小學(xué)奧數(shù)習(xí)題教案-7-8-3 幾何計數(shù)（三）.教師版

1、7-8-3.幾何計數(shù)（三）教學(xué)目標(biāo)1.掌握計數(shù)常用方法；2.熟記一些計數(shù)公式及其推導(dǎo)方法；3.根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù)本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標(biāo)數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應(yīng)法等，并滲透分類計數(shù)和用容斥原理的計數(shù)思想知識要點一、幾何計數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖分平面所成的區(qū)域數(shù)等等這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等n條直線最多將平面分成 個部分；n個圓最多分平面的部分?jǐn)?shù)為n(n-1)+2；n個三角形將平面最多分

2、成3n(n-1)+2部分；n個四邊形將平面最多分成4n(n-1)+2部分在其它計數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時需要仔細審題、綜合所學(xué)知識點逐步求解排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物所在的先后順序無關(guān)，只與這兩個組合中的元素有關(guān)二、幾何計數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個點(包括兩個端點)（或含有n個“基本線段”），那么這n+1個點把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+(n-1)+2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形（對應(yīng)法），因為DE上有

3、15條線段，每條線段的兩端點與點A相連，可構(gòu)成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形（平行四邊形），若其橫邊上共有n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn個例題精講模塊一、立體幾何計數(shù)【例 1】 用同樣大小的正方體小木塊堆成如下圖的立體圖形，那么一共用了_塊小正方體?！究键c】立體圖形幾何計數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，初試，6題，走美杯，4年級，決賽，第8題【解析】 一共有：（塊）?！敬鸢浮繅K【例 2】 將個相同的小正方體拼成一個體積為立方厘

4、米的長方體，將表面涂上紅漆，然后分開，其中有個面涂紅的小正方體有個，則有個面涂紅的小正方體有 個?！究键c】立體圖形幾何計數(shù) 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級，第7題【解析】 ，所以這個長方體的尺寸只有，五種情況，其中只有尺寸為的長方體的表面染色后，有個正方體有個面涂紅，所以有個面涂紅的小正方體有個?！敬鸢浮俊纠?3】 如圖是一個由27個棱長為1的白色小正方體木塊粘成的棱長為3的正方體木塊，現(xiàn)任意挖去其中的3個棱長為1的小正方體，然后將所有暴露在外的表面全部刷上藍漆，那么余下的24個棱長為1的小正方體中恰好有3面涂藍漆的最多能有_個.【考點】立體圖形幾何計數(shù) 【難度】3星 【

5、題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，5年級，第12題【解析】 1）角塊本身為3面暴露在外的小方塊；2）挖去外側(cè)面中部的小方塊，能夠增加4塊三面暴露在外的小方塊，加上角塊，共形成8塊3面涂漆的小方塊，為最優(yōu)方案3）因此挖去對稱的2塊外側(cè)中部的小方塊后，將產(chǎn)生16塊3面暴露在外的小方塊4）然后再挖去任意一個外側(cè)面中部的小方塊，將增加3塊3面暴露在外的小方塊，但同時破壞原來的2塊3面在外的小方塊.5）所以最多有17塊3面涂漆的小方塊【答案】17模塊二、幾何計數(shù)的應(yīng)用【例 4】 如圖，每個小正方形的面積都是l平方厘米。則在此圖中最多可以畫出_個面積是2平方厘米的格點正方形(頂點都在圖中交叉點上的正方形)?！?/p>

6、考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 每兩行正方形可確定3個面積是2平方厘米的格點正方形,總共有:33=9(個)【答案】【鞏固】 圖中的每個小方格都是面積為1的正方形，面積為2的矩形有 個?！究键c】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第8題【解析】 44+35=31【答案】個【鞏固】 下圖是由25個面積等于1的小正方形組成的大正方形，圖中面積是6的長方形有 個。【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第4題【解析】 每兩行正方形可確定3個面積是2平方厘米的格點正方形

7、,總共有:(個)【答案】個【例 5】 如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的44方格圖中，共有25個格點。在以格點為頂點的直角三角形中，兩條直角邊長分別是1和3的直角三角形共有 個?！究键c】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，決賽，第2題【解析】 我們把一排連續(xù)三個正方形叫做三連正方形，三連正方形的個數(shù)乘上每個三連正方形中直角三角形的個數(shù)就得到所求的總數(shù)：422464 （個）【答案】【例 6】 用9個釘子釘成相互間隔為1厘米的正方陣(如右圖)如果用一根皮筋將適當(dāng)?shù)娜齻€釘子連結(jié)起來就得到一個三角形，這樣得到的三角形中，面積等于1平方厘米的三角形的個數(shù)有多少？ 面積等于2平方

