 前 面 所 舉 的 諸 例 中 ， 求 證 結(jié) 論 只 有 兩 種 類 型 ：x +x ()x1 2 0 1 2 02，不妨稱為常規(guī)類型如果求證結(jié)論是關(guān)于x , x1 2的其他不等式呢？別慌，本講就教你變“不常規(guī)”為“常規(guī)”例 5 已知函數(shù)f (x)=x-lnx，若兩相異正實數(shù)x , x1 2滿足f (x)=f(x1 2)，求證：f(x1)+f(x2)0分析 ：f (x)=1-1x，則1 1 1 1f x +

2、f x =2 - - 2x x x x1 2 1 2所證結(jié)論不常規(guī)怎么辦？可以嘗試如下兩種處理方法解法 1（換元法）：通過換元將不常規(guī)的結(jié)論變更為常規(guī)結(jié)論令1a = 0x11 ，b = 0x2，即證a +b 2f (x)=f(x)即x-ln x =x -ln x 1 2 1 1 22，1 1 1+ln a = +ln b ，記函數(shù) g x = +ln x ，則 g a =g b a b x，原問題變更為：已知函數(shù)g (x)=1x+ln x，若兩相異正實數(shù)a , b滿足g (a)=g(b)，求證：a +b 2這是第一講中處理過的常規(guī)問題，交給讀者解法 2（加強命題）：試圖證明更強的結(jié)論x x 2

3、 2 x x x x1 2 1 2注 1：在用換元法變更結(jié)論時，選取的函數(shù)也要變更其實是將原問題（不常規(guī)）變更 為另一個問題（常規(guī)）注 2：加強命題只是一種充分性的嘗試，可能會面臨失敗即使嘗試失敗，即x x 2x x1 2的正確性，只是方法不合適而已例 6 已知函數(shù) 22x 2 +x1 2ef (x)=x2lnx，若方程f (x)=m有兩個不相等的實根x , x1 2，求證：解 ：用換元法證令a =x12，b =x22，則f (x)=f(x1 2)即x 2 ln x1 1=x 2 ln x 22，x12ln x12=x22ln x22，a ln a =b ln b 記 函 數(shù)g(x)=x ln

4、 x ， 則 g(a)=g(b)， 即 證() ()()eln x ln (2-x)2222x() ()= + g = 2 2 22xxa +b 2e，這是常規(guī)問題，交給讀者例 7 已知b a 0，且b ln a -a ln b =a -b求證：（1）a+b -ab 1 ；（2）a+b 2；（3）1 1+ 2a b證明 ：（1 ）ln a ln b 1 1 1 +ln a 1 +ln bb ln a -a ln b =a -b - = - =a b b a a b記函數(shù)f (x)=1 +ln x ln x ，則 f a = f b 求導(dǎo)得 f x =-x x 2，知f (x)在(0,1)上單增

5、，在(1,+)上單減，又f1 =0 ，當(dāng) x 0+時，f(x) -；當(dāng)x +時， f(x) 0，故f (x)的圖象如下，由圖知1ea 1 b ，所以 (a-1)(b-1)1y1o a 1 bx（2）構(gòu)造函數(shù)f(x)= f(x)-f(2-x)，則f (x)=f(x)+f(2-x)=- =-x (2-x)(2-x)ln x +x 2 ln (2-x)x 2 (2-x)，當(dāng)x (0,1)時，(2-x)2lnx+x2ln (2-x)的符號如何判定？嘗試變更結(jié)論：證明更強的結(jié)論ab 1構(gòu)造函數(shù)f (x)=f(x)-f1 ，則f 1 1 -ln x 1 ln xx = f x + f x x x x 1

6、(x2-1)lnxx 2，當(dāng)0 x 0，得 f (x)在(0,1)上單增， 有f (x)f(1)=0， 即f (x)f1 (0x1)a21 1 1 2 2 2a上單增，在 , +aa12( ) ( ) 2213 x ()()3 x2 a 2 x 2 -因為0 a 1，故f (a)=f(b)1，1a1，f (x)在(1,+)上單減，故b 1a，ab 1由基本不等式知a +b 2 ab 2（ 3 ）用換元法做令x =11 1， x =a b，則0 x 2 1 2這是常規(guī)問題，交給讀者例 8已知函數(shù)f (x)=2lnx -ax ，若 x , x1 2(x x )是f (x) 1 2的兩個零點，證明：

7、fx +2 x 1 2 3 0分析：f(x)=2x-a ，則 fx +2 x 61 2 = -a ，所證 1 2結(jié)論不常規(guī)，怎么辦呢？證明 ：f(x)=2x-a (x0)，若a 0 ，則 f(x)0，f (x)在(0,+)上單增，至多只有一個零點，舍去；故必有a 0，可得f (x)在0,2a 2 上單減，需有f2 0 0 a 2e由f (x)=f(x)=0 1 2可設(shè)2 0 x 1 26 3 x 2 3 x x - 1 f x = f x f - 1a a 2 a a 2 構(gòu)造函數(shù)f (x)=f(x)-f -a 2 ，則 f 1 3 x 2 1 2 x = f x + f - = -a + -a =3 a 2 4 a x (6-ax) 2，2 2 ( )()() 1 22)當(dāng)0 x 2a時，x(6-ax)0 ，f x 6 -ax 2(x)0，得f(x)在0,2a 2 3 x 2 上單增，有 f x f =0 ，即 f x f - 0 x 22 4 知，可嘗試證明 x +x a a，這是常規(guī)問題，交給讀者幸運的是，這個更強的結(jié)論是成立的，這樣就有x +2