8、厘米的三角形有多少個？【解析】 面積等于1平方厘米的三角形有32個 面積等于2平方厘米的三角形有8個(1)面積等于1平方厘米的分類統(tǒng)計如下： 底為2，高為1 底為2，高為1 底為1，高為2 32=6(個) 32=6(個) 32=6(個) 底為1，高為2 底為2，高為1 底為1，高為2 32=6(個) 22=4(個) 22=4(個)所以，面積等于1平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+6+6+6+4+4=32(個)(2)面積等于2平方厘米的分類統(tǒng)計如下： 32=6(個) 12=2(個)所以，面積等于2平方厘米的三角形的個數(shù)有：6+2=8(個)【例 7】 下圖中的正方形被分成9個相同的小正方形，它們一共有

9、16個頂點（共同的頂點算一個），以其中不在一條直線上的3個點為頂點，可以構(gòu)成三角形在這些三角形中，與陰影三角形有同樣大小面積的有多少個？【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】3星 【題型】解答【解析】 1顯然應(yīng)先求出陰影三角形的面積設(shè)原正方形的邊長是3，則小正方形的邊長是1，陰影三角形的面積是23=32思考圖中怎樣的三角形的面積等于3（1）一邊長2，這邊上的高是3的三角形的面積等于3（即形如圖中陰影三角形）這時，長為2的邊只能在原正方形的邊上，這樣的三角形有244=32（個）；（2）一邊長3，這邊上的高是2的三角形的面積等于3 這時，長為3的邊是原正方形的一邊或平行于一邊的分割線這樣的三角形有82=

10、16（個）注意：不能與（1）中的三角形重復(fù)，所以這樣的三角形共有32+16=48（個）【答案】個【鞏固】 圖中每個小正方形的邊長都是l厘米，則在圖中最多可以畫出面積是3平方厘米的格點三角形(頂點在圖中交叉點上的三角形)_個。【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第11題【解析】 由三角形面積為3平方厘米,可知三角形的底高為6，6=16=23，因為圖形中長方形的長為3厘米，寬為2厘米。當(dāng)三角形的底=3厘米時，有42=8種情況，；當(dāng)?shù)?2厘米時，有12=2種情況。所以，一共有8+2=10個?！敬鸢浮總€【例 8】 在一個圓周上有8個點，正好把圓周八等分，以

11、這些點為頂點作三角形，可以作出 個等腰三角形【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】4星 【題型】解答【解析】 由于8個點正好把圓周八等分，所以以其中的任何3個點作為頂點都不能組成等邊三角形那么任意選取其中的一個點作為頂點，一個頂點上有三個不同的等腰三角形，圓周上有個頂點，所以一共有個等腰三角形，而且這些等腰三角形互不相同(否則，假設(shè)其中有兩個等腰三角形相同，這兩個等腰三角形不可能是同一個頂點，只能是不同的頂點，這樣這個等腰三角形必定是正三角形，與前面的分析不合)，所以可以作出24個等腰三角形【答案】個等腰三角形【例 9】 圓周上十個點，任意兩點之間連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)有多少個交點？【考點】幾何計

12、數(shù)的應(yīng)用 【難度】4星 【題型】解答【解析】 圓周上4點構(gòu)成一個四邊形，四邊形兩條對角線相交可以產(chǎn)生一個交點問題轉(zhuǎn)化為“圓周上10個點可以組成多少個以他們?yōu)槎c的四邊形？”利用上一講的知識，去掉重復(fù)的部分，可知有：個所以交點有210個【答案】個【例 10】 圓周上有個點，兩點所連的線段叫“弦”，每兩點連一條弦，各弦無公共端點，共可連四條弦，各弦互不相交的連法共有_種【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律 【難度】4星 【題型】解答【解析】 本題可以利用歸納的方法解決若圓周上只有個點，只有種連法；若圓周上只有個點，先選中1個點，它可以與相鄰的兩個點相連，它連好后其它兩點只有1種連法，所以此時有種連法；若圓周上

13、只有個點，先選中1個點，此時它可以與相鄰的2個點相連，也可以相對的1個點相連，若與相鄰的點相連，剩下的4個點有2種連法；若與相對的點相連，剩下的4個點只有1種連法，所以此時有種連法；若圓周上只有個點，先選中一個點，此時它可以與相鄰的2個點相連，也可以與與它相隔2個點的另外兩個點相連若與相鄰的點相連，剩下的6個點有5種連法；若與相隔兩個點的點相連，剩下的6個點被分成兩邊，一邊2個點，只有一種連法，一邊4個點，有2種連法所以此時共有種連法【答案】種連接法【例 11】 九個大小相等的小正方形拼成了右圖現(xiàn)從點A走到點B，每次只能沿著小正方形的對角線從一個頂點到另一個頂點，不允許走重復(fù)路線（如圖的虛線就

14、是一種走法）那么從點A走到點B共有_種不同的走法 【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初試，10題【解析】 路線相當(dāng)于右圖中從A到B的不同路線（不走重復(fù)路線），從A到C、D到B方法都唯一，從C出發(fā)有3種方向，從D出發(fā)也有3種方向（不一定是最短路線），根據(jù)乘法原理，共有33=9種不同走法?！敬鸢浮糠N【例 12】 國際象棋中“馬”的走法如圖所示，位于位置的“馬”只能走到標(biāo)有的格中在55個方格的國際象棋棋盤上（如右圖）放入四枚白馬（用表示）和四枚黑馬（用表示）要求將四枚白馬移至四枚黑馬的位置，將四枚黑馬移至四枚白馬的位置，而且必須按照國際象棋的規(guī)則，棋子只能移

15、動到空格中，每個格最多放一枚棋子那么最少需要_步【考點】幾何計數(shù)的應(yīng)用 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級，初賽，4題【解析】 需要移動枚棋子，任意棋子只移動一步是無法到達目的空格當(dāng)中的，所以，最少需要步，具體方案：如下圖，用四步交換兩枚棋子到目的空格當(dāng)中用同樣的方法處理其他枚棋子一共需要步【答案】步【例 13】 請將三個“數(shù)”、三個“學(xué)”、三個“美”填入右圖中，使得每一橫排、每一豎排都有這三個字，如果在左上角擺上“數(shù)”，那么可能有_幾種不同的擺法?！究键c】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第9題【解析】 由于有一個“數(shù)”已經(jīng)填在左上角的方

16、格內(nèi)，所以剩下的2個“數(shù)”只有兩種填法，如下圖所示：對于上面的兩個方格，只要任何一個空白方格中填入一個字，則這個方格都只有唯一填法，比如對于上左圖，在第二行第一列填入“學(xué)”，則第三行第一列和第二行第三列都只能填“美”；則第三行第二列和第一行第三列都只能填“學(xué)”，第一行第二列只能填“美”。所以只要確定某一個空白方格中填的字，也就確定了整個方格的填法。而現(xiàn)在每個空白方格中可以填“學(xué)”或“美”，有兩種填法，所以共有種滿足題意的填法?！敬鸢浮糠N【例 14】 圖中共有16個方格，要把A，B，C，D四個不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個棋子問：共有多少種不同的放法？ 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難

17、度】3星 【題型】解答 【解析】 由于四個棋子要一個一個地放入方格內(nèi)，故可看成是分四步完成這件事第一步放棋子，可以放在16個方格中的任意一個中，故有16種不同的放法；第二步放棋子，由于已放定，那么放的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也不能放，故還剩下9個方格可以放，有9種放法；第三步放，再去掉所在的行和列的方格，還剩下四個方格可以放，有4種放法；最后一步放，再去掉所在的行和列的方格，只剩下一個方格可以放，有1種放法由乘法原理，共有種不同的放法【答案】【鞏固】 在下圖的方格內(nèi)放入五枚棋子，要求每行、每列都只能有一枚棋子，共有多少種放法？ 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 要放

18、五枚棋子，肯定需要分五步完成觀察到圖中的表格正好是五列的，剛好在每列放一個棋子于是，我們不妨按第列、第列、第列、第列、第列的順序依次擺放棋子第一步：在第1列填入一個棋子因為第1列只有兩個格，所以有2種放法第二步：在第2列填入一個棋子因為第2列共有三個格，可是剛剛放在第一列的那個棋子占了其中的一行，所以有3-1=2種放法第三步：在第列填入一個棋子因為第列共有四個格，可是被放在第一列、第二列的那兩個棋子各占了一行，所以有4-2=2種放法第四步：在第列填入一個棋子同理推得有5-3=2種放法第五步：在第列填入一個棋子同理推得有5-4=1種放法 根據(jù)乘法原理，往方格內(nèi)放入枚棋子，每行每列只有一枚棋子，共

19、有種放法【答案】【例 15】 下圖是一個中國象棋盤，如果雙方準(zhǔn)備各放一個棋子，要求它們不在同一行，也不在同一列，那么總共有多少種不同的放置方法？ 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 第一個棋子有90種放法，第二個棋子有72種放法，根據(jù)乘法原理，共有（種）不同的放置方法【答案】【鞏固】 國際象棋棋盤是88的方格網(wǎng)，下棋的雙方各有16個棋子位于16個區(qū)格中，國際象棋中的“車”同中國象棋中的“車”一樣都可以將位于同一條橫行或豎行的對方棋子吃掉，如果棋局進行到某一時刻，下棋的雙方都只剩下一個“車”，那么這兩個“車”位置有多少種情況？ 【考點】復(fù)雜乘法原理 【難度】3星 【題型】

20、解答 【解析】 對于如果只有一只“車”的情況，它可以有64種擺放位置，如果在棋盤中再加入一個“車”，那么它不能在原來那個“車”的同行或同列出現(xiàn)，他只能出現(xiàn)在其他七行七列，所以它只有77=49中擺放，所以這兩個“車”的擺放位置有6449=3136種方法【答案】3136模塊三、幾何計數(shù)與找規(guī)律【例 16】 下圖的兩個圖形（實線）是分別用10根和16根單位長的小棍圍成的如果按此規(guī)律（每一層比上面一層多擺出兩個小正方形）圍成的圖形共用了60多根小棍，那么圍成的圖形有幾層，共用了多少根小棍？【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律 【難度】2星 【題型】解答【解析】 通過觀察每增加一層，恰好增加6根小棍，這6根恰好是增

21、加那一層比上一層多擺出的兩個正方形多用的，即前1層用4根，前2層用4+6根，前3層用4+62根，前n層用4+6(n-1)根，現(xiàn)在共用了60多根，應(yīng)減去4是6的倍數(shù)，所以共用小棍64根，圍成的圖形有11層【答案】層，根【例 17】 如圖所示，用長短相同的火柴棍擺成31996的方格網(wǎng)，其中每個小方格的邊都由一根火柴棍組成，那么一共需用多少根火柴棍?【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律 【難度】2星 【題型】解答【解析】 橫放需19964根，豎放需19973根,共需19964+19973=13975根【答案】根【例 18】 用3根等長的火柴可以擺成一個等邊三角形如圖用這樣的等邊三角形拼合成一個更大的等邊三角形.

22、如果這個大等邊三角形的每邊由20根火柴組成，那么一共要用多少根火柴?【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律 【難度】2星 【題型】解答【解析】 把大的等邊三角形分為“20”層分別計算火柴的根數(shù)：最上一層只用了3根火柴；從上向下數(shù)第二層用了32=6根；從上向下數(shù)第二層用了33=9根；從上向下數(shù)第二層用了320=60根；所以總共要用火柴3（1+2+3+20）=630【答案】【鞏固】 用三根火柴可拼成一個小“”，若用108根火柴拼成如圖所示形狀的大三角形，請你數(shù)一數(shù)共有多少個三角形？【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律 【難度】2星 【題型】解答【解析】 首先，需弄清形狀如圖的大三角形共有多少層從上往下，第一層用根火柴；第二

23、層用根火柴；第三層用根火柴；第四層用根火柴；第五層用根火柴；第層用根火柴根據(jù)題意，有：，故，所以，即形狀如圖的大三角形共有8層，是邊長為8根火柴的大正三角形然后，數(shù)出共有多少個三角形尖朝上的三角形共：(個)；尖朝下的三角形共：(個)；所以，共有三角形：(個)本題小結(jié)：尖朝上的三角形：每一種尖朝上的三角形個數(shù)都是由1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，其中連續(xù)自然數(shù)最多的和中最大的加數(shù)就是三角形每邊被分成的基本線段的條數(shù)，依次各個連續(xù)自然數(shù)的和都比上一次少一個最大的加數(shù)，直到1為止尖朝下的三角形的個數(shù)也是從1開始的連續(xù)自然數(shù)的和，它的第一個和恰是尖朝上的第二個和，依次各個和都比上一個和少最大的兩個加數(shù)，以此類

24、推直到零為止【答案】個【例 19】 根火柴可以擺成一個小三角形。圖中用很多根火柴擺成了一個中空的大三角形。已知大三角形外沿上每條邊都是根火柴。擺成這個圖共需要 根火柴?！究键c】幾何計數(shù)與找規(guī)律 【難度】4星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第9題【解析】 水平方向的火柴有（根）而其它兩個方向的火柴與水平放下的火柴個數(shù)相同，所以擺成這個圖共需要（根）火柴?！敬鸢浮扛纠?20】 一張長方形紙片，長是寬的2倍，先對折成正方形，再對折成長方形，再對折成正方形，共對折7次，將紙打開展平，數(shù)一數(shù)用折痕分割成的正方形共有多少個？【考點】幾何計數(shù)與找規(guī)律 【難度】4星 【題型】解答【解析】 從簡單情況入手，從第一次對折開始分析，第一次對折，展平，折痕分割成的正方形共個；第二次對折，展平，折痕分割成的長方形共個；第三次對折，展平，折痕分割成的正方形共個；第四次對折，展平，折痕分割成的長方形共個；第五次對折，展平，折痕分割成的正方形共個；第六次對折，展平，折痕分割成的長方形共個；第七次對折，展平